2010年上海市重点中学高三数学重要考题精选及精解5新人教版

用心 爱心 专心 S A B C O D x y z 上海市重点中学重要考题精选及精解 上海市重点中学重要考题精选及精解 5 5 1 本题满分 14 分 第 1 题 6 分 第 2 题 8 分 如图 圆锥的顶点是 S 底面中心为 O OC 是与底面直径 AB 垂直的一条半径 D 是母线 SC 的中点 1 求证 BC 与 SA 不可能垂直 2 设圆锥的高为 4 异面直线 AD 与 BC 所成角为 2 arccos 6 求圆锥的体积 本题共 2 小题 其中第 1 小题 6 分 第 2 小题 8 分 满分 14 分 解 1 证法一 反证法 若BCSA 连 AC 由 AB 是直径 则ACBC 所以BC 平面SAC 2 分 则BCSC 3 分 又圆锥的母线长相等 SCB 是等腰三角形 SBC 的底角 则SCB 是锐角4 分 与BCSC 矛盾 所以BC与 SA 不垂直 6 分 证法二 建立如图坐标系 设圆锥的高为h 底面 半径为r 则 0 0 0 0 0 0 BrC rAr 0 0 Sh 0 0 SArh BCrr 3 分 2 0SA BCr 5 分 所以BC与 SA 不垂直6 分 2 建立如图坐标系 设底面半径为r 由高为 4 则 0 2 2 r D 则 2 2 r ADr 0 BCrr 8 分 2 22 2 2 cos 52165 24 4 r r AD BC rr r 10 分 S A B C O D 用心 爱心 专心 O P D M x y B 由 AD 与 BC 所成角为 2 arccos 6 所以 2 2 6 2165 r r 解得2r 12 分 所以 2 116 33 Vr h 14 分 2 本题满分 14 分 第 1 题 6 分 第 2 题 8 分 如图 圆 22 4xy 与y轴的正半轴交于点 B P 是圆上的动点 P 点在x轴上的投影 是 D 点 M 满足 1 2 DMDP 1 求动点 M 的轨迹 C 的方程 并说明轨迹是什么图形 2 过点 B 的直线l与 M 点的轨迹 C 交于不同的两点 E F 若2BFBE 求直线l的 方程 本题共 2 小题 其中第一小题 6 分 第二小题 8 分 满分 14 分 解 1 设 00 M x y P xy 则题意DPx 轴且 M 是 DP 的中点 所以 0 0 2 xx yy 2 分 又 P 在圆 22 4xy 上 所以 22 00 4xy 即 22 2 4xy 即 2 2 1 4 x y 4 分 轨迹是以 3 0 与 3 0 为焦点 长轴长为 4 的椭圆 6 分 注 只说轨迹是椭圆扣 1 分 2 方法一 当直线l的斜率不存在时 0 2 0 1 0 1 BEF 不满足题意 7 分 设直线l方程为2ykx 代入椭圆方程得 22 14 16120kxkx 222 3 16 48 14 0 4 kkk 9 分 O P D M x y B 用心 爱心 专心 设 1122 E x yF xy 则 12 2 12 2 16 14 12 14 k xx k xx k 11 分 由2BFBE 知 E 是 BF 中点 所以 21 2xx 由 解得 2 27 20 k 满足 2 3 4 k 所以 3 15 10 k 13 分 即所求直线方程为 3 15 2 10 yx 14 分 注 解题过程中若不验证斜率不存在或 符号时 扣 1 分 方法二 设 00 E xy 由2BFBE 知 E 是 BF 中点 又 0 2 B 所以 00 2 22 Fxy 因 E F都在椭圆 22 44xy 上 所以 22 00 22 00 44 4 1 1 xy xy 9 分 解得 00 157 48 xy 11 分 若 15 7 48 E 则 0 0 23 15 10 y k x 13 分 所以直线l方程为 3 15 2 10 yx 14 分 3 16 分 在直角坐标平面中 ABC 的两个顶点BA 的坐标分别为 0 7 7 A 0 7 7 B 两动点NM 满足MA MB MC 0 NC NA NB 向 77 量MN与AB共线 1 求ABC 的顶点C的轨迹方程 2 若过点 1 0 P的直线与 1 轨迹相交于FE 两点 求PE PF的取值范围 用心 爱心 专心 解 1 设 x y MA MB MC 0 0 M x 3 y 3 又 NA NB 且向量MN 与AB 共线 N 在边 AB 的中垂线上 N 0 y 3 而 NC NA 即x2 1 0 y 6 7 x2 4 9y27 1 7a2 1 9y2 y2 3 分 2 设 E x1 y1 F x2 y2 过点 P 0 1 的直线方程为y kx 1 代入x2 1 y2 3 得 3 k2 x2 2kx 4 0 1 x 4k2 