立体几何平行垂直问题专题

1 立体几何平行 垂直问题专题训练立体几何平行 垂直问题专题训练 基础知识点基础知识点 一 平行问题一 平行问题 1 直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质 定义定义判定定理判定定理性质性质性质定理性质定理 图形图形 条件条件 a 结论结论 a b a a b 2 面面平行的判定与性质面面平行的判定与性质 判定判定 定义定义定理定理 性质性质 图形图形 条件条件 a 结论结论 a ba 平行问题的转化关系 平行问题的转化关系 二 垂直问题二 垂直问题 一 直线与平面垂直一 直线与平面垂直 1 直线和平面垂直的定义 直线和平面垂直的定义 直线直线 l 与平面与平面 内的内的 都垂直 就说直线都垂直 就说直线 l 与平面与平面 互相垂直 互相垂直 2 直线与平面垂直的判定定理及推论直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言 判定定理判定定理 一条直线与一个平面一条直线与一个平面 内的内的两条相交直线两条相交直线都都 垂直 则该直线与此垂直 则该直线与此 平面垂直平面垂直 推论推论 如果在两条平行直线如果在两条平行直线 中 有一条垂直于平中 有一条垂直于平 面 那么另一条直线面 那么另一条直线 也也垂直垂直这个平面这个平面 3 直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理 文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言 性质定理性质定理 垂直于同一个平面的两垂直于同一个平面的两 条直线条直线平行平行 4 4 直线和平面垂直的常用性质直线和平面垂直的常用性质 2 直线垂直于平面 则垂直于平面内直线垂直于平面 则垂直于平面内任意任意直线 直线 垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线平行 平行 垂直于同一条直线的两平面垂直于同一条直线的两平面平行 平行 二 平面与平面垂直二 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理 文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言 判定定理判定定理 一个平面过另一个平面一个平面过另一个平面 的的垂线垂线 则这两个平面 则这两个平面 垂直垂直 2 平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理 文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言 性质定理性质定理 两个平面垂直 则一个平两个平面垂直 则一个平 面内垂直于面内垂直于交线交线的直线垂的直线垂 直于另一个平面直于另一个平面 典例探究典例探究 类型一 平行与垂直类型一 平行与垂直 例例 1 1 如图 已知三棱锥 如图 已知三棱锥ABPC 中 中 APPC ACBC M为为AB中点 中点 D为为PB中点 且中点 且 PMB为为 正三角形 正三角形 求证 求证 DM 平面平面APC 求证 平面 求证 平面ABC 平面平面APC 若 若BC4 20AB 求三棱锥 求三棱锥DBCM 的体积 的体积 例例 2 如图 已知三棱柱如图 已知三棱柱中 中 底面底面 111 ABCABC 1 AA ABC2ACBC 1 4AA 2 2AB M 分别是棱分别是棱 中点中点 N 1 CCAB 求证 求证 平面平面 CN 11 ABB A 求证 求证 平面平面 CN 1 AMB AB C A1 B1 C1 M N M D A P B C 3 F D E C1 B1 A1 C B A 变式变式 1 如图 三棱柱如图 三棱柱中 侧棱中 侧棱平面平面 为等腰直角三角形 为等腰直角三角形 111 CBAABC 1 AA ABCABC 且 且 分别是分别是的中点 的中点 90 BAC 1 AAAB FED BCCCAB 11 1 求证 求证 平面平面 DEABC 2 求证 求证 平面平面 FB1AEF 3 设 设 求三棱锥 求三棱锥的体积 的体积 ABa DAEF 二 线面平行与垂直的性质二 线面平行与垂直的性质 例例3 3 如图 如图4 4 在四棱锥 在四棱锥P ABCD 中 平面中 平面PAD 平面平面ABCD AB DC PAD 是等边三角形 已知是等边三角形 已知 24BDAD 22 5ABDC 1 1 求证 求证 BD 平面平面PAD 2 2 求三棱锥 求三棱锥A PCD 的体积 的体积 例例 4 如图 四棱锥 如图 四棱锥 P ABCD 中 中 平面平面 ABCD 底面 底面为正方形 为正方形 BC PD 2 E 为为 PC 的中点 的中点 PDABCD I 求证 求证 II 求三棱锥 求三棱锥 C DEG 的的 3 1 CBCG PCBC 体体 积 积 III AD 边上是否存在一点边上是否存在一点 M 使得 使得平面平面 MEG PA 若存在 求若存在 求 AM 的长 否则 说明理由 的长 否则 说明理由 三 三视图与折叠问题三 三视图与折叠问题 例例 5 如图是一几何体的直观图 正视图 侧视图 俯视图 如图是一几何体的直观图 正视图 侧视图 俯视图 若若为为的中点 求证 的中点 求证 面面 FPDAF PCD 1 证明 证明 面面 BDPEC 2 求三棱锥求三棱锥的体积 的体积 EPBC 变式变式 如图如图 1 所示 正所示 正ABC 的边长为的边长为 2a CD 是是 AB 边上的高 边上的高 E F 分别是分别是 AC BC 的中点 现将的中点 现将 A B E P D C 4 4 2 2 4 4 4 正视图侧视图 俯视图 4 ABC 沿沿 CD 翻折 使翻折后平面翻折 使翻折后平面 ACD 平面平面 BCD 如图 如图 2 1 试判断翻折后直线 试判断翻折后直线 AB 与平面与平面 DEF 的位置关系 并说明理由 的位置关系 并说明理由 2 求三棱锥 求三棱锥 C DEF 的体积 的体积 四 立体几何中的最值问题四 立体几何中的最值问题 例例 6 图图 4 A1A 是圆柱的母线 是圆柱的母线 AB 是圆柱底面圆的直径 是圆柱底面圆的直径 C 是底面圆周上异于是底面圆周上异于 A B 的任意一点 的任意一点 A1A AB 2 1 求证求证 BC 平面平面 A1AC 2 求三棱锥求三棱锥 A1 ABC 的体积的最大值的体积的最大值 例例 7 如图 在如图 在交交 ACAC 于于 点点 D D 现将现将 2 2 ABCBABBCPAB 中 为边上一动点 PD BC PDA PDAPDPDAPBCD 沿翻折至使平面平面 1 1 当