第7篇检测试题

第七篇 检测试题 时间 120 分钟 满分 150 分 选题明细表 知识点 方法题号 三视图与直观图3 4 表面积与体积5 13 18 点 线 面的位置关系9 12 14 16 平行问题1 7 8 垂直问题2 6 10 11 综合应用15 17 19 20 21 22 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 已知 a b 表示直线 表示平面 则 a 的一个充分条件是 D A a B a C a b b D b a a b 解析 对于 A 选项直线 a 有可能在平面 内 B 选项可以推出 a 或者 a 在平面 内 对于 C 选项直线 a 有可 能在平面 内 D 选项是正确的 故选 D 2 2012 青岛第二次质检 已知直线 l 平面 直线 m 平面 则下列四个命题 l m l m l m l m 其中正确的是 C A B C D 解析 l 则 l m l m 正确 故 错 l m l 则 m 又 m 故 正确 l m l 则 m 或 m 可能平行 故 错 故 正确 选 C 3 已知某个几何体的三视图如图 正视图的弧线是半圆 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体的表 面积是 B A 92 20 cm2 B 92 14 cm2 C 112 14 cm2 D 92 10 cm2 解析 如图 直观图 S 4 5 3 4 4 2 2 2 5 22 92 14 cm2 故选 B 1 2 4 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形 则原平面四边形的面积等于 B A a2 B 2a2 2 4 2 C a2 D a2 2 2 2 2 3 解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则 可以得出一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S 之间的关系是 S S 本题中直观图的面积为 a2 所以原平面四边形的面积等于 2a2 故选 B 2 4 2 2 4 2 5 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2 这个球的表面积为 6 则这个正四棱柱的体积为 B A 1 B 2 C 3 D 4 解析 S表 4 R2 6 R 设正四棱柱底面边长为 x 6 2 则 x 2 1 R2 x 1 2 2 V正四棱柱 2 故选 B 6 平面 外有两条直线 m 和 n 如果 m 和 n 在平面 内的射影分别是直线 m1和直线 n1 给出下列四个命题 m1 n1 m n m n m1 n1 m1与 n1相交 m 与 n 相交或重合 m1与 n1平行 m 与 n 平行或重合 其中不正确的命题个数是 D A 1 B 2 C 3 D 4 解析 如图 在正方体中 AD1 AB1 B1C 在底面上的射影分别是 A1D1 A1B1 B1C1 由 A1D1 A1B1 而 AD1不垂直 AB1 故 不正确 又因为 AD1 B1C 而 A1D1 B1C1 故 也不正确 若 m1与 n1相交 则 m 与 n 还可以异面 不正确 若 m1与 n1平行 m 与 n 可以异面 不正确 故选 D 7 2011 承德模拟 下列四个正方体图形中 A B 为正方体的两个顶点 M N P 分别为其所在棱的中点 能得 出 AB 平面 MNP 的图形的序号是 C A B C D 解析 对于图形 平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行 即可得到 AB 平面 MNP 对于图形 AB PN 即可 得到 AB 平面 MNP 图形 都不可以 故选 C 8 已知 m n 是两条不同直线 是三个不同平面 下列命题中正确的为 D A 若 则 B 若 m m 则 C 若 m n 则 m n D 若 m n 则 m n 解析 A 中 垂直于同一平面的平面可能平行或者相交 B 中 平行于同一直线的平面可能平行或者相交 C 中 平行于同一平面的直线可以是任意关系 D 中 垂直于同一平面的直线平行 正确 故选 D 9 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别为 AB DC 中点 则直线 MC 与 D1N 所成角的余弦值为 B A B 1 2 1 5 C D 1 5 1 3 解析 连接 NA D1A 图略 则 D1NA 