2020年高考数学《利用函数的图像探究函数的性质（1）》专项训练及答案解析

利用函数的图像探究函数的性质（1）一、基础检测1、(2017苏州暑假测试） 若函数的值域是，则实数的取值范围是 【答案】 解析 作出函数的图象，易知当时，要使的值域为，由图可知，显然且，即2、(2016苏锡常镇调研） 已知函数f(x)(x(1,2)，则函数yf(x1)的值域为_【答案】0,2)解法1 由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域画出函数f(x)|2x2|的图像由下图易得值域为0,2)解法2 因为x(1,2)，所以2x，2x2，所以|2x2|0,2)因为yf(x1)是由f(x)向右平移1个单位得到的，所以值域不变，所以yf(x1)的值域为0,2)3、(2017苏锡常镇二模）已知函数f(x)若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是_【答案】(1,2解法1 问题转化为g(x)0，即方程f(x)2x有三个不同的解，即或解得或或因为方程f(x)2x有三个不同的解，所以解得1m2.解法2 由题意知函数g(x)画出函数y42x和yx22x3的图像，可知函数g(x)的三个零点为3，1,2，因此可判断m在1与2之间当m1时，图像不含点(1,0)，不合题意；当m2时，图像包含点(2,0)，符合题意所以10时，要使它们有四个公共点，则需ykx1与y(x1)有一个公共点，此时kx1，即方程kx2x20有两个相等的实数解，从而18k0，解得k；当k0时，根据对称性可得k.从而满足条件的k的取值范围是. 本题会忽视当直线与y相切时，其实就是有四个交点处理动直线与曲线交点时要注意两个特殊情形：一是过端点，二是相切的时候5、(2017南京学情调研）已知函数f(x)当x(，m时，f(x)的取值范围为16，)，则实数m的取值范围是_答案：2,8解析： 由于f(x)的解析式是已知的，因此，可以首先研究出函数f(x)在R上的单调性及相关的性质，然后根据f(x)的取值范围为16，)，求出它的值等于16时的x的值，借助于函数f(x)的图像来对m的取值范围进行确定当x0时，f(x)12xx3，所以f(x)123x2.令f(x)0，则x2(正值舍去)，所以当x(，2)时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当x(2,0时，f(x)0，此时f(x)单调递增，故函数f(x)在x0时的极小值为f(2)16.当x0时，f(x)2x单调递减，f(0)0，f(8)16，因此，根据f(x)的图像可得m2,8解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质，然后由此画出函数的图像，借助于函数的图像可以有效地进行解题，这就是数形结合的魅力6、(2017南京、盐城二模） 若函数f(x)x2mcosxm23m8有唯一零点，则满足条件的实数m组成的集合为_. 答案. 2思路点拨 首先判断f(x)是偶函数，而偶函数有唯一零点时，零点只能是x0.解析：f(x)是偶函数，若f(x)有唯一零点，故f(0)0，由f(0)0，得m22m80，解得m2或m4.当m2时，f(x)x22cosx2x24sin2，有唯一零点x0；当m4时，f(x)x24cosx4.因为f(2)4cos20，f()280，所以在(2，)内也有零点，不合题意解后反思 因为f(0)0只是偶函数f(x)有唯一零点的必要条件，所以检验是必须的说明不充分常用举反例的方法二、拓展延伸题型一、运用图像研究函数零点的个数知识点拨：运用函数的图像研究函数的零点问题的关键要正确做出函数的图像，观察图像交点的个数。由于答案依赖于图像因此，要正确规范的做出图像，该标的关键的点、线要标出，另外有时为了更好地作图也要多对函数进行调整，变成常见的函数。1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间2，4)上则函数的零点的个数为 【答案】. 5【解析】因为f(x4)f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由yf(x)log5| x|0，得f(x)log5| x|，分别画出yf(x)和ylog5|x|的图像，如下图，由f(5)f(1)1，而log551，f(3)f(1)1，log5|3|1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5. 