2012高考数学 考前冲刺第三部分专题九 圆锥曲线

用心 爱心 专心1 20122012 考前冲刺数学第三部分考前冲刺数学第三部分 高考预测高考预测 1 对椭圆相关知识的考查 2 对双曲线相关知识的考查 3 对抛物线相关知识的考查 4 对直线与圆锥曲线相关知识的考查 5 对轨迹问题的考查 6 考察圆锥曲线中的定值与最值问题 7 椭圆 8 双曲线 9 抛物线 10 直线与圆锥曲线 11 轨迹问题 12 圆锥曲线中的定值与最值问题 易错点点睛易错点点睛 易错点易错点 1 1 对椭圆相关知识的考查对椭圆相关知识的考查 1 典型例题 设椭圆的两个焦点分别为 F1 F2 过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于 点 P 若 FlPF2为等腰直角三角形 则椭圆的离心率是 12 22 2 12 2 2 DCBA 错误解答 A 错解分析 没有很好地理解椭圆的定义 错误地把 2 1 PF PF 当作离心率 用心 爱心 专心2 错误解答 D 由题意得 a 5 b 3 则 c 4 而双曲线以椭圆 925 22 yx 1 长轴的两个 端点为焦点 则 a c 4 b 3 k 4 3 a b 错解分析 没有很好理解 a b c 的实际意义 正确解答 C 设双曲线方程为 2 2 2 2 b y a x 1 则由题意知 c 5 c a2 4 则 a2 20 b2 5 而 a 25 b 5 双曲线渐近线斜率为 a b 2 1 4 2012 精选模拟题 设直线 l 与椭圆 1625 22 yx 1 相交于 A B 两点 l 又与双曲线 x2 y2 1 相交于 C D 两点 C D 三等分线段 AB 求直线 l 的方程 错误解答 设直线 l 的方程为 y kx b 如图所示 l 与椭圆 双曲线的交点为 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 依题意有ABDBAC 3CD 由 1 0 40025 50 2516 1 1625 222 22 bbkxxk yx bkxy 得 所以 x1 x2 2516 50 2 k bk 由 1 22 yx bkxy 得 1 k2 x2 2bkx b2 1 0 2 若 k 1 则 l 与双曲线最多只有一个交点 不合题意 故 k 1 所以 x3 x4 2 1 2 k bk 由 BDACx3 x1 x2 x4 x1 x2 x3 x4 22 1 2 2516 50 k bk k bk bk 0 或 b 0 用心 爱心 专心3 当 k 0 时 由 1 得 x1 2 2 16 4 5 b 由 2 得 x3 4 1 2 b由 12 3xxCDAB 3 x4 x1 即 13 16 1616 4 10 22 bbb 故 l 的方程为 y 13 16 当 b 0 时 由 1 得 x1 2 2 2516 20 k 由 2 得 x3 4 2 1 1 k 由 12 3xxCDAB 3 x4 x3 即 25 16 25 16 1 6 2516 40 22 xylk kk 的方程为故 综上所述 直线 l 的方程为 y xy 25 16 13 16 错解分析 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在 致使造成思维片面 漏 解 k 0 时 由 1 得 16 4 5 2 2 1 bx 由 2 得 x3 4 1 2 b由33 12 xxCDAB x4 x3 即 13 16 116 4 10 22 bbb故 l 的方程为 y 13 16 当 b 0 时 由 1 得 x1 2 2 2516 20 k 自 2 得 x3 4 33 1 1 12 2 xxCDAB k 由 x4 x3 即 25 16 1 6 2516 40 22 k kk 用心 爱心 专心4 故 l 的方程为 y x 25 16 再讨论 l 与 x 轴垂直时的情况 设直线 l 的方程为 x c 分别代入椭圆和双曲线方程可解得 yl 2 25 5 4 2 c y3 4 3 3 1 3412 2 yyyyCDABc 由 即 241 25 241 25 1625 5 8 22 xlccc的方程为故 综上所述 直线 l 的方程是 y 25 16 x y 13 16 和 x 241 25 解法二 设 l 与椭圆 双曲线的交点为 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 则有 4 3 1 2 1 1 1625 22 22 jyx i yx jj ii 由 i 的两个式子相减及 j 的两个式子相减 得 0 0 25 16 34343434 12121212 yyyyxxxx yyyyxxxx 因 C D 是 AB 的三等分点 故 CD 的中点 x0 y0 与 AB 的中点重合 且 3CDAB 于是 x0 22 1 342 xxxx y0 22 3412 yyyy x2 x1 3 x4 x3 因此 2 1 25 16 340340 340340 yyyxxx yyyxxx 若 x0y0 0 则 x2 x1 x4 x3 y4 y3 y2 y1 故 l 的方程为 241 25 x 用心 爱心 专心5 当 x0 0 y0 0 时 这时 l 通过坐标原点且不与 x 轴垂直 设 l 的方程为 y kx 分别代入椭圆 双曲线方程得 x1 2 1 1 2516 20 2 4 3 2 k x k 25 16 3 3412 kxxxx 故 l 的方程为 y 25 16 xy 综上所述 直线 l 的方程是 y x 25 16 y 13 16 和 x 241 25 