西城区2016届高三一模数学(理)

第 1 页 共 15 页 北京市西城区 2016 年高三一模试卷 数 学 理科 2016 4 第第 卷卷 选择题 共 40 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出 符合题目要求的一项 1 设集合 集合 则 2 0 4Ax xx 21 Bn nkk ZAB 2 在平面直角坐标系中 曲线 C 的参数方程为 则曲线 C xOy 22cos 2sin x y 为参数 是 3 如果是定义在上的奇函数 那么下列函数中 一定为偶函数的是 f x R 4 在平面直角坐标系xOy中 向量 1 2 2 m 若 O A B 三点能构成三OA OB 角形 则 5 执行如图所示的程序框图 若输入的分别为 0 1 A S 则输出的 S A 4 B 16 C 27 A 1 1 B 1 3 C 3 1 D 3 1 1 3 A 关于轴对称的图形 x B 关于轴对称的图形 y C 关于原点对称的图形 D 关于直线对称的图形 yx A yxf x B yxf x C 2 yxf x D 2 yx f x A 4m B 4m C 1m D m R 输出S 2kk AAk SS A 是 否 4k 输入 A S 1k 开始 结束 第 2 页 共 15 页 D 36 6 设 则 是 的 1 0 2 x 0 a 1 2 log xxa A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7 设函数 是常数 且函数的部分 sinf xAx A 0A 0 f x 图象如图所示 则有 A 3 5 7 436 fff B 3 7 5 463 fff C 5 7 3 364 fff D 5 3 7 346 fff 8 如图 在棱长为的正四面体中 点分别在棱 上 0 a a ABCD111 B C D ABACAD 且平面平面 为内一点 记三棱锥的体积为 V 设 111 BC D BCD1 A BCDD1111 ABC D 对于函数 则 1 AD x AD Vf x A 当时 函数取到最大值 2 3 x f x B 函数在上是减函数 f x 1 1 2 C 函数的图象关于直线对称 f x 1 2 x D 存在 使得 其中为四面体的体积 0 x 0 1 3 A BCD f xV A BCD V ABCD 5 6 O x y 12 B B1 C D C1 D1 A1 A 第 3 页 共 15 页 第第 卷卷 非选择题 共 110 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 在复平面内 复数与对应的点关于虚轴对称 且 则 1 z 2 z 1 1 iz 1 2 z z 10 已知等差数列的公差 n a 0d 3 3a 24 5aa 则 记的前项和为 则的最小值为 n a n a nn S n S 11 若圆与双曲线 C 的渐近 22 2 1xy 2 2 2 1 0 x ya a 线相切 则 双曲线 C 的渐近线方程是 a 12 一个棱长为 4 的正方体 被一个平面截去一部分后 所得 几何体的三视图如图所示 则该截面的面积是 13 在冬奥会志愿者活动中 甲 乙等 5 人报名参加了 A B C 三个项目的志愿者工作 因 工作需要 每个项目仅需 1 名志愿者 且甲不能参加 A B 项目 乙不能参加 B C 项目 那么共有 种不同的选拔志愿者的方案 用数字作答 14 一辆赛车在一个周长为 3 km 的封闭跑道上行驶 跑道由几段直道和弯道组成 图 1 反 映了赛车在 计时赛 整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系 图 1 图 2 根据图 1 有以下四个说法 在这第二圈的 2 6 km 到 2 8 km 之间 赛车速度逐渐增加 1 侧 左 视图 正 主 视图 俯视图 22 A s C s D s s s B 第 4 页 共 15 页 在整个跑道中 最长的直线路程不超过 0 6 km 2 大约在这第二圈的 0 4 km 到 0 6 km 之间 赛车开始了那段最长直线路程的行驶 3 在图 2 的四条曲线 注 S 为初始记录数据位置 中 曲线 B 最能符合赛车的运动轨迹 4 其中 所有正确说法的序号是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 15 本小题满分 13 分 在中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 设 ABC 3 A sin3sinBC 若 求的值 7a b 求的值 tanC 16 本小题满分 13 分 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试 现从中随机抽取 40 名学生的测试 成绩 整理数据并按分数段 进行 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 分组 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替 则得到体育成绩的折线图 如 下 体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为 体育良好 已知该校高一年级有 