2009年高考数学(理)试题及答案(山东卷)

中国权威高考信息资源门户 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷山东卷 理科数学理科数学 本试卷分第 卷和第 卷两部分 共 4 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 考试结束 后 将本试卷和答题卡一并交回 注意事项 注意事项 1 答题前 考生务必用 答题前 考生务必用 0 5 毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 准考证号 县区和科类毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 准考证号 县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上填写在答题卡和试卷规定的位置上 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置 2 第 第 卷每小题选出答案后 用卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答案不能答在试卷上 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答案不能答在试卷上 3 第 第 卷必须用卷必须用 0 5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答 不能写在试题卷上不能写在试题卷上 如需改动 先画掉原来的答案如需改动 先画掉原来的答案 然后再写上新的答案然后再写上新的答案 不能使用涂改液 胶带纸不能使用涂改液 胶带纸 修正带修正带 不按以上要求作答的答案无效 不按以上要求作答的答案无效 4 填空题请直接填写答案 填空题请直接填写答案 解答题应写出文字说明解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 参考公式 参考公式 柱体的体积公式 V Sh 其中 S 是柱体的底面积 h 是锥体的高 锥体的体积公式 V 其中 S 是锥体的底面积 h 是锥体的高 1 3 Sh 如果事件 A B 互斥 那么 P A B P A P B R 如果事件 A B 独立 那么 P AB P A P B 事件 A 在一次试验中发生的概率是 那么次独立重复试验中事件 A 恰好发生次的概pnk 率 1 0 1 2 kkn k nn P kC ppkn 第第 卷卷 共共 60 分分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 集合 若 则的值为 0 2 Aa 2 1 Ba 0 1 2 4 16AB a A 0 B 1 C 2 D 4 2 复数等于 3 1 i i A B C D i 21 1 2i 2i 2i 3 将函数的图象向左平移个单位 再向上平移 1 个单位 所得图象的函数sin2yx 4 中国权威高考信息资源门户 解析式是 A B cos2yx 2 2cosyx C D 4 2sin 1 xy 2 2sinyx 4 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B 22 3 42 3 C D 2 3 2 3 2 3 4 3 5 已知 表示两个不同的平面 m 为平面 内的一条直线 则 是 的m A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 函数的图像大致为 xx xx ee y ee 7 设 P 是 ABC 所在平面内的一点 则2BCBABP A B 0PAPB 0PCPA C D 0PBPC 0PAPBPC 某工厂对一批产品进行了抽样检测 有图是根据抽样检测 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 96 98 100 102 104 106 0 150 0 125 0 100 0 075 0 050 克 频率 组距 第 8 题图 2 2 侧 左 视图 2 2 2 正 主 视图 A B C P 第 7 题图 中国权威高考信息资源门户 后的产品净重 单位 克 数据绘制的频率分布直方图 其中产品净重的范围是 96 106 样本数据分组为 96 98 98 100 100 102 102 104 104 106 已知样本中产品 净重小于 100 克的个数是 36 则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个 数是 A 90 B 75 C 60 D 45 9 设双曲线的一条渐近线与抛物线 y x 1 只有一个公共点 则双曲线的1 2 2 2 2 b y a x 2 离心率为 A B 5 C D 4 5 2 5 5 10 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 则 f 2009 的值为 0 2 1 0 1 log2 xxfxf xx A 1 B 0 C 1 D 2 11 在区间 1 1 上随机取一个数 x 的值介于 0 到之间的概率为 cos 2 x 2 1 A B C D 3 1 2 2 1 3 2 12 设 x y 满足约束条件 0 0 02 063 yx yx yx 若目标函数 z ax by a 0 b 0 的是最大值为 12 则的最小值为 23 ab A B C 6 25 3 8 3 11 D 4 第第 卷 共卷 共 90 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分 