5 2012 精选模拟题 设 A B 是椭圆 3x2 y2 上的两点 点 N 1 3 是线段 AB 的中 点 线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C D 两点 1 确定 A 的取值范围 并求直线 AB 的方程 试判断是否存在这样的 A 使得 A B C D 四点在同一个圆上 并说明理 由 此题不要求在答题卡上画图 错解分析 用 差比法 求斜率时 kAB 2 3 1 21 yy xx 这地方很容易出错 N 1 3 在椭圆内 3 12 32 12 应用结论时也易混淆 正确解答 1 解法 1 依题意 可设直线 AB 的方程为 y A x 1 3 代入 3x2 y2 整理得 k2 3 x2 2k k 3 x k 3 2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2是方程 的两个不同的根 4 k2 3 3 k 3 2 0 且 x1 x2 3 3 2 2 k kk 由 N 1 3 是线段 AB 的中点 得1 2 21 xx A k 3 k2 3 解得 k 1 代入 得 12 即 的取值范围是 12 于是 直线 AB 的方程为 y 3 x 1 即 x y 4 0 解法 2 设 A x1 y1 B x2 y2 则有 用心 爱心 专心6 2 2 2 2 2 1 2 1 3 3 yx yx x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 依题意 x1 x2 kAB 21 21 3 yy xx N 1 3 是 AB 的中点 x1 x2 2 yl y2 6 从而 kAB 1 又由 N 1 3 在椭圆内 3 12 32 12 的取值范围是 12 直线 AB 的方程为 y 3 x 1 即 x y 4 0 解法 1 CD 垂直平分 AB 直线 CD 的方程为 y 3 x 1 即 x y 2 0 代入椭 圆方程 整理得 4x2 4x 4 又设 C x3 y3 D x4 y4 CD 的中点为 M x0 y0 则 x3 x4是方程 的两根 x3 x4 1 且 x0 2 1 x3 x4 2 1 y0 x0 2 2 3 即 M 2 1 2 3 于是由弦长公式可得 CD 3 2 1 1 43 2 xx k 将直线 AB 的方程 x y 4 0 代入椭圆方程得 4x2 8x 16 0 同理可得 AB 12 2 1 21 2 xxk 当 12 时 3 2 12 2 AB 12 CD 垂直平分 AB 直线 CD 方程为 y 3 x 1 代入椭圆方程 整理得 4x2 4x 4 用心 爱心 专心7 0 将直线 AB 的方程 x y 4 0 代入椭圆方程 整理得 4x2 8x 16 0 解 和 式可得 xl 2 2 31 2 122 4 3 x 不妨设 A 1 2 33 2 31 2 33 2 31 12 2 1 3 12 2 1 DC 2 1233 2 3123 2 1233 2 3123 CA CA 计算可得0 CACA A 在以 CD 为直径的圆上 又 B 为 A 关于 CD 的对称点 A B C D 四点共圆 注 也可用勾股定理证明 AC AD 特别提醒特别提醒 1 重点掌握椭圆的定义和性质 加强直线与椭圆位置关系问题的研究 2 注重思维的全面性 例如求椭圆方程时只考虑到焦点在 轴上的情形 研究直线与 椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形 3 注重思想方法的训练 在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法 与弦长公式韦达定理联系去解决 关于参数范围问题常用思路有 判别式法 自身范围法 等 求椭圆的方程常用方法有 定义法 直接法 待定系数法 相关点法 参数法等 考场思维调练考场思维调练 1 已知椭圆的中心 O 是坐标原点 A 是它的左顶点 F 是它的左焦点 l1 l2分别为 左右准线 l1与 x 轴交于 O P Q 两点在椭圆上 且 PM l1于 M PN l2于 N QF AO 则 下列比值中等于椭圆离心率的有 5 4 3 2 1 BF QF BA AF BO AO PN PF PM PF A 1 个 B 2 个 C 4 个 D 5 个 答案 C 解析 对 1 4 的正确性容易判断 对 3 由于 c a a BO AO 2 e 故 3 正确 对 5 可求得 QF 2 a b BF c b c c a 22 e BF QF 故 故 5 正确 2 显然不对 所选 C 2 椭圆有这样的光学性质 从随圆的一个焦点出发的光线 经椭圆壁反射后 反射光 线经过随圆的另一个焦点 今有一个水平放置的椭圆形台球盘 点 A B 是它的焦点 长轴 用心 爱心 专心8 长为 20 焦距为 2c 静放在点 A 的小球 小球的半径不计 从点 A 沿直线出发 经椭圆 壁反弹后第一次回到点 A 时 小球经过的路程是 A 4a B 2 a c C 2 a c D 以上答案均有可能 答案 D 解析 1 静放在点 A 的小球 小球的半径不计 从点 A 沿直线出发 经椭圆 壁右顶点反弹后第一次回到点 A 时 小球经过的路程是 2 d c 则选 B 2 静放在点 A 的小球 小球的半径不计 从点 A 沿直线出发 经椭圆壁左顶点反弹后第 一次回到点 A 时 小 球经过的路程是 2 a c 则选 C 3 静放在点 A 的小球 小球的半径不计 从点 A 沿直线出发 经椭圆壁非左右顶点反弹 后第一次回到点 A 时 小球经过的路程是 4a 则选 A 于是三种情况均有可能 