2011年山东省高考理科数学试题详解

1 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 理理 科科 数数 学学 本试卷分第 卷和第 卷两部分 共 4 页 满分 150 分 考试用时 120 分钟 考试结束后 将本 试卷和答题卡一并交回 注意事项 1 答题前 考生务必用 0 5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名 座号 准考证号 县区和科类填写 在自己的答题卡和试卷规定的位置上 2 第 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答案不能答在试卷上 3 第 卷必须用 0 5 毫米黑色签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置 不能写在试卷上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不能使用涂改液 胶带纸 修正带 不按以上要求作答的答案无效 4 填空题请直接填写答案 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 参考公式 柱体的体积公式 其中表示柱体的底面积 表示柱体的高 VSh Sh 圆柱的侧面积公式 其中 c 是圆柱的底面周长 是圆柱的母线长 Scl l 球的体积公式 其中 R 是球的半径 34 V 3 R 球的表面积公式 其中 R 是球的半径 2 4SR 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1 2 2 1 n ii i n i i x ynx y bayb x xnx 如果事件互斥 那么 AB P ABP AP B 第第 1 1 卷 共卷 共 6060 分 分 一 选择题 本大题共 l2 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 设集合 则 06 2 xxxM 31 xxN NM A B C D 2 1 2 1 3 2 3 2 答案 A 2 解析 解得 则 故选 A 23 xxM 21 xxNM 2 复数 为虚数单位 在复平面内对应的点所在象限为 D 2i 2i z i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 因为 故复数 z 对应点在第四象限 选 D 2 2i 32i4i 2i555 z 3 若点在函数的图象上 则的值为 D 9 a3xy tan 6 a A 0 B C 1 D 3 解析 由题意知 解得 2 所以 故选 D 39 a a 2 tantantan3 663 a 4 不等式的解集为 1035 xx A B C D 7 5 6 4 75 64 答案 D 解析 法一 零点分段讨论 略 法二 由不等式的几何意义 不等式表示数轴上35 xx 的点与点 5 的距离和数轴上的点与点的距离之和 其距离之和的最小值为 8 结合数轴 选xx3 项 D 正确 5 对于函数 的图象关于轴对称 是 是奇函数 的 B Ryf x x yf x y yf x A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 解析 由奇函数定义 容易得选项 B 正确 6 若函数 0 在区间上单调递增 在区间上单调递减 则 C sinf xx 0 3 3 2 A 8 B 2 C D 3 2 2 3 解析 由题意知 函数在处取得最大值 1 所以 故选 C 3 x 1sin 3 32 3 2 7 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 万元 x4235 销售额 万元 y49263954 根据上表可得回归方程 ybxa 中的 b为 9 4 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 B 3 A 63 6 万元 B 65 5 万元 C 67 7 万元 D 72 0 万元 解析 由表可计算 因为点在回归直线 42357 42 x 49263954 42 4 y 7 42 2 上 且为 9 4 所以 解得 故回归方程为 令 ybxa b 7 429 4 2 a 9 1a 9 49 1yx x 6 得65 5 选 B y 8 已知双曲线的两条渐近线均和圆相切 且双曲 2 2 22 1 0 0 y x ab ab 22 650C xyx 线的右焦点为圆的圆心 则该双曲线的方程为 A C A B C D 2 2 1 54 y x 2 2 1 45 y x 2 2 1 36 y x 2 2 1 63 y x 解析 由圆 C 22 650 xyx 得 22 3 4xy 因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心 3 0 所 以 c 3 又双曲线的两条渐近线0bxay 均和圆 C 相切 所以 22 3 2 b ab 即 3 2 b c 又因为 c 3 所 以 b 2 即 2 5a 所以该双曲线的方程为 22 1 54 xy 故选 A 9 函数的图象大致是 C 2sin 2 x yx 解析 因为 所以令 得 此时原函数是增函数 令 1 2cos 2 yx 1 2cos0 2 yx 1 cos 4 x 得 此时原函数是减函数 结合余弦函数图象 可得选 C 正确 1 2cos0 2 yx 1 cos 4 x 10 已知是上最小正周期为 2 的周期函数 且当时 则函数 f xR02x 3 f xxx 的图象在区间上与轴的交点的个数为 B yf x 0 6 x A 6 B 7 C 8 D 9 解析 因为当时 又因为是上最小正周期为 2 的周期函数 且02x 3 f xxx f xR 所以 又因为 所以 故函数 0 0f 6 4 2 0 0ffff 1 0f 3 0f 5 0f 的图象在区间 0 6 上与轴的交点的个数为 7 个 选 B yf x x 4 11 