分 x 2 2 y O 2 z ax by 3x y 6 0 x y 2 0 中国权威高考信息资源门户 13 不等式的解集为 0212 xx 14 若函数 f x a x a a 0 且 a1 有两个零点 则实数 a 的取值范围是 x 15 执行右边的程序框图 输入的 T 16 已知定义在 R 上的奇函数 满足 xf 且在区间 0 2 上是增函数 若方程 f x 4 f xf x m m 0 在区间上有四个不同的根 则 8 8 1234 x x x x 1234 xxxx 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 分 共分 共 74 分 分 17 本小题满分 12 分 设函数 f x cos 2x sin x 3 2 1 求函数 f x 的最大值和最小正周期 2 设 A B C 为ABC 的三个内角 若 cosB f 且 C 为锐角 求 sinA 3 1 3 C 4 1 18 本小题满分 12 分 如图 在直四棱柱 ABCD A B C D 中 底面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 4 1111 BC CD 2 AA 2 E E F 分别是棱 AD AA AB 的中点 111 1 证明 直线 EE 平面 FCC 11 2 求二面角 B FC C 的余弦值 1 19 本小题满分 12 分 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中 规定每人最多投 3 次 在 A 处每投进一球 得 3 分 在 B 处每投进一球得 2 分 如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮 否则投第 三次 某同学在 A 处的命中率 q 为 0 25 在 B 处的命中率为 q 该同学选择先在 A 处投 12 一球 以后都在 B 处投 用表示该同学投篮训练结束后所得的总分 其分布列为 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 开始 S 0 T 0 n 0 T S S S 5 n n 2 T T n 输出 T 结束 是 否 中国权威高考信息资源门户 0 2 3 4 5 p 0 03 P1 P2 P3 P4 1 求 q 的值 2 2 求随机变量的数学期望 E 3 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分 的概率的大小 20 本小题满分 12 分 等比数列 的前 n 项和为 已知对任意的 点 均在函数 n a n SnN n n S 且均为常数 的图像上 0 x ybr b 1 bb r 1 求 r 的值 11 当 b 2 时 记 2 2 log1 nn banN 证明 对任意的 不等式成立nN 12 12 111 1 n n bbb n bbb 21 本小题满分 12 分 两县城 A 和 B 相距 20km 现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 C 建造 垃圾处理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关 对城 A 和城 B 的总影响 度为城 A 与城 B 的影响度之和 记 C 点到城 A 的距离为 x km 建在 C 处的垃圾处理厂对 城 A 和城 B 的总影响度为 y 统计调查表明 垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比 比例系数为 4 对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方 成反比 比例系数为 k 当垃圾处理厂建在的中点时 对城 A 和城 B 的总影响度为 0 065 I 将 y 表示成 x 的函数 讨论 I 中函数的单调性 并判断弧上是否存在一点 使建在此处的垃圾处理 厂对城 A 和城 B 的总影响度最小 若存在 求出该点到城 A 的距离 若不存在 说明理由 22 本小题满分 14 分 中国权威高考信息资源门户 设椭圆 E a b 0 过 M 2 N 1 两点 O 为坐标原点 22 22 1 xy ab 26 I 求椭圆 E 的方程 II 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 若存在 写出该圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在说明理由 OAOB 参考答案参考答案 中国权威高考信息资源门户 1 答案 D 解析 故选 D 0 2 Aa 2 1 Ba 0 1 2 4 16AB 2 16 4 a a 4a 命题立意 本题考查了集合的并集运算 并用观察法得到相对应的元素 从而求得答案 本 题属于容易题 2 答案 C 解析 故选 C 2 2 3 3 1 3242 2 1 1 1 12 iiiiii i iiii 命题立意 本题考查复数的除法运算 分子 分母需要同乘以分母的共轭复数 把分母 变为实数 将除法转变为乘法进行运算 3 答案 D 解析 将函数的图象向左平移个单位 得到函数即sin2yx 4 sin2 4 yx 的图象 再向上平移 1 个单位 所得图象的函数解析式为sin 2 cos2 2 yxx 故选 D 2 1 cos22sinyxx 命题立意 本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能 学会公式的变形 4 答案 C 