故选 D 令 V t 4 a2t V 2 4 t a2由 V O a t 2 当时 t a 2 时 V 0 当 0 t a 2 时 V 2 则 0 a 2 0 b 0 的右焦点为 F 右准线与一条 渐近线交于点 A OAF 的面积为 2 2 a O 为原点 则两条渐近线的夹角为 A 30 B 45 C 60 D 90 错误解答 B 错解分析 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角 即 4e4 25e2 25 0 解不等式得 4 5 e2 5 所以 e 的取值范围是 5 2 5 2 5 5 错解分析 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围 e 1 用心 爱心 专心10 正确解答 解法 直线 J 的方程为 b y a x 1 即 bx ay ab 0 由点到直线的距离公式 且 a 1 得到点 1 0 到直线 l 的距离 d1 1 22 ba ab 同理得到点 1 0 到直线 l 的距离 d2 1 22 ba ab s d1 d2 22 22c ab ba ab 由025254 215 25 5 42 5 4 2222222 eeeecacac c ab cs即于是得即得 解不等式 得 5 2 5 01 5 4 5 2 eeee的取值范围是所以由于 特别提醒特别提醒 1 注意双曲线两个定义的理解及应用 在第二定义中 要强调 e 1 必须明确焦点与 准线的对应性 2 由给定条件求出双曲线的方程 常用待定系数法 当焦点位置不确定时 方程可能 有两种形式 应防止遗漏 3 掌握参数 a b c e 的关系 渐近线及其几何意义 并注意灵活运用 变式训练变式训练 答案 由 PMDF1 知四边形 PF1OM 为平行四边形 又由 1 1 OPOM OPOM OFOP OFOP 用心 爱心 专心11 知 OP 平分 F1OM PF1OM 菱形 设半焦距为 c 由 1 OF c 知eacacc PM PF PFPFPMPF 22 1 121 又 即 c e c a 1 e2 e 2 0 e 2 e 1 舍去 2 若此双曲线过点 N 2 3 求双曲线方程 答案 e 2 a c c 2a 双曲线方程为 3 2 1 3 2 2 2 2 将点 a y a x 代入 有3a 1 4 34 2 22 aa 即所求双曲线方程为 93 22 yx 1 3 设 2 中双曲线的虚轴端点为 B1 B2 B1在 y 轴正半轴上 求 B2作直线 AB 与双曲 线交于 A B 两点 求BBAB 11 时 直线 AB 的方程 答案 依题意得 B1 0 3 B2 0 3 设直线 AB 的方程为 y kx 3 A x1 y1 B x2 y2 则由 1 93 0 186 3 3 22 22 yx kxxk kxy 双曲线的渐近线为 y x3 当 k 3时 AB 与双曲线只有一个交点 即 k 3 x1 x2 3 18 3 6 2 21 2 k xx k k y1 y2 k x1 x2 6 2 3 18 k y1y2 k2x1x2 k x1 x2 9 9 又 AB1 x1 y1 3 BB1 x2 y2 3 AB1 BB1 09 3 212121 yyyyxx 09 3 18 39 3 18 22 kk 即 k2 5 k 5 故所求直线 AB 的方程为 y 5x 3 或 y 5x 3 3 设双曲线 4 2 x y2 1 的右顶点为 A P 是双曲 线上异于顶点的一个动点 从 A 引双曲线的两条渐近 线的平行线与直线 OP O 为坐标原点 分别交于 Q 和 R 两点 1 证明 无论 P 点在什么位置 总有 2 AROQOP 用心 爱心 专心12 答案 设 OP y kx 与 AR y 联立 2 2 1 x 解得 21 2 21 2 k k k OR 同理可得 21 2 21 2 k k k OQ 所以 OQ OR 41 44 2 2 k k 设 OP 2 m n 则由双曲线方程与 OP 方程联立解得 m2 41 4 41 4 2 2 2 2 k k n k 所以 OP 2 m2 n2 41 44 2 2 OROQ k k 点在双曲线上 1 4k2 0 2 设动点 C 满足条件 2 1 ARAQAC 求点 C 的轨迹方程 答案 2 1 ARAQAC 点 C 为 QR 的中心 设 C x y 则有 2 2 41 2 41 2 k k y k x 消去 k 可得所求轨迹方程为 x2 x2 4y2 0 x 0 易错点易错点 3 3 对抛物线相关知识的考查 对抛物线相关知识的考查 当直线 l 的斜率为 2 时 求 l 在 y 轴上截距的取值范围 错误解答 设 l 在 y 轴上的截距为 b 依题意得 l 的方程为 y 2x b 过点 A B 的直线方程可写为 y 2 1 mx 与 y 2x2联立得 2x2 2 1 x m 0 得 x1 x2 4 1 设 AB 的中点 N 的坐标为 x0 y0 则 x0 2 1 x1 x2 用心 爱心 专心13 8 1 y0 2 1 x0 m 16 1 m 由 N l 得 16 1 m 4 1 b 于是 b 16 5 16 5 m 即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为 16 5 错解分析 没有借助 0 来求出 m 32 1 无法进一步求出 b 的范围 只好胡 乱地把 m 当作大于或等于 0 正确解答 1 F l FA FB A B 两点到抛物线的准线的距离相等 抛物线的准线是 x 轴的平行线 y1 0 y2 0 依题意 y1 y2不同时为 0 