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点【变式1】(2017南通期末） 已知函数f(x)是定义在1，)上的函数，且f(x)则函数y2xf(x)3在区间(1,2 015)上的零点个数为_【答案】11【解析】解法1 由题意得当1x2时，f(x)设x2n1,2n)(nN*)，则1,2)，又f(x)f，当时，则x2n1,32n2，所以f(x)f，所以2xf(x)32x30，整理得x222n2x322n40.解得x32n2或x2n2.由于x2n1,32n2，所以x32n2；当时，则x(32n2,2n)，所以f(x)f，所以2xf(x)32x30，整理得x242n2x322n40.解得x32n2或x2n2.由于x(32n2,2n)，所以无解综上所述，x32n2.由x32n2(1,2 015)，得n11，所以函数y2xf(x)3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法2 由题意得当x2n1,2n)时，因为f(x)f，所以f(x)maxf.令g(x).当x2n1时，g(x)g，所以当x2n1,2n)时，x2n1为y2xf(x)3的一个零点下面证明：当x2n1,2n)时，y2xf(x)3只有一个零点当x2n1,32n2时，yf(x)单调递增，yg(x)单调递减，f(32n2)g(32n2)，所以x2n1,32n2时，有一零点x32n2；当x(32n2,2n)时，yf(x)，k1f(x)，g(x)，k2g(x)，所以k1k2.又因为f(32n2)g(32n2)，所以当x2n1,2n)时，y2xf(x)3只有一个零点由x32n2(1,2 015)，得n11，所以函数y2xf(x)3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法3 分别作出函数yf(x)与y的图像，如图，交点在x1，x23，x36，xn32n2处取得由x32n2(1,2 015)，得n11，所以函数y2xf(x)3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.【变式2】（2017年江苏试卷） 设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f(x)其中集合D，则方程f(x)lgx0的解的个数是_【答案】 8【解析】首先f(x)0,1)，所以方程f(x)lgx的解x01,10)由图像可知，在9,10)上方程无解，方程在1,9)上的整数解只有x1.再按xkD和xkD两种情况，讨论f(x)lgx在(k，k1)上的解，其中k1,2，8.若xkD，且x(k，k1)，其中k1,2,3，8，设xk，nN*且n2.则方程为lg，即10(n1)2n2，这样的n不存在若xkD，且x(k，k1)，其中k1,2，8，则方程为xklgx.记g(x)xlgxk，则g(x)110，所以g(x)在(k，k1)上递增因为g(k)lgk，g(k1)1lg(k1)0，所以在(1,2)内无解，当k2,3，8时，在x(k，k1)内各恰有一解，共有7解与类似，可证这些解都是无理数，从而满足xkD.综上所述，方程共有8解【变式3】（2014年江苏高考题）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x0，)，满足f(x2)f(x)若当x0,2)时，f(x)|x2x1|，则函数yf(x)1在区间2,4上的零点个数为_答案：7解析：作出函数f(x)的图像(如图)，则它与直线y1在2,4上的交点的个数，即为函数yf(x)1在2,4的零点的个数，由图像观察知共有7个交点，从而函数yf(x)1在2,4上的零点有7个【关联1】 已知函数f(x)当x0,100时，关于x的方程f(x)x的所有解的和为_【答案】10 000思路点拨 注意到方程f(x)x的解可以看做函数yf(x)与yx的图像交点的横坐标，同时，注意到f(x)f(x1)1具有“周期性”的特点，由此可作出的图像，由图像来得到解的规律，进而得到所有解的和分别作出函数yf(x)与yx的图像(如图)当x0,1)时，令f(x)(x1)22(x1)1x，即x2x0，此时两根之和为1；由图可知，当x1,2)，x2,3)时，它们的两个根的和组成公差为2的等差数列，从而当x0,100时，所有的解的和为10 000.