解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 圆柱的底面半径为 1 高为 2 体积为 四棱锥的底面2 边长为 高为 所以体积为23 2 12 3 23 33 所以该几何体的体积为 2 3 2 3 命题立意 本题考查了立体几何中的空间想象能力 由三视图能够想象得到空间的立体 图 并能准确地计算出 几何体的体积 5 答案 B 解析 由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 内的 一条直线 则 反过来则不一定 所以 是 的必要不充分m m 俯视图 中国权威高考信息资源门户 条件 命题立意 本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念 6 答案 A 解析 函数有意义 需使 其定义域为 排除 C D 又因为0 xx ee 0 xx 所以当时函数为减函数 故选 A 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee 0 x 命题立意 本题考查了函数的图象以及函数的定义域 值域 单调性等性质 本题的难点 在于给出的函数比较复杂 需要对其先变形 再在定义域内对其进行考察其余的性质 7 答案 C 解析 因为 所以点 P 为线段 AC 的中点 所以应该选 C 2BCBABP 命题立意 本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则 可以借助图形解答 8 答案 A 解析 产品净重小于 100 克的概率为 0 050 0 100 2 0 300 已知样本中产品净重小 于 100 克的个数是 36 设样本容量为 则 所以 净重大于或等于 98 克n300 0 36 n 120 n 并且小于 104 克的产品的概率为 0 100 0 150 0 125 2 0 75 所以样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120 0 75 90 故选 A 命题立意 本题考查了统计与概率的知识 读懂频率分布直方图 会计算概率以及样本中 有关的数据 9 解析 双曲线的一条渐近线为 由方程组 消去 y 得1 2 2 2 2 b y a x x a b y 2 1 b yx a yx 有唯一解 所以 2 10 b xx a 2 40 b a 所以 故选 D 2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 答案 D 命题立意 本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念 以及直线与抛物线的位置 关系 只有一个公共点 则解方程组有唯一解 本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技 能 中国权威高考信息资源门户 10 答案 C 解析 由已知得 2 1 log 21f 0 0f 1 0 1 1fff 2 1 0 1fff 3 2 1 1 1 0fff 4 3 2 0 1 1fff 5 4 3 1fff 6 5 4 0fff 所以函数 f x 的值以 6 为周期重复性出现 所以 f 2009 f 5 1 故选 C 命题立意 本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算 11 答案 C 解析 在区间 1 1 上随机取一个数 x 即时 1 1 x 222 x 0cos1 2 x 区间长度为 1 而的值介于 0 到之间的区间长度为 所以概率为 故选 Ccos 2 x 2 1 2 1 2 1 命题立意 本题考查了三角函数的值域和几何概型问题 由自变量 x 的取值范围 得到函 数值的范围 再由长度型几何概型求得cos 2 x 12 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 当直线 ax by z a 0 b 0 过直线 x y 2 0 与直线 3x y 6 0 的交点 4 6 时 目标函数 z ax by a 0 b 0 取得最大 12 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 而 故选 A 23 ab 23 23131325 2 6666 abba abab 命题立意 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 要求能准 确地画出不等式表示的平面区域 并且能够求得目标函数的最值 对于形如已知 2a 3b 6 求 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 23 ab 13 解析 原不等式等价于不等式组 或 2 21 2 0 x xx 1 2 2 21 2 0 x xx 或 不等式组 无解 由 得 由 得 综上得 1 2 21 2 0 x xx 1 1 2 x 1 1 2 x 所以原不等式的解集为 11x 11 xx 中国权威高考信息资源门户 答案 11 xx 命题立意 本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法 需要根据绝对值的定义分段 去掉绝对值号 最后把各种情况综合得出答案 本题涉及到分类讨论的数学思想 14 解析 设函数且和函数 则函数 f x a x a a 0 且 a 0 x yaa 1 a yxa x 1 有两个零点 就是函数且与函数有两个交点 由图象可知 0 x yaa 1 a yxa 当时两函数只有一个交点 不符合 当时 因为函数的图象过点10 a1 a 1 x