上述条件等价于 yl y2 x12 x22 x1 x2 x1 x2 0 x1 x2 上述条件等价于 x1 x2 0 即当且仅当 x1 x2 0 时 l 经过抛物线的焦点 F 设 l 在 y 轴上的截距为 b 依题意得 l 的方程为 y 2x b 过点 A B 的直线方程 可写 即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为 32 9 3 2012 精选模拟题 如图 过抛物线 y2 2px p 0 上一定点 p x0 y0 y0 0 作两 条直线分别交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 1 求该抛物线上纵坐标为 2 P 的点到其焦点 F 的距离 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时 求 0 21 y yy 的值 并证明直线 AB 的斜率是 非零常数 错误解答 1 当 y 2 p 时 x 8 p 又抛物线的准线方程 用心 爱心 专心14 为 x P 由抛物线定义得 所求距离为 8 9 8 pp p 设直线 PA 的斜率为 kPA 直线 PB 的斜率为 kPB 由 y21 2px1 y20 2px0 相减得 yl y0 y1 y0 2P x1 x0 故 kPA 01 2 yy P x1 x0 同理可得 kpB 01 2 yy P x2 x0 由 kPA kPB得 y0 2 yl y2 故 2 1 0 21 y yy 设直线 AB 的斜率为 kAB 由 y22 2px2 y21 2px1 相减得 y2 y1 y2 y1 2P x2 x1 故 kAB 2 21 2112 12 xx yy p xx yy 将 y1 y2 2 1 y0 y0 0 代入得 kAB 0 4 y p 故 kAB是非零常数 错解分析 没有掌握抛物线的准线方程 计算不够准确 正确解答 1 当 y 2 p 时 x 8 p 又抛物线 y2 2px 的准线方程为 x 2 p 由抛物线定义得 所求距离为 8 p 2 p 8 5p 设直线 PA 的斜率为 kPA 直线 PB 的斜率为 kPB 由 y12 2px1 y20 2px0 相减得 y1 y0 yl y0 2P x1 x0 故 kPA 0101 01 2 yy p xx yy x1 x0 同理可得 kPB 01 2 yy p x2 x0 由 PA PB 倾斜角互补知 kPA kPB 即 01 2 yy p 02 2 yy p 所以 yl y2 2y0 故 0 21 y yy 2 设直线 AB 的斜率为 kAB 由 y22 2px2 y21 2pxl 相减得 y2 y1 y2 y1 2p x2 x1 所以 2 21 2112 12 xx yy p xx yy kAB 将 yl y2 2y0 y0 0 代入得 2 021 y p yy p kAB 所以 kAB是非零常数 用心 爱心 专心15 4 2012 精选模拟题 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y x2上异于坐标原点 O 的两 不同动点 A B 满足 AO BO 如图所示 1 求 AOB 的重心 C 即三角形三条中线的交点 的轨迹方程 AOB 的面积是否存在最小值 若存在 请求出最小值 若不存在 请说明理由 OA OB 错误解答 设 AOB 的重心为 G x y A x1 y1 B x2 y2 则 1 3 3 21 21 yy y xx x OA0 OBOAOB x1x2 yly2 0 2 又点 A B 在抛物线上 有 y1 x12 y2 x22代入 2 化简得 xlx2 0 或 1 y 3 1 3 1 3 2 2 2 1 21 xx yy x1 x2 2 2x1x2 3x2 3 2 或 3x2 故重心为 G 的轨迹方程为 y 3x2或 y 3x2 3 2 错解分析 没有考虑到 x1x2 0 时 AOB 不存在 特别提醒特别提醒 用待定系数法求抛物线标准方程 注意分类讨论思想 用心 爱心 专心16 凡涉及抛物线的弦长 弦的中点 弦的斜率问题时要注意利用韦达定理 能避免求交 点坐标的复杂运算 解决焦点弦问题时 抛物线的定义有广泛的应用 而且还应注意焦点弦的几何性质 变式探究变式探究 1 已知抛物线 y2 4x 的准线与 x 轴交于 M 点 过 M 作直线与抛物线交于 A B 两点 若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 D x0 0 1 求 x0的取值范围 答案 由题意易得 M 1 0 设过点 M 的直线方程为 y k x 1 k 0 代入 y2 4x 得 k2x2 2k2 4 x k2 0 1 再设 A x1 y1 B x2 y2 则1 24 2121 2 xx k xx k kxxkxkxkyy 4 2 1 1 212121 AB 的中点坐标为 2 2 2 2 k k k 那么线段 AB 的垂直平分线方程为得令0 2 12 2 2 y k k x kk y 2 1 2 0 2 22 2 2 2 kk k x k k x 即 又方程 1 中 2k2 4 2 4k4 0 0 k2 1 3 2 2 0 2 x k 2 ABD 能否是正三角形 若能求出 x0的值 若不能 说明理由 答案 若 ABD 是正三角形 则有点 D 到 AB 的距离等于 2 3 AB AB 2 1 k2 x1 x2 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 1 16 4 22 k