1000 名学生 试估计高一全年级中 体育良好 的学生人数 为分析学生平时的体育活动情况 现从体育成绩在和的样本学生 60 70 80 90 O 体育成绩 45 55 65 75 85 95 14 2 4 12 10 6 8 各 分 数 段 人 数 第 5 页 共 15 页 中随机抽取 2 人 求在抽取的 2 名学生中 至少有 1 人体育成绩在的概率 60 70 假设甲 乙 丙三人的体育成绩分别为 且分别在 abc 70 80 80 90 三组中 其中 当数据的方差最小时 写出的值 90 100 abc N abc 2 sabc 结论不要求证明 注 其中为数据的平均数 2222 12 1 n sxxxxxx n x 12 n xxx 17 本小题满分 14 分 如图 四边形是梯形 四边形为矩形 已知 ABCD AD BC90BAD 11 CC D D 1 ABBC 4AD 2AB 1BC 求证 平面 1 BC 1 ADD 若 求平面与平面所成的锐二面角的余弦值 1 2DD 11 AC D 1 ADD 设为线段上的一个动点 端点除外 判断直线与直线能否垂直 P1 C D 1 BC CP 并说明理由 18 本小题满分 13 分 已知函数 且 1 ee xx f xxa 1 e f 求的值及的单调区间 a f x 若关于 x 的方程存在两不相等个正实数根 证明 2 2 2 f xkxk 12 x x 12 4 ln e xx A B C D D1 C1 第 6 页 共 15 页 19 本小题满分 14 分 已知椭圆 的长轴长为 为坐标原点 C 22 31 0 mxmym 2 6O 求椭圆的方程和离心率 C 设点 动点在轴上 动点在椭圆上 且在 y 轴的右侧 若 3 0 AByPCP 求四边形面积的最小值 BABP OPAB 20 本小题满分 13 分 设数列和的项数均为 m 则将数列和的距离定义为 n a n b n a n b 1 m ii i ab 给出数列和数列的距离 1 3 5 62 3 10 7 设为满足递推关系的所有数列的集合 和为 A 中的 A 1 1 1 n n n a a a n a n b n c 第 7 页 共 15 页 两个元素 且项数均为 m 若 和的距离小于 求 m 的最大值 1 2b 1 3c n b n c 2016 记是所有 7 项数列或的集合 且中任何两个 S 107 nn ana 1 TS T 元素的距离大于或等于 3 证明 中的元素个数小于或等于 16 T 北京市西城区北京市西城区 2016 年高三一模试卷参考答案及评分标准年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学 理科 理科 2016 4 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 1 C 2 A 3 B 4 B 5 D 6 A 7 D 8 A 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分分 9 10 i29n 16 11 12 3 3 3 yx 6 13 21 14 1 4 注 第注 第 10 11 题第一问题第一问 2 分 第二问分 第二问 3 分 第分 第 14 题多选 少选或错选均不得分题多选 少选或错选均不得分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分分 其他正确解答过程 请参照评分标准给分其他正确解答过程 请参照评分标准给分 15 本小题满分 13 分 解解 因为 sin3sinBC 由正弦定理 sinsinsin abc ABC 得 3 3bc 分 第 8 页 共 15 页 由余弦定理 及 5 222 2cosabcbcA 3 A 7a 分 得 22 7bcbc 所以 2 22 7 33 bb b 解得 7 分 3b 解解 由 得 3 A 2 3 BC 所以 8 2 sin 3sin 3 CC 分 即 11 31 cossin3sin 22 CCC 分 所以 35 cossin 22 CC 所以 13 3 tan 5 C 分 16 本小题满分 13 分 解解 由折线图 知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有人 230 分 所以该校高一年级学生中 体育良好 的学生人数大约有人 4 30 1000750 40 分 解解 设 至少有 1 人体育成绩在 为事件 5 60 70 A 分 由题意 得 2 3 2 5 C37 11 C1010 P A 第 9 页 共 15 页 因此至少有 1 人体育成绩在的概率是 9 60 70 7 10 分 解解 的值分别是为 或 13 分abc7984 907985 90 17 本小题满分 14 分 证明 由为矩形 得 11 CC D D 11 CCDD 又因为平面 平面 1 DD 1 ADD 1 CC 1 ADD 所以平面 2 1 CC 1 ADD 分 同理平面 BC1 ADD 又因为 1 BCCCC 所以平面平面 3 1 BCC 1 ADD 分 又因为平面 1 BC 1 BCC 所以平面 4 1 BC 1 ADD 分 解解 由平面中 得 ABCD AD BC90BAD ABBC 又因为 1 ABBC 1 BCBCB 所以平面 AB 1 BCC 所以 1 ABCC 又因为四边形为矩形 