16 3 k2 0 k20 b 0 a b 和点 N x0 y0 则称直线l ax0 x by0y 1 为椭 圆 C 的 伴随直线 1 若 N x0 y0 在椭圆 C 上 判断椭圆 C 与它的 伴随直线 的位置关系 当直线与椭圆的 交点个数为 0 个 1 个 2 个时 分别称直线与椭圆相离 相切 相交 并说明理由 用心 爱心 专心 2 命题 若点 N x0 y0 在椭圆 C 的外部 则直线l与椭圆 C 必相交 写出这个命题的 逆命题 判断此逆命题的真假 说明理由 3 若 N x0 y0 在椭圆 C 的内部 过 N 点任意作一条直线 交椭圆 C 于 A B 交l于 M 点 异于 A B 设 1 MAAN 2 MBBN 问 12 是否为定值 说明理由 1 0by1xax2xxaaby 1ybyxax 1byax 2 00 2 2 0 2 2 0 00 22 即 ax2 2ax0 x ax02 0 4a2x02 4a2x02 0 l与椭圆 C 相切 0 34 2 逆命题 若直线l ax0 x by0y 1 与椭圆 C 相交 则点 N x0 y0 在椭圆 C 的外部 是真命题 联立方程得 aby02 a2x02 x2 2ax0 x 1 by02 0 则 4a2x02 4a by02 ax02 1 by02 0 ax02 by02 b2y04 ax02 abx02y02 0 by02 ax02 1 N x0 y0 在椭圆 C 的外部 0 75 3 同理可得此时l与椭圆相离 设 M x1 y1 A x y 则 1 011 1 011 1 yy y 1 xx x 代入椭圆 C ax2 by2 1 利用 M 在l上 即 ax0 x1 by0y1 1 整理得 ax02 by02 1 12 ax12 by12 1 0 同理得关于 2的方程 类似 即 1 2是 ax02 by02 1 2 ax12 by12 1 0 的两根 1 2 0 100 7 10 分 已知向量 0 1 a 1 1 2 b 直线l经过定点 A 0 3 且以2ab 为方向向 量 又圆 C 的方程为 22 2 4 0 xmym 1 求直线l的方程 2 当直线l被圆 C 截得的弦长为2 3时 求实数 m 的值 解 1 2ab 1 1 2 分 用心 爱心 专心 所以 直线l的点方向式方程为 3 11 xy x y 3 0 5 分 2 又题意 2 23 34 1 1 m 8 分 解得 m 21 10 分 8 12 分 已知定点 A 0 1 B 0 1 C 1 0 动点 P 满足 2 AP BPk PC 1 求动点 P 的轨迹方程 并说明方程表示的曲线类型 2 求 APBP 的取值范围 解 1 设动点 P x y 则 1 1 1 APx yBPx yPCxy 由 2 AP BPk PC 得 x2 y2 1 22 1 k xky 化简得 22 1 1 2 1 0k xk ykxk 4 分 当 k 1 时 方程为 x 1 表示直线 5 分 当 k 1 时 方程为 222 1 11 k xy kk 表示以 1 0 1 1 k kk 为圆心 为半径的圆 7 分 2 当 k 2 时 点 P 的轨迹方程为 22 1 1xy APBP 2 22 xy 243 1 3 xx 10 分 所以 2 APBP 6 12 分 9 本题满分 12 分 如图 三棱柱 111 CBAABC 的底面是边长为a的正三角形 侧面 11A ABB是菱形且垂直 于底面 ABA1 60 M是 11B A的中点 1 求证 BM AC 2 求二面角 111 ACBB 的正切值 3 求三棱锥CBAM 1 的体积 9 1 略 2 所求二面角的正切值是 2 3 3 16 1 aV 用心 爱心 专心 10 本题满分 14 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 7 分 第 2 小题满分 7 分 已知点 F 1 0 直线l x 2 设动点 P 到直线l的距离为 d 已知 PF 2 2 d 且 2 3 3 2 d 1 求动点 P 的轨迹方程 2 若OFPF 3 1 求向量OP与OF的夹角 10 1 所求的点 P 轨迹方程为 3 4 2 1 1 2 2 2 xy x 2 向量OP与OF的夹角为11 11 2 arccos 11 本题满分 18 分 本题共有 2 个小题 第 1 小题满分 8 分 第 2 小题满分 10 分 直角梯形ABCD中 DAB 90 AD BC AB 2 AD 2 3 BC 2 1 椭圆C以A B为焦 点且经过点D 1 建立适当坐标系 求椭圆C的方程 2 文 是否存在直线l与椭圆C交于M N两点 且线段MN的中点为C 若存在 求l 与直线AB的夹角 若不存在