kk 点以 AB 的距离 d k k kk k k k k k 2 2 2 2 2 2 12 1 22 1 2 据 d2 4 4 2 2 2 1 16 4 3 1 4 4 3 k k k k AB 得 4k4 k2 3 0 k2 1 4k2 3 0 k2 4 3 满足 0 k20 2 若直线 l 的斜率 k 2 且点 M 到直线 3x 4y m 0 的距离为 5 1 试确定 m 的取值 范围 3 在以 O 为坐标原点的直角坐标系中 已知点 T 8 0 点 M 在 y 轴上 点 N 在 x 轴的正半轴上 且满足 0PNMPMPTM 1 当 M 在 y 轴上移动时 求点 P 的轨迹 C 答案 设点 P x y 由 PNMP 知 P 是 M N 中点 又 M 在 y 轴上 N 在 x 轴 用心 爱心 专心18 正半轴上 故 M 坐标为 0 2y N 个坐标为 2x 0 x 0 0 2 8 PMTM MPTM yxy 得 8x 2y2 0即 y2 4x x 0 故点 P 的轨迹是 0 0 为顶点 以 2 0 为焦距的抛物线 除去原点 2 若动直线 l 经过点 D 4 0 交曲线 C 与 A B 两点 求是否存在垂直于 x 轴直线 l 被以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值 若存在 求出 l 的方程 若不存在 请说明理 由 答案 设 AD 中点为 H 垂直于 x 轴的直线 l 的方程为 x a 以 AD 为直径的圆交 l 于 E F 两点 EF 的中点为 G 因为 EH 2 1 AD 2 1 2 1 2 1 4 yx 其中 x1 y1 为坐标 HG 2 4 1 a x 所以 EG 2 EH 2 4 1 x1 4 2 yx2 4 1 x1 2a 2 4 4 1 x1 4 2 4x1 4 1 x1 2a 2 8 x1 2a 16 4 1 4ax1 12x1 4a2 16a a 3 x1 a2 4a 所以当 a 3 时 以 AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值 l 的方程 x 3 易错点易错点 4 4 对直线与圆锥曲线的关系的考查对直线与圆锥曲线的关系的考查 1 设双曲线 C 1 2 2 2 y a x a 0 与直线 l x y 1 相交于两个不同的点 A B 1 求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 设直线 l 与 y 轴的交点为 P 且PBPA 12 5 求 a 的值 用心 爱心 专心19 以 2 2 2 2 2 2 2 1 2 12 5 1 2 12 17 a a x a a x 消去 x2得 13 17 60 289 1 2 2 2 a a a 错解分析 1 没有考虑到 1 a2 0 没有注意到题目本身的条件 a 0 正确解答 1 由 C 与 l 相交于两个不同的点 故知方程组 1 1 2 2 2 yx y a x 有两个不同的实数解 消去 y 并整理得 1 a2 x2 2a2x 2a2x 2a2 0 所以 0 1 84 01 224 2 aaa a 解得 0 a 2 6 且 e 2 即离心率 e 的取值范围为 2 6 2 设 A x1 y1 B x2 y2 P 0 1 PBPA 12 5 x1 y1 1 12 5 x2 y2 1 由此得 x1 12 5 x2 由于 x1 x2都是方程 的根 且 1 a2 0 所以 x 2 22 122 k kk AA 2 22 122 k kk l 2 22 12 1 2 k kk 用心 爱心 专心20 BB 2 22 2 22 12 1 2122 k kk k kk 4 3 3 4 0 9 12 1 2 12 1 2 4 12 1 2 12 1 2 22 22 22 22 kk kk kk kk kk AA BB 错解分析 没有理解反余弦的意义 思路不清晰 正确解答 1 C 的焦点为 F 1 0 直线 l 的斜率为 1 所以 l 的方程为了 y x 1 将 y x 1 代入方程 y2 4x 并整理得 x2 6x 1 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则有 xl x2 6 x1x2 1 OBOA x1 y1 x2 y2 x1x2 yly2 2x1x2 x1 x2 1 3 所以OA与OB夹角的大小为 arc cos 41 413 由题设AFFB 得 x2 1 y2 1 x1 y1 即 12 12 1 1 yy xx 由 得 y22 2y21 y21 4x1 y22 4x2 x2 2x1 联立 解得 x2 依题意有 0 B 2 或 B 2 又 9 1 0 得直线 l 方程为 1 y x 1 或 1 y 2 x 1 当 4 9 时 l 在 y 轴上的截 用心 爱心 专心21 距为 1 2 或 1 2 设点 p 的坐标是 x0 y0 则 a cx e y ecx y 22 0 10 00 0 0 解得 1 1 2 1 3 2 2 0 2 2 0 e ae y c e e x 由 PF1 F1F2 得 c e ce 1 2 2 2 2 22 2 2 4 1 1 2 c e ae 两边同时除以 4a2 化简得 2 2 22 1 1 e e e 从而 e2 3 1 于是 3 2 1 2 e 2 当 PF1 F1F2 时 同理可得 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 c e ce c e ce 解得 e2 3 于是 1 3 2 3 当 