高中抛物线知识点归纳总结及练习试题及答案

抛物线专题复习抛物线专题复习 知识点梳理 知识点梳理 抛 物 线 0 2 2 p pxy 0 2 2 p pxy 0 2 2 p pyx 0 2 2 p pyx 定义 平面内与一个定点和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点Fl 叫做抛物线的焦点 直线 叫做抛物线的准线 Fl 点 M 到直线 的距离 MFM l 范围 0 xyR 0 xyR 0 xR y 0 xR y 对称性关于轴对称x关于轴对称y 0 2 p 0 2 p 0 2 p 0 2 p 焦点 焦点在对称轴上 顶点 0 0 O 离心率 1e 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 准线 方程 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等 顶点到准 线的距离2 p 焦点到准 线的距离 p 焦半径焦半径 11 A x y 1 2 p AFx 1 2 p AFx 1 2 p AFy 1 2 p AFy x y O l Fx y O l F l F x y O x y O l F 焦焦 点弦点弦 长长 AB 12 xxp 12 xxp 12 yyp 12 yyp 以以为直径的圆必与准线为直径的圆必与准线 相切相切ABl 若若的倾斜角为的倾斜角为 则 则AB 2 2 sin p AB 若若的倾斜角为的倾斜角为 则 则AB 2 2 cos p AB 2 12 4 p x x 2 12 y yp 焦点弦 的几AB 条性质 11 A x y 22 B xy 112AFBFAB AFBFAFBFAFBFp 切线 方程 00 y yp xx 00 y yp xx 00 x xp yy 00 x xp yy 一 直线与抛物线的位置关系一 直线与抛物线的位置关系 直线 抛物线 消 y 得 1 当 k 0 时 直线 与抛物线的对称轴平行 有一个交点 l 2 当 k 0 时 0 直线 与抛物线相交 两个不同交点 l 0 直线 与抛物线相切 一个切点 l 0 直线 与抛物线相离 无公共点 l 3 若直线与抛物线只有一个公共点 则直线与抛物线必相切吗 不一定 二 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法二 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 抛物线 lbkxy 0 p 联立方程法 联立方程法 pxy bkxy 2 2 0 2 222 bxpkbxk o o x 22 B xy F F y y 11 A x y 设交点坐标为 则有 以及 还可进一步求出 11 yxA 22 yxB0 2121 xxxx bxxkbkxbkxyy2 212121 2 2121 2 2121 bxxkbxxkbkxbkxyy 在涉及弦长 中点 对称 面积等问题时 常用此法 比如 相交弦相交弦 ABAB 的弦长的弦长 21 2 21 2 21 2 4 11xxxxkxxkAB a k 2 1 或 21 2 21 2 21 2 4 1 1 1 1yyyy k yy k AB a k 2 1 抛物线练习抛物线练习 1 已知点 P 在抛物线 y2 4x 上 那么点 P 到点 Q 2 1 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小 值时 点 P 的坐标为 2 已知点 P 是抛物线上的一个动点 则点 P 到点 0 2 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的 2 2yx 最小值为 3 直线与抛物线交于两点 过两点向抛物线的准线作垂线 垂足分别为 3yx 2 4yx A B A B P Q 则梯形的面积为 APQB 4 设是坐标原点 是抛物线的焦点 是抛物线上的一点 与轴正向的夹角为OF 2 2 0 ypx p AFA x 则为 60 OA 5 抛物线的焦点为 准线为 经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点 2 4yx FlF3x 垂足为 则的面积是 AAKl KAKF 6 已知抛物线的焦点为 准线与轴的交点为 点在上且 则 2 8C yx FxKAC2AKAF 的面积为 AFK 7 已知双曲线 则以双曲线中心为焦点 