高中数学 3-1-3 空间向量的数量积运算 活页规范训练 新人教A版选修2-1

1 3 1 33 1 3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 双基达标 限时 20 分钟 1 对于向量a a b b c c和实数 下列命题中的真命题是 A 若a a b b 0 则a a 0 或b b 0 B 若 a a 0 则 0 或a a 0 C 若a a2 b b2 则a a b b或a a b b D 若a a b b a a c c 则b b c c 解析 对于 A 可举反例 当a a b b时 a a b b 0 对于 C a a2 b b2 只能推得 a a b b 而不能推出a a b b 对于 D a a b b a a c c可以移项整理推得a a b b c c 答案 B 2 如图 已知空间四边形每条边和对角线长都等于a 点 E F G分别是AB AD DC的中点 则下列向量的数量积等 于a2的是 A 2 BA AC B 2 AD DB C 2 FG AC D 2 EF CB 解析 2 a2 故 A 错 2 a2 故 B 错 BA AC AD DB 2 2 a2 故 D 错 只有 C 正确 EF CB 1 2 答案 C 3 空间四边形OABC中 OB OC AOB AOC 则 cos 的值为 3 OA BC A B C D 0 1 2 2 2 1 2 解析 因为 cos OA BC OA OC OB OA OC OA OB OA OC OA OC cos OA OB OA OB 又因为 OA OC OA OB 3 所以 0 OB OC OA BC 所以 所以 cos 0 OA BC OA BC 答案 D 4 已知a a b b是空间两个向量 若 a a 2 b b 2 a a b b 则 cos a a b b 7 解析 将 a a b b 化为 a a b b 2 7 求得a a b b 再由a a b b a a b b cos a a b b 7 1 2 求得 cos a a b b 1 8 答案 1 8 5 已知空间向量a a b b c c满足a a b b c c 0 a a 3 b b 1 c c 4 则 a ba b b cb c c ac a的值为 解析 a a b b c c 0 a a b b c c 2 0 a a2 2 b b2 2 c c2 2 2 2 a ba b b cb c c ac a 0 3 a ba b b cb c c ac a 13 32 12 42 2 答案 13 6 已知长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AA1 2 AD 4 E为侧面AA1B1B的中心 F为A1D1 的中点 求下列向量的数量积 1 2 BC ED1 BF AB1 解 如图所示 设 a a b b c c AB AD AA1 则 a a c c 2 2 b b 4 4 a ba b b b c c c ac a 0 0 1 b b c c a a b b BC ED1 BC EA1 A1D1 1 2 b b 2 42 16 2 BF AB1 BA1 A1F AB AA1 c c a a b b a a c c c c 2 a a 2 22 22 0 1 2 综合提高 限时 25 分钟 7 已知在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 同一顶点为端点的三条棱长都等于 1 且彼此的 夹角都是 60 则此平行六面体的对角线AC1的长为 A B 2 C D 356 解析 AC1 AB AD AA1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 AC1 AB AD AA1 AB AD AA1 AB AD AB AA1 AD AA1 1 2 cos 60 cos 60 cos 60 6 AC1 6 答案 D 8 已知a b是异面直线 A B a C D b AC b BD b 且AB 2 CD 1 则a与 b所成的角是 4 A 30 B 45 C 60 D 90 解析 2 2 1 AB CD AC CD DB CD AC CD CD DB CD CD cos AB CD AB CD AB CD 1 2 a与b的夹角为 60 答案 C 9 已知 a a 3 b b 4 m m a a b b n n a a b b a a b b 135 m m n n 则 2 解析 由m m n n 得 a a b b a a b b 0 a a2 1 a a b b b b2 0 18 1 3 2 4cos 135 16 0 即 4 6 0 3 2 答案 3 2 10 如图 已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相等 M是侧 棱CC1的中点 则异面直线AB1和BM所成的角的大小是 解析 不妨设棱长为 2 则 AB1 BB1 BA BM BC 1 2BB1 cos AB1 BM BB1 BA BC 1 2BB1 2 2 5 0 2 2 0 2 2 5 0 故填 90 答案 90 11 如图所示 已知 ADB和 ADC都是以D为直角顶点的 直角三角形 且AD BD CD BAC 60 求证 BD 平面ADC 5 证明 不妨设AD BD CD 1 则AB AC 2 BD AC AD AB AC AD AC AB AC 由于 1 cos 60 AD AC AD AD DC AD AD AB AC AB AC 22 1 0 即BD AC 又已知BD AD AD AC A BD 平面ADC 1 2 BD AC 12 创新拓展 如图 正三棱柱ABC A1B1C1中 底面边长为 2 1 设侧棱长为 1 求证 AB1 BC1 2 设AB1与BC1的夹角为 求侧棱的长 3 1 证明 AB1 AB BB1 BC1 BB1 BC BB1 平面ABC 0 0 BB1 AB BB1 BC 又 ABC为正三角形 AB BC BA BC 3 2 3 AB1 BC1 AB BB1 BB1 BC 2 AB BB1 AB BC BB1 BB1 BC cos 2 1 1 0 AB BC AB BC BB