PF2 F1F2 时 同理可得 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 c e ce c e ce 4c2 解得 e2 1 于是 1 1 0 综上所述 当 3 2 或 2 或 0 时 PF1F2 F2为等腰三角形 证法二 因为 A B 分别是直线 l y ex a 与 x 轴 y 轴的交点 所以 A B 的坐标分 别是 e a 0 0 a 设 M 的坐标是 x0 y0 由ABAM 得 a e a x 0 所以 1 0 0 ay e a x 因为点 M 在椭圆上 所以 2 2 0 2 2 0 b y a x 1 用心 爱心 专心22 即 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 eeb a a e a 所以 e4 2 1 e2 1 2 0 解得 e2 1 即 1 e2 解法一 因为 PF1 l 所以 PF1F2 90 BAF1为钝角 要使 PF1F2为等腰 三角形 必有 PF1 F1F2 即2 1 PF1 c 设点 F1到 l 的距离为 d 由2 1 PF1 d c e eca e ace 22 1 1 0 得 2 2 1 1 e e e 所以 e2 3 1 于是 1 e2 3 2 即当 3 2 时 PF1F2为等腰三角形 解法二 因为 PF1 l 所以 PF1F2 90 BAF1为钝角 要使 PF1F2为等腰三角 形 必有 PF1 F1F2 设点 P 的坐标是 x0 y0 则 a cx e y ecx y 22 0 10 00 0 0 解得 1 1 2 1 3 2 2 0 2 2 0 e ae y e e x 由 PF1 FlF2 得 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 e ae c e ce 4c2 两边同时除以 4a2 化简得 1 1 1 2 e e e2 从而 e2 3 1 于是 l e2 3 2 即当 3 2 时 PF1F2为等腰三角形 4 2012 精选模拟题 抛物线 C 的方程为 y ax2 a 0 过抛物线 C 上一点 P x0 y0 x0 0 作斜率为 k1 k2的两条直线分别交抛物线 C 于 A x1 y1 B x2 y2 两点 P A B 三 点互不相同 且满足 k2 k1 0 0 且 1 求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程 设直线 AB 上一点 M 满足BM MA 证明线段 PM 的中点在 y 轴上 当 A 1 时 若点 P 的坐标为 1 1 求 PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1的取值 范围 错误解答 1 抛物线 C 的方程 y ax2 a 0 得 焦点坐标为 4 a 0 准线方程为 x 4 a P 1 1 在 y ax2上 故 a 1 y x2 由 易得 y1 k1 1 2 y2 k2 1 2 因此 直线 PA PB 分别与抛物线 C 的交点 用心 爱心 专心23 A B 的坐标为 A k1 1 k21 2k1 1 B k1 1 k21 2k1 1 于是AP k1 2 k21 2k1 AB 2k1 4k1 ABAP 2k1 k1 2 2k1 1 因 PAB 为钝 角且 P A B 三点互不相同 故必有AP AB 0 易得 k1的取值范围是 k1 2 或 2 1 kl 0 又 yl k1 1 2 故当 k1 2 时 y 1 当 2 1 k1 0 时 1 yl 4 1 即 y1 错解分析 没有掌握好抛物线的标准形式及交并集的概念 正确解答 1 由抛物线 C 的方程 y ax2 a 0 得 焦点坐标为 0 a4 1 准线方程 为 y a4 1 证明 设直线 PA 的方程为 y y0 k1 x x0 直线 PB 的方程为 y y0 k2 x x0 点 P x0 y0 和 点 A x1 y1 的坐标是方程组 2 1 2 010 axy xxkyy 的解 将 式代入 式得 ax2 k1x klx0 y0 0 于是 x1 x0 a k1 故 x1 a k1 x0 又点 P x0 y0 和点 B x2 y2 的坐标是方程组 5 4 2 010 axy xxkyy 的解 将 式代入 式得 ax2 k2x k2x0 y0 0 于是 x2 x0 a k2 故 x2 a k2 x0 由已知得 k2 kl 则 x2 01 xk a 设点 M 的坐标为 xM yM 由BM MA 则 xM 1 12 xx 将 式和 式代入上式得 1 00 xx xMx0 即 xM x0 0 所以线段 PM 的中点在 y 轴上 因为点 P 1 1 在抛物线 y ax2上 所以 a 1 抛物线方程为 y x2 由 式知 x1 k1 1 代入 y x2得 y1 k1 1 2 将 1 代入 式得 x2 k1 1 代入 y x2得 y2 k2 1 2 因此 直线 PA PB 分别与抛物线 C 的交点 A B 的坐标为 A k1 1 k21 2k1 1 B k1 1 k12 2k1 1 于是AP k1 2 k12 2k1 AB 2K1 4K1 ABAP 2k1 k1 2 4kl k12 2k1 2k1 k1 2 2k1 1 因 PAB 为钝角且 P A B 三点互不相同 故必有ABAP 0 用心 爱心 专心24 求得 k1的取值范围是 k1 2 或 2 1 k1 0 又点 A 的纵坐标 y1满足 y1 k1 1 2 故当 k1 2 时 y1 1 当 2 1 k1 0 时 1 y1n 0 