为所求 在三角形 D1NA 中由余弦定理可求得 cos D1NA 故选 B 1 5 10 在二面角 l 的两个面 内 分别有直线 a b 它们与棱 l 都不垂直 则 B A 当该二面角是直二面角时 可能 a b 也可能 a b B 当该二面角是直二面角时 可能 a b 但不可能 a b C 当该二面角不是直二面角时 可能 a b 但不可能 a b D 当该二面角不是直二面角时 不可能 a b 也不可能 a b 解析 当该二面角为直二面角时 如图 b 与 l 不垂直 在 b 上取点 A 过 A 作 AB l AB b A 假设 a b AB l AB AB a 又 b a a 又 l a l 与题设 a 与 l 不垂直矛盾 故不可能 a b 故选 B 11 三棱锥 P ABC 的高为 PH 若三个侧面两两垂直 则 H 为 ABC 的 C A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 解析 三个侧面两两垂直得 AP 面 PBC 故 BC PA 又 BC PH BC AH 同理 BH AC CH AB 故 H 为垂心 故选 C 12 在空间中 给出下面四个命题 1 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2 若平面外两点到平面的距离相等 则过两点的直线必平行于该平面 3 两条相交直线在同一平面的射影必为相交直线 4 两个相互垂直的平面 一个平面内存在一直线垂直于另一平面内的无数条直线 其中正确的是 D A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 1 4 解析 1 正确 对于 2 该直线与平面可能相交即两点在平面异侧 故 2 错 对于 3 两相交直线的射影可能为一 条直线 故 3 错 4 正确 故选 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 如图 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等 这时圆柱 圆锥 球的体积之 比为 解析 设球的半径为 r 则三个几何体的体积分别为 V1 r2 2r 2 r3 V2 r2 2r r3 V3 r3 所以三个几何体 1 3 2 3 4 3 的体积之比为 3 1 2 答案 3 1 2 14 一条直线和一个平面所成的角为 60 则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是 解析 在平面内存在一直线和其垂直 所以此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是 90 答案 90 15 将正方形 ABCD 沿 AC 折成直二面角后 DAB 解析 取 AC 中点 E 连结 BE DE 设原正方形 ABCD 的边长为 a AB BC AD CD BE AC DE AC BED 90 在 Rt ABC 和 Rt ACD 中 BE DE a 2 2 在 Rt BDE 中 BD a 2 2 ABD 为正三角形 DAB 60 答案 60 16 如果一条直线与一个平面垂直 那么 称此直线与平面构成一个 正交线面对 在一个正方体中 由两个顶点 确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 正交线面对 的个数是 解析 正方体中 一个面有四条棱与之垂直 六个面 共构成 24 个 正交线面对 而正方体的六个对角截面中 每 个对角面又有两条面对角线与之垂直 共构成 12 个 正交线面对 所以共有 36 个 正交线面对 答案 36 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 本小题满分 10 分 2011 温州模拟 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 AD a AB 2a E F 分别为 C1D1 A1D1的中点 1 求证 DE 平面 BCE 2 求证 AF 平面 BDE 证明 1 BC 侧面 CDD1C1 DE 侧面 CDD1C1 DE BC 在 CDE 中 CD 2a CE DE a 2 则有 CD2 CE2 DE2 DEC 90 DE EC 又 BC EC C DE 平面 BCE 2 连接 EF A1C1 连接 AC 交 BD 于 O 连接 OE EF A1C1 AO A1C1 1 2 1 2 四边形 AOEF 是平行四边形 