且底面中与相交一点 11 CC D D ABCDABCD 所以平面 1 CC ABCD 因为 11 CCDD 所以平面 1 DD ABCD 第 10 页 共 15 页 过在底面中作 所以两两垂直 以 DABCDDMAD 1 DA DMDD 分 1 DA DMDD 别为轴 轴和轴 如图建立空间直角坐标系 6 x y z 分 则 0 0 0 D 4 0 0 A 4 2 0 B 3 2 0 C 1 3 2 2 C 1 0 0 2 D 所以 1 1 2 2 AC 1 4 0 2 AD 设平面的一个法向量为 11 AC D x y z m 由 得 1 0AC m 1 0AD m 220 420 xyz xz 令 得 8 分 2x 2 3 4 m 易得平面的法向量 1 ADD 0 1 0 n 所以 3 29 cos 29 m n m n mn 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 10 11 AC D 1 ADD 3 29 29 分 结论结论 直线与不可能垂直 11 1 BC CP 分 证明 证明 设 1 0 DDm m 1 0 1 DPDC 由 4 2 0 B 3 2 0 C 1 3 2 Cm 0 0 0 D 得 1 1 0 BCm 1 3 2 DCm 1 3 2 DPDCm 3 2 0 CD 12 33 22 CPCDDPm 分 若 则 即 1 BCCP 2 1 33 0BCCPm 2 3 3m 因为 0 A B C D D1 C1 P y x z 第 11 页 共 15 页 所以 解得 这与矛盾 2 3 30m 1 01 所以直线与不可能垂直 14 分 1 BC CP 18 本小题满分 13 分 解解 对求导 得 2 f x 1 1 ee xx fxxa 分 所以 解得 3 1 2eefa ea 分 故 ee xx f xx exfxx 令 得 0fx 0 x 当 变化时 与的变化情况如下表所示 x fx f x x 0 0 0 fx 0 f x 所以函数的单调减区间为 单调增区间为 5 f x 0 0 分 解解 方程 即为 2 2f xkx 2 1 e20 x xkx 设函数 6 2 1 e2 x g xxkx 分 求导 得 e2 e2 xx g xxkxxk 由 解得 或 7 0g x 0 x ln 2 xk 分 所以当变化时 与的变化情况如下表所示 0 x g x g x x 0 ln 2 kln 2 k ln 2 k 第 12 页 共 15 页 g x 0 g x 所以函数在单调递减 在上单调递增 9 g x 0 ln 2 k ln 2 k 分 由 得 2k ln 2 ln41k 又因为 1 20gk 所以 ln 2 0gk 不妨设 其中为的两个正实数根 12 xx 12 x x 2 2f xkx 因为函数在单调递减 且 g x 0 ln2 k 0 10g 1 20gk 所以 11 分 1 01x 同理根据函数在上单调递增 且 g x ln2 k ln 2 0gk 可得 2 ln 2 ln4xk 所以 1221 4 ln4 1ln e xxxx 即 13 分 12 4 ln e xx 19 本小题满分 14 分 解解 由题意 椭圆 C 1 22 1 11 3 xy mm 分 所以 2 1 a m 2 1 3 b m 故 解得 1 222 6a m 1 6 m 所以椭圆的方程为 3 分C 22 1 62 xy 因为 22 2cab 第 13 页 共 15 页 所以离心率 5 6 3 c e a 分 解解 设线段的中点为 APD 因为 所以 7 BABP BDAP 分 由题意 直线的斜率存在 设点 BD 000 0 P xyy 则点的坐标为 D 00 3 22 xy 且直线的斜率 8AP 0 0 3 AP y k x 分 所以直线的斜率为 BD 0 0 31 AP x ky 所以直线的方程为 10BD 000 0 33 22 yxx yx y 分 令 得 则 0 x 22 00 0 9 2 xy y y 22 00 0 9 0 2 xy B y 由 得 22 00 1 62 xy 22 00 63xy 化简 得 11 2 0 0 23 0 2 y B y 分 所以四边形的面积OPAB OPABOAPOAB SSS 12 2 0 0 0 2311 3 3 222 y y y 分 2 0 0 0 233 22 y y y 第 14 页 共 15 页 0 0 33 2 22 y y 0 0 33 2 2 22 y y 3 3 当且仅当 即时等号成立 0 0 3 2 2 y y 0 3 2 2 2 y 所以四边形面积的最小值为 14 分OPAB3 3 20 本小题满分 13 分 解解 由题意 数列和数列的距离为 7 2 分 1 3 5 62 3 10 7 解解 设 其中 且 1 ap 0p 1p 由 得 1 1 1 n n n a a a 2 1 1 p a p 3 1 a p 4 1 1 p a p 5 ap 所以 15 aa 因此 A 中数列的项周期性重复 且每隔 4 项重复一次 4 分 所以中 n b 43 2 k b 42 3 k b 41 1 2 k b 4 1 3 k b k N 所以中 5 分 n c 43 3 k c 42 2 k c 41 1 3 k c 4 1 2 k c k N 由 得项数 m 越大 数列和的距离越大 1 11 kk ii