的离心 率分别为 e1 e2 e3 则 A e1e2 e3 B e1e2 e3 C e1e2 e3 D e1e2与 e3大小不确定 答案 B 解析 e1 13 1 1 1 2 22 2132 m nm eee m n e m n 故选 B 2 已知平行四边形 ABCD A 2 0 B 2 0 且 AD 2 1 求平行四边形 ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程 答案 设 E x y D x0 y0 ABCD 是平行四边形 2 AEADAB 4 0 x0 2 y0 2 x 2 y x0 6 y0 2x 4 2y yy yy xx xx 2 2 22 426 0 0 0 0 又 AD 2 x0 2 2 y02 4 2x 2 2 2 4 即 x2 y2 1 ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程为 x2 y2 1 用心 爱心 专心25 中点到轴的距离为 3 4 且 MN 过点 A 而点 A 在 y 轴的左侧 MN 中点也在 y 轴的左 侧 9 128 3 4 3 32 9 64 1 2 3 8 12 3 8 8 3 4 3 8 4 3 8 3 8 82 3 4 4 2 22 21 2 22 21 2 2121 2 21 21 222 222 22 ak xxkMN a xxxxxx a xx xxaka kaa ka 3 与 E 点轨迹相切的直线 l 交椭圆于 P Q 两点 求 PQ 的最大值及此时 l 的方程 答案 由 1 可知点 E 的轨迹是圆1 22 yx 用心 爱心 专心26 设是圆上的任点 则过 x0 y0 点的切线方程是 x0 x y0y 1 当 y0 0 时 0 0 1 y xx y 代入椭圆方程得 22 0 2 0 2 0 4 0 22 0 2 0 2 21 2 0 2 0 2 02 21 2 0 0 224 0 22 0 22 0 21 2 21 2 21 2 0 2 0 2120 22 0 2 0 2 0 2 00 22 0 2 0 1 1516 1208128 1 1 1 1 1 1 1208128 1 1 1 1 4 1 3032 4 1 1 03224 2 x x xx xx xx y yx xx y x PQxx xx xxxxxx x x xxxxxx yxyxxxyx 又 令311516 2 0 tx 则 2 1 256 12 256 16 1 1 2 2 2 t t tt t t PQ 15 t0 与直线 l2 y kx 之间的阴影区域 不含边界 记为 W 其左半部分记为 W1 右半部分记为 W2 1 分别用不等式组表示 W1和 W2 若区域 中的动点 p x y 到 l1 l2的距离之积等于 d2 求 P 点的轨迹 C 的方程 设不过原点 O 的直线 l 与 中的曲线 C 相交于 Ml M2两点 且与 l1 l2分别 交于 M3 M4两点 求证 OM1M2的重心与 OM3M3的重心重合 错误解答 1 W1 x y y kx x0 直线 l1 kx y 0 直线 l2 kx y 0 由题意得 1 2 k ykx 1 2 k bkx d2即 1 2 222 k yxk d2 k2x2 y2 k2 1 d2 0 故动点 P 的轨迹 C 的方程为 k2x2 y2 k2 1 d2 0 略 错解分析 没有很好地理解题意 第二问出现两解 致使第三问过于复杂难以完 用心 爱心 专心28 成 OM3M4的重心坐标都为 3 2 a 0 即它们的重心重合 当直线 l1与 x 轴不垂直时 设直线 J 的方程为 y mx n n 0 由 nmxy dkyxk0 1 22222 得 k2 m2 x2 2mnx n2 k2d2 d2 0 由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点 可知 k2 m2 0 且 2mn 2 4 k2 m2 x n2 k2d2 d2 0 设 M1 M2的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 x1 x2 22 2 mk mn y1 y2 m x1 x2 2n 设 M3 M4的坐标分别为 x3 y3 x4 y4 由 nmxy kxy 及 nmxy kxy 得 x3 mk n x4 mk n 从而 x3 x4 22 2 mk mn x1 x2 所以 y3 y4 m x3 x4 2n m x1 x2 2n y1 y2 于是 OM1M2的重心与 OM3M4的重心也重合 4 2012 精选模拟题 已知椭圆 2 2 2 2 b y a x 1 a b 0 的左 右焦点分别是 F1 c 0 F2 c 0 Q 是椭圆外的动点 满足 1Q F 2a 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点 点 T 在线 段 F2Q 上 并且满足PT 2 TF 0 2 TF 0 1 设 x 为点 P 的横坐标 证明 PF1 a x a c 求点 T 的轨迹 C 的方程 试问 在点 T 的轨迹 C 上 是否存在点 M 使 F1MF2的 面积 S b2 若存在 求 F1MF2的正切值 若不存在 请说明理 由 错误解答 1 证明 由焦半径公式得PF1 a ex a x a c 设点 T 的坐标为 x y 由 2 TFPT 0 得 222 TFQFPFPQTFPT 又 在 QF1F2中aQFOT 2 1 1 故有 x2 b2 a2 x a C 上存在 M x0 y0 使 s b2的充要条件是 