AF OE 又 OE 平面 BDE AF 平面 BDE AF 平面 BDE 18 本小题满分 12 分 已知四面体 ABCD 图 1 沿 AB AC AD 剪开 展成的平面图形正好是图 2 所示的直角梯形 A1A2A3D 梯形 的顶点 A1 A2 A3重合于四面体的顶点 A 1 证明 AB CD 2 当 A1D 10 A1A2 8 时 求四面体 ABCD 的体积 1 证明 由图 2 A1A2A3D 为直角梯形 得 A1B A1D A2B A2C 即图 1 中 AB AC AB AD 又 AC AD A AB 平面 ACD CD 平面 ACD AB CD 2 解 在图 2 中 作 DE A2A3于 E A1A2 8 DE 8 又 A1D A3D 10 EA3 6 A2A3 10 6 16 而 A2C A3C A2C 8 即图 1 中 AC 8 AD 10 由 A1A2 8 A1B A2B 得图 1 中 AB 4 S ACD 8 8 32 3 1 2 由 1 知 AB 平面 ACD 32 4 1 3 128 3 19 本小题满分 12 分 直棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 是直角梯形 BAD ADC 90 AB 2AD 2CD 2 1 求证 AC 平面 BB1C1C 2 在 A1B1上是否存在一点 P 使得 DP 与平面 BCB1与平面 ACB1都平行 证明你的结论 1 证明 直棱柱 ABCD A1B1C1D1中 BB1 平面 ABCD BB1 AC 又 BAD ADC 90 AB 2AD 2CD 2 AC CAB 45 BC BC AC 22 又 BB1 BC B BB1 BC 平面 BB1C1C AC 平面 BB1C1C 2 解 存在点 P P 为 A1B1的中点 证明 由 P 为 A1B1的中点 有 PB1 AB 且 PB1 AB 1 2 又 DC AB DC AB DC PB1且 DC PB1 1 2 四边形 DCB1P 为平行四边形 从而 CB1 DP 又 CB1 平面 ACB1 DP 平面 ACB1 DP 平面 ACB1 同理 DP 平面 BCB1 20 本小题满分 12 分 如图 在四棱台 ABCD A1B1C1D1中 下底面 ABCD 是边长为 2 的正方形 上底面 A1B1C1D1是边长为 1 的正 方形 侧棱 DD1 平面 ABCD 1 求证 B1B 平面 D1AC 2 求证 平面 D1AC 平面 B1BDD1 证明 1 设 AC BD E 连接 D1E B1D1 BE B1D1 BE 2 四边形 B1D1EB 是平行四边形 B1B D1E 又因为 B1B 平面 D1AC D1E 平面 D1AC 所以 B1B 平面 D1AC 2 侧棱 DD1 平面 ABCD AC 平面 ABCD AC DD1 下底面 ABCD 是正方形 AC BD DD1与 DB 是平面 B1BDD1内的两条相交直线 AC 平面 B1BDD1 AC 平面 D1AC 平面 D1AC 平面 B1BDD1 21 本小题满分 12 分 2011 福州模拟 如图 1 所示 在边长为 12 的正方形 AA A 1A1中 BB1 CC1 AA1 且 AB 3 BC 4 AA 1分别交 BB1 CC1于点 P Q 将该正方形沿 BB1 CC1折叠 使得 A A 1与 AA1重合 构成如图 2 所示的三棱柱 ABC A1B1C1 1 求证 AB PQ 2 在底边 AC 上有一点 M AM MC 3 4 求证 BM 平面 APQ 1 证明 在图 2 中 AB 3 BC 4 AC 5 从而 AC2 AB2 BC2 即 AB BC 又 AB BB1 而 BC BB1 B AB 平面 BC1 又 PQ 平面 BC1 AB PQ 2 解 如图 3 过 M 作 MN CQ 交 AQ 于 N 连接 PN AM MC 3 4 AM AC MN CQ 3 7 MN PB 3 PB CQ MN PB 四边形 PBMN 为平行四边形 BM PN BM 平面 APQ 22 本小题满分 12 分 如图 四边形 ABCD 为矩形 DA 平面 ABE AE EB BC 2 BF 平面 ACE 于点 F 且点 F 在 CE 上 1 求证 AE BE 2 求三棱锥 D AEC 的体积 3 设点 M 在线段 AB 上 且满足 AM 2MB 试在线段 CE 上确定一点 N 使得 MN 平面 DAE 1 证明 如题图 AD 平面 ABE AD BC BC 平面 ABE BC AE 又 BF 平面 ACE BF AE 又 BF BC B AE 平面 BCE