三角函数的图像和变换以及经典习题和答案

1 典型例题典型例题 例 例 1 1 函数函数的振幅是的振幅是 周期是 周期是 频率是 频率是 3 sin 226 x y 相位是相位是 初相是 初相是 3 2 1 4 26 x 6 2 函数 函数的对称中心是的对称中心是 对称轴方程是 对称轴方程是 2sin 2 3 yx 单调增区间是 单调增区间是 0 26 k kZ 5 212 k xkZ 5 1212 kkkz 3 将函数将函数的图象按向量的图象按向量sin 0 yx 平移 平移后的图象如图所示 则平移后的图平移 平移后的图象如图所示 则平移后的图 0 6 a 象所对应函数的解析式是 象所对应函数的解析式是 A A B B sin 6 yx sin 6 yx C C D D sin 2 3 yx sin 2 3 yx C C 提示 将函数提示 将函数的图象按向的图象按向sin 0 yx 量量平移 平移后的图象所对应的解析式为平移 平移后的图象所对应的解析式为 由图象知 由图象知 0 6 a sin 6 yx 所以 所以 73 1262 2 4 为了得到函数为了得到函数的图像 只需把函数的图像 只需把函数的图像的图像Rx x y 63 sin 2 Rxxy sin2 上所有的点上所有的点 A 向左平移 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 倍 纵坐标不变 6 3 1 B 向右平移 向右平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 倍 纵坐标不变 6 3 1 C 向左平移 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 纵坐标不变 倍 纵坐标不变 6 D 向右平移 向右平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 纵坐标不变 倍 纵坐标不变 6 2 C 先将先将的图象向左平移的图象向左平移个单位长度 得到函数个单位长度 得到函数Rxxy sin2 6 的图象 再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的的图象 再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 纵坐标倍 纵坐标2sin 6 yxxR 不变 得到函数不变 得到函数的图像的图像Rx x y 63 sin 2 例 例 2 已知函数 已知函数 若直线 若直线为其一为其一 2 2cos3sin2 01 f xxx 其中 3 x 条对称轴 条对称轴 1 试求 试求的值的值 2 作出函数 作出函数在区间在区间上的图象 上的图象 f x 解 解 1 2 2cos3sin21 cos23sin2f xxxxx 2sin 2 1 6 x 是是的一条对称轴的一条对称轴 3 x yf x 2 sin 1 36 2 362 kkZ 13 22 k kZ 1 01 2 例 例 4 设函数设函数 2 3cossincosf xxxxa 其中 其中 且 且的图像在的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是轴右侧的第一个最高点的横坐标是 0 aR f xy 6 求 求的值 的值 如果 如果在区间在区间上的最小值为上的最小值为 求 求的值 的值 f x 5 36 3a 解 解 I 3133 cos2sin2sin 2 22232 f xxxxa 依题意得依题意得 1 2 6322 II 由 由 I 知 知 又当 又当时 时 3 sin 32 f xx 5 36 x 故 故 从而 从而在区间在区间 7 0 36 x 1 sin 1 23 x f x 5 36 上的最小值为上的最小值为 故 故 13 3 22 a 31 2 a 课内练习课内练习 3 1 若把一个函数的图象按若把一个函数的图象按 2 平移后得到函数 平移后得到函数的图象 则原图的图象 则原图a 3 xycos 象的函数解析式是象的函数解析式是 A B C D 2 3 cos xy2 3 cos xy2 3 cos xy 2 3 cos xy D 提示 将函数提示 将函数的图象按的图象按平移可得原图象的函数解析式平移可得原图象的函数解析式xycos a 3 若函数f x sin x 的图象 部分 如下图所示 则 和的取值是 x y 2 O 33 1 A 1 B 1 C D 3 3 2 1 6 2 1 6 C 提示 由图象知 T 4 4 3 2 3 2 2 1 又当x 时 y 1 sin 1 3 2 2 1 3 2 2k k Z Z 当k 0 时 3 2 6 4 4 函数 函数的图象向右平移的图象向右平移 个单位 得到的图象关于直线 个单位 得到的图象关于直线对称 对称 sin2yx 0 6 x 则则的最小值为的最小值为 以上都不对以上都不对 A 5 12 B 11 6 C 11 12 D A A 提示 平移后解析式为提示 平移后解析式为 图象关于 图象关于对称 对称 sin 22 yx 6 x 22 62 k kZ 212 k kZ 当当时 时 的最小值为的最小值为 1k 5 12 若函数 若函数的定义域为的定义域为 值 值 2 sin cos2 sincos f xaxxaxxab 0 2 域为域为 求 求的值 的值 5 1 a b 解 令解 令 则 则 又 又 故 故sincosxxt 2 1 sin cos 2 t xx 0 2 x 1 2 t 4 所以所以 由题意知 由题意知 22 21 2 22 ya