2 2 2 1 1 2 0 22 0 2 0 byc ayx 用心 爱心 专心29 又 1 MF C x0 y0 2 MF c x0 y0 由 1 MF 2 MF x02 c2 y20 a2 c2 b2 由 r1 r2 2a r21 r22 4cx 得 1P F r1 a x a c 证法三 设点 P 的坐标为 x y 椭圆的左准线方程 a x a c 0 由椭圆第二定义得 a c c a x PF 2 1 即 2 1 x a c a c a x a c PF 由 x a 知 a x a c c a 0 所以 1P F a x a c 解法一 设点 T 的坐标为 x y 当 PT 0 时 点 a 0 和点 a 0 在轨迹上 当0 PT且0 2 TF时 由 2 TFPT 0 得 2 TFTP 又 2 PFPQ 所以 T 为线段 F2Q 的中点 在 QF1F2中 2 1 1Q FOT a 所以有 x2 y2 a2 综上所述 点 T 的轨迹 C 的方程是 x2 y2 a2 用心 爱心 专心30 解法一 C 上存在点 M x0 y0 使 S b2的充要条件是 4 2 2 1 3 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由 得 y0 a 由 得 y0 c b2 所以 当 a c b2 时 存在点 M 使 S b2 当 a c b2 时 不存在满足条件的点 M 当 a c b2 时 1 MF c c0 y0 2 MF c c0 y0 由 1 MF 2 MF x02 c2 y20 a2 c2 b2 2 tan sin 2 1 cos 21 2 2121 212121 MFFbMFFMFMFS MFFMFMFMFMF 得 解法二 C 上存在点 M x0 y0 使 S b2的充要条件是 4 2 2 1 3 2 0 20 2 0 2 byc ayx 由 得 y0 c b2 上式代入 得 x20 a2 2 4 c b a c b2 a c b2 0 于是 当 a c b2 时 存在点 M 使 s b2 当 a c b2 时 不存在满足条件的点 M 当 a c b2 时 记 k1 kF1M 0 0 22 0 0 cx y kk cx y MF 用心 爱心 专心31 由 F1F2 2a 知 F1MF2b 0 点户为其上 一点 F1 F2为椭圆的焦点 F1PF2的外角平分线 为 l 点 F2关于 l 的对称点为 Q F2Q 交 l 于点 R 1 当 P 点在椭圆上运动时 求 R 形成的轨 迹方程 答案 点 F2关于 l 的对称点为 Q 连接 PQ F2PQ QPR F2R PQ PF2 又因为 l 为 F1PF2外角的平分线 故点 F1 P Q 在同一直线上 设存在 R x0 y0 Q x1 y1 F1 c 0 F2 c 0 F1Q F2P PQ F1P PF2 2a 则 x1 c 2 y12 2a 2 又 2 2 1 0 1 0 y y cx x 得 x1 2x0 c y1 2y0 2x0 2 2y0 2 2a 2 x02 y02 a2 故 R 的轨迹方程为 x2 y2 a2 y 0 2 设点 R 形成的曲线为 C 直线 l y k x 2a 与曲线 C 相交于 A B 两点 当 AOB 的面积取得最大值时 求 k 的值 答案 如下图 S AOB 2 1 OA OB sinAOB 2 2 a sinAOB 当 AOB 90 时 S AOB最大值为 2 1 a2 此时弦心距 OC 1 2 2 k ak 用心 爱心 专心32 在 RT AOC 中 AOC 45 45cos 1 2 2 ka ak OA OC 3 3 2 2 k 答案 由已知求得 N 2 0 关于直线 x y 1 的对称点 E 1 1 则 QE QN 双曲线的 C 实轴长 2a QM QN QM QE ME 10 当且仅当 Q E M 共线时 取 双曲线 C 的实半轴长 a 2 10 3 已知 OFQ 的面积为 26 且FQOF m 1 设6 m0 只能 x 2 3 于是 y 2 35 点 P 的坐标是 2 35 2 3 2 直线 AP 的方程是 x 3 6 0 设点 M m 0 则 M 到直线 AP 的距离是 2 6 m 于 是 2 6 m m 6 又 6 m 6 解得 m 2 椭圆上的点 x y 到点 M 的距离 d 有 d2 x 2 2 y2 x2 4x 4 20 9 5 x2 9 4 x 2 9 2 15 由于 6 m 6 当 x 2 9 时 d 取得最小值15 2 2012 精选模拟题 如图 直线 y 2 1 x 严与抛物线 y 8 1 x2 4 交于 A B 两点 线段 AB 的垂直平分线与直线 y 5 交于点 Q 用心 爱心 专心35 1 求点 Q 的坐标 2 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方 含点 A B 的动 点时 求 OPQ 面积的最大值 错误解答 1 略 由 1 得 Q 5 5 直线 OQ 的方程为 x y 0 设 P x 2 8 1 x 4 点 P 到直线 OQ 的距离 d 48 4 16 5 328 16 5 2 1 25 328 28 1 2 4 8 1 222 2 xxxdOQSOQxx xx OPQ 4 x 8 S OPQ 最大值 16 5 4 4 2 48 15 错解分析 要注意二次函数最大值的求法 正确解答 1 解方程组 4 8 1 2 1 2 xy xy 得 4 8 2 4 2 2 1 1 y x y x 即 A 4 2 B 8 4 从而 AB 的中点为 M 2 1 由 2 1 AB k 得线段