下图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在四棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在圆柱 其正 主 视图 俯视图如下图 其中真命题的个数 是 A A 3 B 2 C 1 D 0 解析 对于 可以是放倒的三棱柱 容易判断 可以 12 设是平面直角坐标系中两两不同的四点 若 1234 A A A A 且 则称调和分割已 1312 RA AA A 1412 A AA A R 11 2 34 A A 12 A A 知点调和分割点 则下面说法正确的是 D 0 0 RC cD dc d 0 0 1 0 AB A C 可能是线段 AB 的中点 B D 可能是线段 AB 的中点 C C D 可能同时在线段 AB 上 D C D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 解析 由 知四点 在同一条直线 1312 RA AA A 1412 A AA A R 1 A 2 A 3 A 4 A 上 因为调和分割点 所以四点在同一直线上 且 故选 D C D A B A B C D 11 2 cd 第 II 卷 共 90 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 执行右图所示的程序框图 输入 l 2 m 3 n 5 则输出的 y 的值是 68 解析 第一次计算得出 y 278 第二次得新的 y 173 第三次得新的 y 68 105 输出68 y 14 若展开式的常数项为则常数的值为 4 6 2 a x x 60 a 解析 因为 所以 常数项为 6 162 rrr r a TCx x 2r 60 解得 2 6 a C 4a 15 设函数 观察 0 2 x f xx x 1 2 x f xf x x 21 34 x fxf f x x 32 78 x fxf fx x 43 1516 x fxf fx x 根据以上事实 由归纳推理可得 正正 主主 视视图图 俯俯视视图图 5 当且时 Nn 2n 1 nn fxf fx 21 2 nn x x 解析 观察知 四个等式等号右边的分母为 即2 34 78 1516xxxx 所以归纳出分母为的分母为 2 1 2 4 1 4 8 1 8 16 1 16xxxx 1 nn fxf fx 故当且时 21 2 nn x n N2n 1 nn fxf fx 21 2 nn x x 16 已知函数 当 2 a 3 b 4 时 函数的零点 log 01 a f xxxb aa 且 f x 2 0 1 Nxn nnn 则 解析 2 log 22 a fb 120b 3 log 331 30 a fbb 由零点判定定理知 2 3 0ff 0 2 3 x 2 n故 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 74 分分 17 本小题满分 12 分 在中 内角的对边分别为 已知 ABC A B C a b c cos2cos2 cos ACca Bb I 求的值 sin sin C A II 若 求的面积 1 cos 2 4 Bb ABC 解析 由正弦定理得2 sin aRA 2 sin bRB 2 sin cRC 所以 cos2cos2 cos ACca Bb 2sinsin sin CA B 即 sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB 化简可得 sin 2sin ABBC 又 ABC 所以 sin2sinCA 因此 sin 2 sin C A 由 知 即 sin 2 sin cC aA 2ca 由余弦定理得 及 222 2cosbcaacB 1 cos 2 4 Bb 得 解得 2221 2422 4 aaaa 1a 从而 2c 6 又因为 且 1 cos 4 B 0 B 所以 15 sin 4 B 故的面积为 ABC 151511 sin1 2 2244 ABC SacB 18 本小题满分 12 分 红队队员甲 乙 丙与蓝队队员 A B C 进行围棋比赛 甲对 A 乙对 B 丙对 C 各一盘 已知甲胜 A 乙胜 B 丙胜 C 的概率分别为 假设各盘比赛结果相互独立 0 6 0 5 0 5 I 求红队至少两名队员获胜的概率 II 用表示红队队员获胜的总盘数 求的分布列和数学期望 E 解 设甲胜 A 为事件 乙胜 B 为事件 丙胜 C 为事件 DEF 则分别表示甲不胜 A 乙胜不 B 丙不胜 C 的事件 D E F 0 6 0 5 0 5 P DP EP F 0 4 0 5 0 5 P DP EP F 红队至少两名队员获胜的事件有 DEF DEF DEF DEF 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立 因此红队至少两名队员获胜的概率为 PP DEFP DEFP DEFP DEF 0 6 0 5 0 50 6 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 0 6 0 5 0 5 0 55 由题意知可能的取值为 0 1 2 3 则 0 PP DEF 0 4 0 5 0 50 1 1 P P DEFP DEFP DEF 0 4 0 5 0 5 0 4 0 5 0 5 0 6 0 5 0 50 35 3 P P DEF 0 6 0 5 0 50 15 2 1 0 1 3 0 4PPPP 所以的分布列为 7 0123 P0 10 350 40 15 数学期望 0 0 1 1 0 352 0 43 0 151 6E 19 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 四边形是平行四边形 ABCD 平面 90ACB EA ABCD EFAB FGBC EGAC 2ABEF 若是线段的中点 求证 平面 MAD GMABFE 若 求二面角的大小 2AC BCAEABFC 证明 因为 EFAB FGBC EGAC90 ACB 所以 90 EGF ABCEFG 由于2 ABEF 因此 2BCFG 连接 AF 由于 FGBC 1 2 FGBC 在中 