高中数学 数系的扩充和复数的概念教案 新人教A版选修1

用心 爱心 专心1 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 目标认知目标认知 学习目标 学习目标 1 理解复数的基本概念 理解复数相等的充要条件 2 了解复数的代数表示法及其几何意义 3 会进行复数代数形式的四则运算 了解复数代数形式的加 减运算的几何意义 重点 重点 复数的概念 复数的代数运算及数系的扩充 难点 难点 对概念的准确理解以及复数的几种意义 学习策略学习策略 复数是对数系的又一次扩充 对复数 既要从整体的角度去认识它 abi a bR 把复数看成一个整体 又要从实部和虚部分解成两部分去认识它 这是理解复数问题的重 要思路 复数的加 减 乘 除运算一般用代数形式进行 求解计算时 要充分利用 i 的性质 计算问题 复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法 其依据是复数的有 关概念和两个复数相等的充要条件 知识要点梳理知识要点梳理 知识点一 复数的基本概念知识点一 复数的基本概念 1 1 虚数单位虚数单位 i 1 它的平方等于 即 1 2 1i 2 是 1 的一个平方根 即方程的一个根 方程的另一个根是 i 2 1x 2 1x i 3 可与实数进行四则运算 进行四则运算时 原有加 乘运算律仍然成立 i 2 2 概念概念 形如 的数叫复数 记作 其中 叫复数abi a bR zabi a bR a 的实部 叫复数的虚部 是虚数单位 全体复数所成的集合叫做复数集 用字母表biC 示 说明 说明 这里容易忽视 但却是列方程求复数的重要依据 a bR 3 3 复数的分类复数的分类 zabi a bR 0 0 0 0 b a b a 实数 纯虚数 虚数 非纯虚数 4 4 复数集与其它数集之间的关系复数集与其它数集之间的关系 NZQRC 5 5 复数与实数 虚数 纯虚数 复数与实数 虚数 纯虚数 0 0 的关系 的关系 对于复数 zabi a bR 当且仅当时 复数是实数 0b zabia 当且仅当时 复数叫做虚数 0b zabi 当且仅当且时 复数叫做纯虚数 0a 0b zabibi 用心 爱心 专心2 当且仅当时 复数就是实数 0 0ab 0zabi 6 6 复数相等的充要条件复数相等的充要条件 两个复数相等的定义 如果两个复数的实部和虚部分别相等 那么我们就说这两个复数 相等 即 如果 那么 a b c dR ac abicdi bd 特别地 00abiab 说明 说明 1 abicdiacbd 或 2 一个复数一旦实部 虚部确定 那么这个复数就唯一确定 反之一样 3 复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础 4 一般地 两个复数只能说相等或不相等 而不能比较大小 如果两个复数都是实 数 就可以比较大小 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小 6 6 共轭复数 共轭复数 如果两个复数的实部相等 而虚部互为相反数 那么这两个复数叫做互为共轭复数 复 数的共轭复数用表示 即复数的共轭复数记作 zzzabi zabiabi a bR 注意 注意 实数的共轭复数仍是它本身 知识点二 复数的代数表示法及其四则运算知识点二 复数的代数表示法及其四则运算 1 1 复数的代数形式复数的代数形式 把复数表示成 的形式 叫做复数的代数形式 abi a bR 2 2 四则运算四则运算 设 则 1 zabi 2 zcdi a b c dR 12 zzabicdiacbd i 21 zzcadb i 12 zzabi cdiacbdbcad i 1 2222 2 zabiabi cdiacbdbcad i zcdicdi cdicdcd 注意 注意 复数除法通常上下同乘分母的共轭复数 3 3 指数幂的运算律 指数幂的运算律 在复数集 C 中 指数幂的运算律仍然成立 即对任意及 有 12 z z zR m nN mnm n zzz mnmn zz 1212 n nn zzzz 规定 0 1 1 0 m m zzz z 知识点三 复数的几何意义知识点三 复数的几何意义 1 1 复平面 实轴 虚轴 复平面 实轴 虚轴 如图所示 复数 可用点表示 这个建立了直角坐标系来zabi a bR Z a b 表示复数的平面叫做复平面 也叫高斯平面 轴叫做实轴 轴叫做虚轴 xy 用心 爱心 专心3 注意 注意 实轴上的点都表示实数 除了原点外 虚轴上的点都表示纯虚数 2 2 复数集与复平面内点的对应关系复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法 每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应 反过来 复平 面内的每一个点 有唯一的一个复数和它对应 复数集 C C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系 即 复数复平面内的点zabi 一一对应 Z a b 这是复数的一种几何意义 3 3 复数集与复平面中的向量的对应关系复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中 每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示 而有序实数对 与复数是一一对应的 所以 我们还可以用向量来表示复数 设复平面内的点表示复数 向量由点唯一确 Z a bzabi a bR OZ Z a b 定 反过来 点也可以由向量唯一确定 Z a bOZ 复数集 C C 和复平面内的向量所成的集合是一一对应的 即OZ 复数平面向量zabi 一一对应 OZ 这是复数的另一种几何意义 4 4 复数的模复数的模 设 则向量的长度叫做复数的模 记作 OZabi a bR OZzabi abi 即 22 0zOZab 理解理解 两个复数不全是实数时不能比较大小 但它们的模可以比较大小 复平面内 表示两个共轭复数的点关于 x 轴对称 并且他们的模相等 知识点四 复数加减法的几何意义知识点四 复数加减法的几何意义 如果复数 分别对应于向量 那么以 为两边作平行四边形 1 z 2 z 1 OP 2 OP 1 OP 2 OP 对角线表示的向量就是的和所对应的向量 对角线表示的向 12 OPSPOSOS 12 zz 21 P P 量就是两个复数的差所对应的向量 21 P P 12 zz 规律方法指导规律方法指导 1 1 复数的表示形式 复数的表示形式 用心 爱心 专心4 代数形式 zabi a bR 几何表示 坐标表示 在复平面内以点表示复数 Z a bzabi a bR 向量表示 以原点为起点 点为终点的向量表示复数 O Z a bOZzabi 理解 理解 复数复平面内的点平面向量zabi 一一对应 Z a b 一一对应 OZ 2 2 虚数单位虚数单位 的周期性 的周期性 i 4 1 n i 41n ii 42 1 n i 43n ii nN 3 3 复数的分类复数的分类 对于复数 zabi a bR 为实数 z 0b 为虚数 z 0b 为纯虚数且 z 0a 0b 为非纯虚数且 z 0a 0b 0z 0ab 4 4 互为共轭复数的两个复数的性质 互为共轭复数的两个复数的性质 代数特征 实部相等 虚部互为相反数 几