2020年高考数学《基本不等式及其应用（1）》专项训练及答案解析

基本不等式及其应用（1）一、基础检测【自主热身，归纳总结】1、（2019年苏州学情调研）若正实数满足，则的最小值是 【答案】、8 【解析】、因为正实数满足，所以，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取得最小值.2、(2018苏锡常镇调研（一） 已知a0, b0，且，则ab的最小值是_【答案】 2【解析】、 利用基本不等式，化和的形式为积的形式因为2，所以ab2，当且仅当时，取等号3、(2017苏北四市期末）. 若实数x，y满足xy3x3，则的最小值为_【答案】. 8【解析】、解法1 因为实数x，y满足xy3x3，所以y3(y3)，所以y3y36268，当且仅当y3，即y4时取等号，此时x，所以的最小值为8.解法2 因为实数x，y满足xy3x3，所以y3(y3)，y360，所以66268，当且仅当6，即x时取等号，此时y4，所以的最小值为8.解后反思 从消元的角度看，可以利用等式xy3x3消“实数x”或消“实数y”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟4、(2015苏北四市期末） 已知a，b为正数，且直线 axby60与直线 2x(b3)y50互相平行，则2a3b的最小值为_【答案】25【解析】、由于直线axby60与直线2x(b3)y50互相平行，所以a(b3)2b，即1(a，b均为正数)，所以2a3b(2a3b)136136225(当且仅当即ab5时取等号)5、(2017南京、盐城、徐州二模） 已知，均为锐角，且cos()，则tan的最大值是_【答案】【解析】、 注意研究目标，故先要将cos()应用两角和的余弦公式展开，然后利用同角三角函数式将tan表示为的函数形式，利用求函数的最值方法可得到结果由cos()得coscossinsin，即coscossin，由，均为锐角得cos0，tan0，所以tan，当且仅当2tan，即tan时，等号成立 根据所求的目标，将所求的目标转化为相关的变量的函数，是研究最值问题的基本方法6、(2016宿迁一模） 若a2abb21，a，b是实数，则ab的最大值是_【答案】2【解析】、解法1 因为a2abb21，即(ab)23ab1，从而3ab(ab)21，即(ab)24，所以2ab2，所以(ab)max2.解法2 令uab，与a2abb21联立消去b得3a23auu210，由于此方程有解，从而有9u212(u21)0，即u24，所以2u2，所以(ab)max2.解法3 由于a2abb21与代数式ab是对称的，根据对称极端性原理，当ab时取得最值，此时a21，从而a1，所以(ab)max2a2.7、(2017苏北四市一模） 已知a，b为正实数，且ab2，则的最小值为_【答案】2【解析】、 令b1c，通过换元，使得“别扭”变“顺眼”，本题就变得比较常规了设b1c，则bc1，ac3，且0a2,1c0(a，b，cR)的解集为x|3x4，则的最小值为_【答案】 4 先根据一元二次不等式的解集，确定a0，以及a，b，c的关系，再将所求运用消元法，统一成单变量a的函数问题，运用基本不等式求最值依题意得a0)，所以(m1)x2ny21，令m1n，与mn1联立解得m，n，从而x2y2.二、拓展延伸题型一、利用基本不等式求最值问题知识点拨：利用基本不等式求最值的问题，关键是对复杂的代数式进行合理的代数变形，配凑出使用基本不等式的条件，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1、(2019苏锡常镇调研）已知正实数a，b满足ab1，则的最小值为 【答案】、.【解析】、思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解当且仅当，即时取“”，所以的最小值为【变式1】、(2019常州期末）已知正数x，y满足x1，则的最小值为_【答案】、4【解析】、 多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数知识求解解法1(直接消元) 由x1得yxx2，故4，当且仅当x1x，即x时取“”故的最小值为4.解法2(直接消元) 由x1得1x，故，以下同解法1.解法3(消元，分离常数凑定值) 同解法1，2得24，当且仅当，即x时取“”故的最小值为4.解法4(“1”的代换) 因为x1，所以24，当且仅当，即时取“”故的最小值为4.【变式2】、(2019镇江期末）已知x0，y0，xy，则xy的最小值为_【答案】、3【解析】、 本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解解法1 因为x0，y0，所以xy，得xy3，当且仅当x1，y2时取等号解法2 xy3，当且仅当，即x1，y2时取等号【变式3】、(2019苏北三市期末）已知a0，b0，且a3b，则b的最大值为_【答案】、 【解析】、由a3b，得3ba.又a0，所以3ba2(当且仅当a1时取等号)，即3b2，又b0，解得0b，所以b的最大值为. 【变式4】、(2019宿迁期末） 已知正实数a，b满足a2b2，则的最小值为_. 【答案】、【解析】、解法1(消元法) 由a2b2得a22b0，所以0b1，令f(b)，f(b).当b时，f(b)0，f(b)递增，所以当b时，f(b)有唯一的极小值，也是最小值f.解法2(齐次化) 因为a2b2，所以2，当且仅当a，b时取等号，所以所求的最小值为. 