是线段的中点 ABCDAMAD 则 且 AMBC 1 2 AMBC 因此 且 FGAMFGAM 所以四边形为平行四边形 AFGM 因此 GMFA 又平面 因为平面 FA ABFEGM ABFE 所以平面 GMABFE 解 因为所以90 ACB 90 CAD 又平面 EA ABCD 所以两两垂直 AC AD AE 8 分别以所在直线为轴 轴和轴 建立如图所示的空间直角坐标系 AC AD AExyz 不妨设则由题意得22 ACBCAE 0 0 0 2 2 0 2 0 0 0 0 1 ABCE 所以 2 2 0 0 2 0 ABBC 又 1 2 EFAB 所以 1 1 1 1 1 1 FBF 设平面的法向量为 BFC 111 x y z m 则 0 0BCBF mm 所以 1 11 0 y xz 取 得 1 1z 1 1x 所以 1 0 1 m 设平面的法向量为 ABF 222 xyz n 则 0 0ABBF nn 所以 22 2 0 xy z 取 得 2 1y 2 1x 则 1 1 0 n 所以 1 cos 2 m n m n m n 因此二面角的大小为 ABFC 60 20 本小题满分 12 分 等比数列中 分别是下表第一 二 三行中的某一个数 且中的任何两 n a 123 a a a 123 a a a 个数不在下表的同一列 第一列第二列 K 第三列 第一行3210 第二行64 14 第三行9818 9 求数列的通项公式 n a 若数列满足 求数列的前项和 n b 1 ln n nnn baa n bn n S 解 当时 不合题意 当时 不合题意 1 3a 1 10a 当时 且当时 符合题意 1 10a 23 6 18aa 因此 123 2 6 18aaa 因为是等比数列 所以公比 n a3q 所以数列的通项公式 n a 1 2 3n n a 因为 1 ln nnn baa 1 2 3n 1 1 ln 2 3 nn 1 2 3 1 ln2 1 ln3 nn n 1 2 3 1 ln2ln3 1 ln3 nnnn 所以 12nn Sbbb 21 2 1 333 1 1 1 1 ln2ln3 nn 123 1 ln3 nn 2 1 3 1 3 n 1 1 1 1 ln2ln3 n 123 1 ln3 nn 所以 当为偶数时 n 2 1 3 ln33ln3 1 1 322 n n n nn S 当为奇数时 n 2 1 3 1 ln2ln3 ln3 1 32 n n n Sn 1 3ln3ln2 1 2 nn 综上所述 3ln3 1 2 1 3ln3ln2 1 2 n n n n n S n n 为偶数 为奇数 21 本小题满分 12 分 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两 端均为半球形 按照设计要求容器的容积为立方米 且 假设该容器的建造费用仅与其 80 3 2lr 表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元 半球形部分每平方米建造费用为 10 千元 设该容器的建造费用为千元 3 c c y 写出关于的函数表达式 并求该函数的定义域 yr 求该容器的建造费用最小时的 r 解 设容器的容积为 3 cm V 由题意知 又 3 24 3 r Vr l 80 3 V 所以 3 24 3 r r l 80 3 解得 2 804 3 3 r l r 由于 2 804 2 2 3 3 r lrr r 因此 02 r 所以建造费用 2 234yrlr c 2 2 804 2 34 3 3 r rr c r 因此 定义域为 2160 4 2 ycr r 0 2 由 得 2 160 8 2 ycr r 3 2 8 2 20 2 c r c r 02 r 由于3 20 cc 当时 320 0 2 r c 3 20 2 r c 令 则 3 20 2 m c 0m 所以 22 2 8 2 c yrm rrmm r 1 当 即时 02m 9 2 c 当时 当时 0 rm 0y 2 rm 0y 所以是函数的极小值点 也是最小值点 rm y 2 当 即时 2m 9 3 2 c 当时 函数单调递减 0 2 r 0y 所以是函数的最小值点 2r y 11 综上所述 当时 建造费用最小时的 9 3 2 c 2r 当时 建造费用最小时的 9 2 c 3 20 2 r c 22 本小题满分 14 分 已知动直线 与椭圆交于两不同点 且的面积l 2 2 1 32 y x C 1122 P x yQ xyOPQ 其中为坐标原点 6 2 OPQ S O 证明 和均为定值 22 12 xx 22 12 yy 设线段的中点为 求的最大值 PQMOMPQ 椭圆上是否存在三点 使得 若存在 判断C D E G 6 2 ODEODGOEG SSS 的形状 若不存在 请说明理由 DEG 解 1 当直线 的斜率不存在时 两点关于轴对称 l P Q 所以 2121 xx yy 在椭圆上 11 P x y 22 11 1 32 xy 又 6 2 OPQ S 11 6 2 xy 由得 11 6 1 2 xy 此时 22 12 3xx 22 12 2yy 2 当直线 的斜率存在时 设直线 的方程为ll ykxm 由题意知 将其代入得0m 2 2 1 32 y x 222 23 63 2 0kxkmxm 其中 2222 364 23 3 2 k mkm 22 24 32 0km 即 22 32 km 又 2 121222 3 2 6 2323 m km xxx x kk 12 所以 22 1212 1 4PQkxxx x 22 2 2 2 632 1 23 km k k 因为点到直线 的距离为Ol 2 1 m d k 所以 1 2 OPQ SPQ d 22 2 2 2 2 6321 1 2 23 1 m km k k k 22 2 6 32 23 mkm k 又 6 2 OPQ S 22 2 6 32 6 2 23 mkm k 整理得 且符合式 22 322km 此时 222 121212 2xxxxx x 2 2 22 3 2 6 23 2323 m km kk 222222 121212 222 3 3 4 2 333 yyxxxx 综上所述 结论成立 22