yaa 0 1 而直线所过的点一定在点 0 1 的上方 所以一定有两个交点 所以实数 a 的取yxa 值范围是1 a 答案 1 a 命题立意 本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系 隐含着对指数函数的性质的考 查 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答 15 解析 按照程序框图依次执行为 S 5 n 2 T 2 S 10 n 4 T 2 4 6 S 15 n 6 T 6 6 12 S 20 n 8 T 12 8 20 S 25 n 10 T 20 10 30 S 输出 T 30 答案 30 命题立意 本题主要考查了循环结构的程序框图 一般都可以反复的进行运算直到满足条 件结束 本题中涉及到三个变量 注意每个变量的运行结果和执行情况 16 解析 因为定义在 R 上的奇函数 满足 所以 4 f xf x 4 f xfx 所以 由为奇函数 所以函数图象关于直线对称且 由 xf2x 0 0f 知 所以函数是以 8 为周期的周期函数 又因为在 4 f xf x 8 f xf x xf 区间 0 2 上是增函数 所以在区间 2 0 上也是增函数 如图所示 那么方程 f x m m 0 xf 在区间上有四个不同的根 不妨设由对称性知 8 8 1234 x x x x 1234 xxxx 所以 12 12xx 34 4xx 1234 1248xxxx 中国权威高考信息资源门户 答案 8 命题立意 本题综合考查了函数的奇偶 性 单调性 对称性 周期性 以及由函数图象解答方程问题 运用数形结合的思想和函数与方程 的思想解答问题 17 解 1 f x cos 2x sin x 3 2 1 cos213 cos2 cossin2 sinsin2 33222 x xxx 所以函数 f x 的最大值为 最小正周期 13 2 2 f 所以 因为 C 为锐角 所以 所以 3 C132 sin 223 C 4 123 sin 32 C 2 33 C 所以 sinA cosB 2 C 3 1 命题立意 本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式 二倍角公式 三角函数的 性质以及三角形中的三角关系 18 解法一 1 在直四棱柱 ABCD A B C D 中 取 A1B1的中点 F1 1111 连接 A1D C1F1 CF1 因为 AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CDA1F1 A1F1CD 为平行四边形 所以 CF1 A1D 又因为 E E 分别是棱 AD AA 的中点 所以 EE1 A1D 11 所以 CF1 EE1 又因为平面 FCC 平面 FCC 1 EE 11 CF 1 所以直线 EE 平面 FCC 11 2 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 取 CF 的中点 O 则 OB CF 又因为直四棱柱 ABCD A B C D 中 CC1 平面 ABCD 所以 1111 CC1 BO 所以 OB 平面 CC1F 过 O 在平面 CC1F 内作 OP C1F 垂足为 P 连接 BP 则 OPB 为二面角 B FC C 的一个平面角 在 BCF 为正三角形中 在 Rt CC1F 1 3OB 8 6 4 2 0 2 4 6 8 y x f x m m 0 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 中国权威高考信息资源门户 中 OPF CC1F 11 OPOF CCC F 22 12 2 2 22 OP 在 Rt OPF 中 所以 22 114 3 22 BPOPOB 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP 二面角 B FC C 的余弦值为 1 7 7 解法二 1 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 因为 ABCD 为 等腰梯形 所以 BAC ABC 60 取 AF 的中点 M 连接 DM 则 DM AB 所以 DM CD 以 DM 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴建立空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 1 0 F 1 0 C 0 2 0 33 C1 0 2 2 E 0 E1 1 1 所以 3 2 1 2 3 1 31 1 22 EE 3 1 0 CF 设平面 CC1F 的法向量为则所以 1 0 0 2 CC 1 3 1 2 FC nx y z 1 0 0 n CF n CC 取 则 所以 所以 30 0 xy z 1 3 0 n 1 31 131 00 22 n EE 1 nEE 直线 EE 平面 FCC 11 2 设平面 BFC1的法向量为 则所以 0 2 0 FB 1111 nx y z 1 11 0 0 n FB n FC 取 则 1 111 0 320 y xyz 1 2 0 3 n 1 2 130032n n 2 1 3 2n 22 1 20 3 7n 所以 由图可知二面角 B FC C 为锐角 所以二面角 B 1 1 1 27 cos 7 27 n n n n n n 1 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 中国权威高考信息资源门户 FC C 的余弦值为 1 7 7 命题立意 本题主要考查直棱柱的概念 