求互相制约的双变元问题的最值，最直接的方法就是消元后转化为一元问题，如解法1；对于分式的最值问题也常常通过齐次化后用基本不等式求解，如解法2.解法2用到了“1”的代换【变式5】、(2018苏锡常镇调研（二） 已知为正实数，且，则的最小值为 【答案】、【解析】、解题过程：因为，所以，故，当且仅当，即时取得等号，所以的最小值为题型二 利用基本不等式解决多元问题知识点拨：多元最值问题是最典型的代数问题，代数问题要注重结构的观察和变形，变形恰当后，直接可以构造几何意义也可以使问题明朗化，具体归纳如下：(1)多元最值首选消元：三元问题二元问题一元问题(2)二元最值考查频率高，解决策略如下：策略一：消元策略二：不好消元用基本不等式及其变形式，线性规划，三角换元(3) 多元问题不好消元的时候可以减元，常见的减元策略：策略一：齐次式同除减元策略二：整体思想代入消元或者减元策略三：局部思想锁定主元(本题就是)例2、(2019南京、盐城一模）若正实数a，b，c满足aba2b，abca2bc，则c的最大值为_【答案】、 【解析】、 注意到求c的最大值，所以将参数c进行分离，为此，可以利用abca2bc进行分离得c1，从而将问题转化为求a2b的最小值； 结合abca2bc与aba2b化简得abcabc来进行分离得c1，进而求ab的最小值 由于所求解的c与a，b有关，而a，b不对称，因此，将2b看作一个整体，则它与a就是对称的，根据对称原理可以猜想得到问题的答案解法1 由abca2bc得，c1，由aba2b得，1，所以a2b(a2b)442448，故c.解法2 因为abca2bc，aba2b，所以abcabc，故c1，由aba2b利用基本不等式得ab2，故ab8，当且仅当a4，b2时等号成立，故c11.解法3(对等性猜测) 因为已知条件可以改写为“a2ba2b，a2bca2bc”，故a与2b对等，不妨设a2b，解得a2b4，c，故c的最大值为. 解法1，2都是应用了分离参数的方法，即将所求的参数c用a，b表示出来，从而将问题转化为求与a，b有关的代数式的最值问题来加以解决，其中解法2更容易把握这是两种基础的解法而解法3则是将“非对称式”应用整体转化的方法转化为“对称式”来加以处理，对思维能力的要求很高【变式1】、(2019苏北三市期末） 已知x0，y0，z0，且xyz6，则x3y23z的最小值为_【答案】、 【解析】、 本题消元后转化为二元问题研究解法1(配方导数求函数最值) x3y23zx3y23(6xy)x33xy23y18x33xx33x，当且仅当y时取等号设g(x)x33x，g(x)3x23.令g(x)0得x1，得g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，从而g(x)ming(1)2，所以(x3y23z)min2，即所求最小值为，当且仅当x1，y，z时取等号解法2(基本不等式配凑) 由x3113x(当且仅当x1，取等号)，y23y，得x3y23z23(xyz)18，x3y23z(当且仅当x1，y，z取等)【变式2】、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 已知a，b，c均为正数，且abc4(ab)，则abc的最小值为_【答案】、8【解析】、由a，b，c均为正数，abc4(ab)，得c，代入得abcab228，当且仅当ab2时，等号成立，所以abc的最小值为8. 1. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是：参数是否为正；二定是：和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是：最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点：一是相等时参数是否在定义域内；二是多次用“”或“”时等号能否同时成立)2. 研究多变量问题的基本方法是简化问题，即进行减元处理，而减元的基本策略就是消元，这一点要高度重视【变式3】、(2018苏州期末）已知正实数a，b，c满足1，1，则c的取值范围是_【答案】、【解析】、 由第二个等式知，要求出c的取值范围，只要先求出ab的取值范围，而这可由第一个等式求得解法1 因为ab(ab)24，)，所以，从而1，得c.解法2 由题两等式得abab，c(ab)c(ab)，所以cabc(ab)，即c1.因为abab2，所以ab4，所以c1.【变式4】、(2018南京、盐城一模）若不等式ksin2BsinAsinC19sinBsinC对任意ABC都成立，则实数k的最小值为_【答案】、 100【解析】、本题首先用正弦定理将三角函数转化为边，然后再利用三角形中的边的不等关系，消元后转化为二元问题研究二元问题的最值问题，可以用基本不等式来处理解法1(函数的最值) 因为ksin2BsinAsinC19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2ac19bc，即k.因为ABC为任意三角形，所以a|bc|，即当01时，20100，即的最大值为100，所以k100，即实数k的最小值为100.解法2(基本不等式) 因为ksin2BsinAsinC19sinBsinC，所以由正弦定理可得kb2ac19bc，即k.又.因为cab，所以1，即y0，且xy2，则的最小值为_【答案】、【解析】、设解得所以xy2，即mn4.设t，所以4t(mn)332.即t，当且仅当，即mn时取等号 本题所给条件为x，y的和的不等式，所求的为与x，y相关的倒数和最值问题，可以先对分母进行还原处理后，再结合“1”的代换技巧来处理，这里要说