题型二 、根据函数的零点确定参数的范围知识点拨：求解函数的零点问题的填空题，其基本策略是应用数形结合的方法来加以解决，在应用数形结合思想时，一般地会将函数的零点问题转化为两个函数的图像的交点问题来加以解决，此时，为了方便起见，转化后的两个函数，其中一个是不含参数的函数，另一个是含有参数的函数，即转化为“一静一动”两个函数，这样，通过研究“动”函数的图像与“静”函数的图像的相对位置关系就可以得到问题的解例1、(2019通州、海门、启东期末） 函数f(x)有3个不同的零点，则实数a的取值范围为_【答案】 【解析】 注意到x1时，f(x)x22ax的零点是可求的，即x0(舍去)或x2a，为此，就需要对2a是否小于1来进行讨论，若2a大于或等于1，则需要x1时，f(x)有三个零点，从而通过数形结合的方式来加以研究；若2a小于1，则需要x1时，f(x)有两个零点，从而通过数形结合的方式来加以研究，进而得到问题的答案由x22ax0得x0或x2a，因为x1，所以x0不合题意(1)当2a1，即a0不满足条件，故不成立若yxa与yex相交(如图2)，此时要有两个交点，必需，解得1a1，即a时，如图3，此时只可能有一个交点，故不成立综上，实数a的取值范围是.【变式1】、1、(2019扬州期末）已知函数f(x)a3|xa|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_【答案】 或1【解析】 函数f(x)有且仅有三个零点，通常转化为方程f(x)0有三相异实根，再转化为两个新函数的图像有三个不同的交点，这两个新函数如何构建是关键，通常的原则是：一是两个新函数图像是常见初等函数图像，二是一个函数图像是定的，另一个函数图像是动的，三是参数放在直线型中，即定曲线动直线，这样便于解决问题，基于这三点，所以构造的是函数y3与y|xa|a的图像有且仅有三个不同的交点，再通过分类讨论的思想方法和三个零点构成等差数列建立关于a的方程，从而求得a的值 注意所研究的函数为分段函数f(x)因此，分别来研究每一段中的零点的个数，由于函数分为两段，因此，只有两种可能，一段为两个零点，另一段为一个零点另外，注意到当xa时，函数为f(x)x3不含参数，可以直接求解，因此需对这两个零点是否在解法1由f(x)a3|xa|0，得3|xa|a，原函数有三个零点，即可转化为函数y3与y|xa|a图像有且仅有三个不同的交点，设三个交点的横坐标为x1，x2，x3，且x1x20.如图1所示,图1)由解得x21，x34.又三个零点构成等差数列，则x2，得x16，则有3(6)2a，解得a符合题意(2)a0，但a0，则a满足题意解法2因为f(x)所以由f(x)x30得x1或4.(1)若1a，即a1时，由于函数有三个零点，且成等差数列，所以，另一个零点x01，故24x0，从而x06，故632a0，解得a，满足条件；(2)若1a，即a1时，设函数f(x)x32a(xa)的两个零点为x1，x2(x10，而a0)相切时有且仅有一个交点，交点即为切点(1,0)，ky1，故函数f(x)与直线ykxk至少有两个不同的交点时，k的取值范围为(1，)，即关于x的方程f(x)kxk至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为(1，)解后反思 本题旨在考查将方程根的问题转化为函数图像交点问题从而运用函数与方程思想【变式3】(2018南京学情调研）已知函数f(x)若存在唯一的整数x，使得0成立，则实数a的取值范围为_【答案】. 0，23，8 从形的角度来看，代数式“”表示了点(0，a)与点(x，f(x)连线的斜率，因此，“存在唯一的整数x，使得0成立”等价于“存在唯一一个整点(0，a)与点(x，f(x)连线的斜率大于0.函数f(x)的图像如图所示，易知，点A(1，3)，B(1，2)，C(2，0)，D(2，8)当a0时，则点M(0，a)与点C，以及点A连线的斜率都大于0，故不符；当0a2时，则仅有点M(0，a)与点A连线的斜率大于0，故符合；当2a8时，则点M(0，a)与点B，以及点D连线的斜率都大于0，故不符综上，实数a的取值范围为0，23，8 一般地，对于以下结构的问题需要注意其式子的几何意义：(1)表示两点间的距离或向量的模；(2)k表示过点(a，b)与(x，y)的直线的斜率；(3)AxBy与直线AxByC0的截距有关；(4)P(cos，sin)表示单位圆x2y21上的任意一点；(5)a2abb2与余弦定理有关，在解题过程中可以利用这些式子的几何意义达到简化不等式来求解或证明的目的【变式4】(2019宿迁期末）已知函数f(x) 如果函数g(x)f(x)k(x3)恰有2个不同的零点，那么实数k的取值范围是_. 【答案】 (1，0) 函数g(x)f(x)k(x3)恰有2个不同的零点，表示函数yf(x)，yk(x3)的图像有2个交点，所以关键是画出函数yf(x)的图像，将函数yf(x)在区间1，2)上的图像每一点的横坐标和纵坐标都伸长2倍，就得到了yf(x)在区间2，4)上的图像，将函数yf(x)在区间2，4)上的图像每一点的横坐标和纵坐标都伸长2倍，就得到了yf(x)在区间4，8)上的图像，依次类推，然后考察两函数图像有两个交点时直线的斜率函数g(x)f(x)k(x3)恰有