线面位置关系的判定和二面角的计算 考查空间 想象能力和推理运算能力 以及应用向量知识解答问题的能力 19 解 1 设该同学在 A 处投中为事件 A 在 B 处投中为事件 B 则事件 A B 相互独立 且 P A 0 25 P B q 0 75P A 22 1P Bq 根据分布列知 0 时 0 03 所以 2 2 0 75 1 P ABBP A P B P Bq 2 10 2q q 0 2 2 2 当 2 时 P1 BBAPBBAPBBABBAP 0 75 q 2 1 5 q 0 24 BPBPAPBPBPAP 22 1 q 22 1 q 当 3 时 P2 0 01 2 2 0 25 1 P ABBP A P B P Bq 当 4 时 P3 0 48 2 2 0 75P ABBP A P B P Bq 当 5 时 P4 P ABBABP ABBP AB 0 24 222 0 25 1 0 25P A P B P BP A P Bqqq 所以随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 p 0 03 0 24 0 01 0 48 0 24 随机变量的数学期望 0 0 032 0 243 0 014 0 485 0 243 63E 3 该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P BBBBBBBB P BBBP BBBP BB 22 222 2 1 0 896q qq 该同学选择 1 中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0 48 0 24 0 72 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大 命题立意 本题主要考查了互斥事件的概率 相互独立事件的概率和数学期望 以及运用 概率知识解决问题的能力 中国权威高考信息资源门户 20 解 因为对任意的 点 均在函数且均为常数nN n n S 0 x ybr b 1 bb r 的图像上 所以得 当时 当时 n n Sbr 1n 11 aSbr 2n 又因为 为等比数列 所以 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb n a 公比为 1r b 1 1 n n abb 2 当 b 2 时 11 1 2 nn n abb 1 22 2 log1 2 log 21 2 n nn ban 则 所以 121 2 n n bn bn 12 12 1113 5 721 2 4 62 n n bbbn bbbn 下面用数学归纳法证明不等式成立 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 n n bbbn n bbbn 当时 左边 右边 因为 所以不等式成立 1n 3 2 2 3 2 2 假设当时不等式成立 即成立 nk 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 k k bbbk k bbbk 则当时 左边 1nk 112 121 11113 5 721 23 2 4 6222 kk kk bbbbkk bbbbkk 22 23 23 4 1 4 1 11 1 1 1 1 1 224 1 4 1 4 1 kkkk kkk kkkk 所以当时 不等式也成立 1nk 由 可得不等式恒成立 命题立意 本题主要考查了等比数列的定义 通项公式 以及已知求的基本题型 并 n S n a 运用数学归纳法证明与自然数有关的命题 以及放缩法证明不等式 21 解 1 如图 由题意知 AC BC 22 400BCx 22 4 020 400 k yx xx 其中当时 y 0 065 所以 k 910 2x 所以 y 表示成 x 的函数为 22 49 020 400 yx xx 设 则 所以 22 400mxnx 400mn 49 y mn 当且仅当 494914911 13 13 12 40040040016 mnnm y mnmnmn A B C x 中国权威高考信息资源门户 即时取 49nm mn 240 160 n m 下面证明函数在 0 160 上为减函数 在 160 400 上为增函数 49 400 y mm 设 0 m1 m2 160 则 12 1122 4949 400400 yy mmmm 1212 4499 400400mmmm 2112 1212 4 9 400 400 mmmm m mmm 21 1212 49 400 400 mm m mmm 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因为 0 m1 m24 240 240 12 400 400 mm 9 m1m2 9 160 160 所以 1212 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m m mmm 所以即函数在 1212 21 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m mm m mmm 12 yy 49 400 y mm 0 160 上为减函数 同理 函数在 160 400 上为增函数 设 160 m1 m2 400 则 49 400 y mm 12 1122 4949 400400 yy mmmm 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因为 1600 m1 m2 400 所以 49 160 160 12 400 400 mm 所以 1212 1212