以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 22 1 45 xy 8 在平面直角坐标系中 有一定点 若线段的垂直平分线过抛物线则该抛物xoy 2 1 AOA 2 2 0 ypx p 线的方程是 9 在平面直角坐标系中 已知抛物线关于轴对称 顶点在原点 且过点P 2 4 则该抛物线的方xoyxO 程是 10 抛物线上的点到直线距离的最小值是 2 yx 4380 xy 11 已知抛物线 y2 4x 过点 P 4 0 的直线与抛物线相交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 则 y12 y22的最小值是 12 已知点 是抛物线上的两个动点 是坐标原点 向量 11 A x y 22 B xy 12 0 x x 2 2 0 ypx p OOA 满足 设圆的方程为 OB OAOBOAOB C 22 1212 0 xyxx xyyy 1 证明线段是圆的直径 ABC 2 当圆 C 的圆心到直线 x 2y 0 的距离的最小值为时 求 p 的值 2 5 5 解 1 证明 22 OAOBOAOBOAOBOAOB 2222 22OAOA OBOBOAOA OBOB 整理得 1 0OA OB 1212 0 xxyy 以线段 AB 为直径的圆的方程为 2222 1212 1212 1 224 xxyy xyxxyy 展开并将 1 代入得 22 1212 0 xyxx xyyy 故线段是圆的直径ABC 2 解 设圆 C 的圆心为 C x y 则 12 12 2 2 xx x yy y 圆心 C 到直线 x 2y 0 的距离为 d 则 12 12 2 5 xx yy d 又因 22 1122 2 2 0 ypx ypxp 22 12 12 2 4 y y x x p 1212 0 xxyy 1212 xxyy 22 12 12 2 4 y y yy p 1212 0 0 xxyy 2 12 4yyp 22 1212222 121212 1 24 8 4 54 5 yyyy yyy yp yypp d p 22 12 2 4 4 5 yypp p 当时 d 有最小值 由题设得 12 2yyp 5 p2 5 55 p 2p 13 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上 其中为坐标原点 设圆是的内接圆OAB 2 2yx OCOAB 点为圆心 C 1 求圆的方程 C 2 设圆的方程为 过圆上任意一点分别作圆的两条切线M 22 47cos 7cos 1xy MPC 切点为 求的最大值和最小值 PEPF EF CE CF 1 解 设两点坐标分别为 由题设知AB 11 xy 22 xy 又因为 可得 即 2222 1122 xyxy 2 11 2yx 2 22 2yx 22 1122 22xxxx 由 可知 故两点关于轴对称 所以圆心在 1212 2 0 xxxx 1 0 x 2 0 x 12 xx AB xC 轴上 设点的坐标为 则点坐标为 于是有 解得 所以xC 0 r A 33 22 rr 2 33 2 22 rr 4r 圆的方程为 C 22 4 16xy 2 解 设 则 2ECFa 2 cos216cos232cos16CE CFCECF AAA 在中 由圆的几何性质得RtPCE 4 cos x PCPC 17PCMC 18 17 16PCMC 所以 由此可得 则的最大值为 最小值为 12 cos 23 16 8 9 CE CF A CE CF A 16 9 8 14 如图 已知点 直线 为平面上的动点 10 F 1l x P 过作直线 的垂线 垂足为点 且 PlQQP QFFP FQ AA 1 求动点的轨迹的方程 PC 2 过点的直线交轨迹于两点 交直线 于点 已知 求FCAB lM 1 MAAF 1 2 MBBF 的值 12 解 1 设点 则 由得 P xy 1 Qy QP QFFP FQ AA 化简得 10 2 1 2 xyxyy AA 2 4C yx 2 设直线的方程为 AB1 0 xmym 设 又 11 A xy 22 B xy 2 1M m 联立方程组 消去得 2 4 1 yx xmy x 故 2 440ymy 2 4 120m O y x1 l F P B Q M FO A x y 12 12 4 4 yym y y 由 得 1 MAAF 2 MBBF 整理得 111 2 yy m 222 2 yy m 山水是一 1 1 2 1 my 2 2 2 1 my 12 12 211 2