高等数学试卷及答案(真题)

共 6 页 第 1 页 2010 2011 学年学年 高等数学高等数学 B B 期中试卷期中试卷 一二三四五总分 得 分 一 填空题 共 7 道小题 每小题 3 分 满分 21 分 1 2 lim 1 n n n n 3 e 2 设 则 32 2 log1yx dy 2 2 3 1 ln2 x dx x 3 若与为时的等价无穷小 则 2 00 f xxf x sin2 x 0 x 0 fx 4 设函数由方程所确定 则 xyy 3 3 1 xt ytt 1 d d t y x 2 3 5 x 0 的第一类间断点为 1 1 1ln 2 2 xe x xf x 6 2 0 3 lim 3 1cos xx x eex x 7 9 23 lim 3 2 000 n xf n xfnxf n 则已知 共 6 页 第 2 页 得 分 二 单选题 共 7 道小题 每小题 3 分 满分 21 分 1 下列叙述正确的是 C A 有界数列一定有极限 B 无界数列一定是无穷大量 C 无穷大量数列必为无界数列 D 无界数列未必发散 2 设数列满足 则 A 0 1 2 nn aan 1 lim0 n n n a a A B lim0 n n a lim0 n n aC C 不存在 D 的收敛性不能确定 lim n n a n a 3 A 0 1 arctan 2 2 x x xxf 4 振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点 DCBA C 的值为 极限 00 1 lim 0 ba a x x b x a be DeC a b BA a b ln 1 5 已知函数大于 2 的正整数时 nxfxfxf 2 A xfnxf n nnnn xfnDxfCxfnBxfnA 2211 6 下列命题正确的是 D 00 00 0 0 lim lim lim 0 00 xxxfyxfD xxxfyxfC xfxfxfB xfxfxxfA xx xxxx 7 D xx x 1 sin 1 0 2 D CBA 共 6 页 第 3 页 得 分 三 计算题 共 5 道小题 每小题 8 分 满分 40 分 1 设 求 2 1 cos 0 0 0 xx f xx x fx 解 时 4 分0 x 11 2 cossinfxx xx 时 4 分0 x 2 00 1 cos 0 0 limlim0 xx x f xf x f xx 11 2 cossin 0 0 0 xx fxxx x 2 设由方程所确定 试求 及 yy x 3 e30 x y yx 0 d d x y x 2 2 0 d d x y x 解 当时 0 x 1y 2 e 330 3 0 4 x y yxyy y y 222 4 e e 2 630 7 0 3 x yx y yxyyxyyyy y y 4 3 d 1cos2 2 1 sin 3 3 2 2 y xxx xx xy 解解 1ln 2 1 cosln2 ln 3 1 2ln 3 1ln 2sinlnln 2 xxxxxxy 2 2 分分 x x x x x x x x x x x x y y 1 d 2 1 cos cosdd 3 1 2 d3 1 1 d2 sin sindd 2 2 4 4 分分 x x x xx x x x x x xx x xxc y y 1 d 2 1 cos dsind 3 1 2 d3 1 d4 sin dosd 2 共 6 页 第 4 页 x x x xxx x xyyd 1 2 1 tan 3 1 3 1 2 3 1 4 cotd 2 x x x xxx x x xxx xx xd 1 2 1 tan 3 1 3 1 2 3 1 4 cot 1cos2 2 1 sin 2 3 3 2 2 2 2 分分 4 计算 x x af axf afaxxf 1 0 lim 0 解解 aaxaxaf 0 1 1 分分0 af axf lim 1 lim ln lim 000 af af axf afaxf x af axf x af axf xxx 5 5 分分 因此 2 2 分分 1 0 lim af af x x e af axf 不可用洛必达法则不可用洛必达法则 5 sin3tan 2 cos 22 xfxxxf 答案答案 令 即则有2cos xu 2cos ux 2 2 分分 x x xxxxxf 2 2 2222 cos32 cos 1 cos1 31 secsin3tan 2 cos 2 2 分分 2 2 2 32 2 1 u u uf 故 3 3 分分 CCuu u uf 2 2 2 1 3 共 6 页 第 5 页 得 1 1 分分C x xxxf 2 1 2 2 3 C 得 分 四 满分 8 分 内具有二阶连续导数 0 0 0 xg x x x exg xf x 且 1 求 2 讨论在处的连续性 1 0 1 0 gg x f x f 0 x 答案 答案 当时0 x 2 2 分分 2 x exgxexg x exg xf xxx 由于具有二阶连续导数 且 xg1 0 1 0 gg x exg x exg x fxf f x x x xx 2 lim lim 0 0 lim 0 0 2 00 2 2 分分 2 1 0 2 lim 0 gexg x x 因此 1 1 分分 0 2 1 0 0 1 2 x g xexgxexg x xf xx 又 0 2 1 0 2 lim lim lim 0 0 0 2 00 f g x xexg x exgxexg xf x x xx xx 2 2 分分 故在处连续 1 1 分分 x f 0 x 得 分五 证明题 共 2 道小题 每小题 5 分 满分 10 分 共 6 页 第 6 页 1 设函数在上连续 在内可导 且 证明在内至少 f x 0 1 0 1 1 0f 0 1 存在一点 使得 5 f f 证 设 在上连续 在内可导 3 分 5 F xx f x 0 1 0 1 010 FF 在内至少存在一点 使得 即 5 分 0 1 0F 5f f 2 证明当 x x xx 1 arctan 1ln 0 证明 证明 由于 xxxx 00arctan 1ln 而且 2 1 1 arctan 1 1 1ln x x x x 1 1 分分 由 cauchy 中