2011年高考数学高考模拟试题

2011 年高考数学高考模拟试题年高考数学高考模拟试题 河北正定中学河北正定中学 杨春辉杨春辉 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合则等于 2 2 log 1 0 0 2 x SxxTx x ST A 0 2 B 1 2 C 1 D 2 2 复数 那么复数在复平面上对应的点所在的象限是 12 2 1zizi 12 zz A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 在的展开式中 含的项的系数是 8 2 1 x xx A B C D 5555 5656 4 若实数满足则的最小值为 x y 20 4 5 xy x y zyx A 0 B C 8 D 16 5 在等差数列 n a中 有12 876 aaa 则此数列的前 13 项之和为 A 24B 39C 52D 104 6 已知 是两条不重合的直线 是三个两两不重合的平面 则下列四个命题中真命题是mn A 若 则 m n mn B 若 则 m mnn C 若 则 m nmn D 若 则 m n mn 7 已知函数在时取最小值 则函数是 sincosf xaxbx 4 x 3 4 yfx A 偶函数且图像关于点对称 B 偶函数且图像关于点对称 0 3 0 2 C 奇函数且图像关于点对称 D 奇函数且图像关于点对称 3 0 2 0 8 设 则 11 52 2 log 3 2 5abc A B C D bac cba abc acb 9 将 5 名同学分配到 A B C 三个宿舍中 每个宿舍至少安排 1 名学生 那么不同的分配方案有 A 76B 100C 132D 150 10 函数 若实数满足 并且 则的取值范围是 21 x f x a bab f af b 1 22 ab A B C D 1 1 2 22 2 22 11 过双曲线的左焦点作直线与圆相切于点 与双曲线的右支交于点 若 22 22 1 0 xy ba ab FE 222 xya EP 则双曲线的离心率为 1 2 OEOFOP A B C D 15 2 5 2 52 5 12 四面体 PABC 中 ACBC AC BC 1 是正三角形 且平面 PAB平面 ABC 则四面体 PABC 的外 3PAB 接球的表面积为 A B C D 4 3 16 3 4 16 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 13 设向量与向量共线 则 sin 2 a cos 1 b tan2 14 不等式的解集为 则实数的取值范围是 21 xxa a 15 已知不平行于轴的直线与抛物线交于 两点 点 到轴的距离的差等x 0 ykxb b 2 2 0 xpy p ABABy 于 则抛物线的焦点坐标为 2k 16 已知是定义在上的函数 且满足 则 xfR1 2 2 xfxfxfxf 2 1 1 f 4 1 2 f 2011 f 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 10 分 在中 求的最小值 ABC 120C 11 tantanAB 18 本题满分 12 分 在一块倾斜放置的矩形木块上钉着一 个形如 等腰三角形 的五行铁钉 钉子之间留有空隙作为通道 自上而下第 1 行 2 个铁钉之间有 1 个 空隙 第 2 行 3 个铁钉之间有 2 个空隙 第 5 行 6 个铁钉之间有5 个空隙 如图 某人将一个玻璃球 从第 1 行的空隙向下滚动 玻璃球碰到第 2 行居中的铁钉后以相等的概率滚入第 2 行的左空隙或右空 隙 以后玻璃球按类似方式继续往下滚动 落入第 5 行的某一个空隙后 掉入木板下方相应的球 槽 玻璃球落入不同球槽得到的分数如图所示 求E 若此人进行 4 次相同试验 求至少 3 次获得 4 分的概率 19 本题满分 12 分 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形 侧面 PAB 是正三角形 平面 PAB 平面 ABCD PD AC E 是棱 PA 的中点 I 求证 PC 平面 EBD II 求二面角 E BD A 的大小 20 本题满分 12 分 已知函数其中为自然对数的底数 2 ax f xx exR eaR 设 求函数的最值 1 1 1 ax yf x 若对于任意的 都有成立 求的取值范围 0a 22 1 ax xaxa f xfxe a x 21 本题满分 12 分 过椭圆 C 上一点 P 作圆 O 的两条切线 PA PB 切点为 A B 直线 AB 与轴 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 222 byx x 轴分别相交于 M N 两点 y I 设 P 且 求直线 AB 的方程 00 yx0 00 yx II 若椭圆 C 的短轴长为 8 且 求此椭圆的方程 16 25 2 2 2 2 ON b OM a III 试问椭圆 C 上是否存在满足的点 P 说明理由 PBPA 22 本题满分 12 分 已知数列满足 n a 2 22 1 11 nnaaa nn I 求数列的通项公式 n a II 若数列中 前项和为 且 n b 2 4b n n S4 nn Snb n annN 证明 1 2 15 1 3 n b n b 参考答案 参考答案 一 DADBC CDBDA CB 二 13 14 15 16 4 3 1 2 1 0 2 1 3 三 17 解 120 60 60 CABBA 11sincoscossinsin 3 tantansinsinsinsin2sinsin 60 ABABAB ABABABAA 32 32 3 2sin 230 1sin 3cossin 3sin2cos21AAAAAA 由题意 则 060A 30230150A 所以当 即时 有最小值 23090A 30A 11 tantanAB 2 3 18 解 从第 1 行开始 玻璃球从一个空隙向下滚动 碰到此空隙下方的一个铁钉后以 1 2 的概率落入铁钉左边的空隙 同样以 1 2 的概率落入铁钉右边的空隙 玻璃球继续往下滚动时 总有落入铁钉左边和右边空隙的两种结果 到最后落入某一 个球槽内 一共进行了 4 次独立重复试验 设 4 次独立重复试验中落入左边空隙的次数为 则 1 4 2 B 6 0 4 0 4 PPPP 或 004440 44 11111 C C 22228 4 1 3 1 3 PPPP 或 113331 44 11111 C C 22222 2 2 PP 222 4 1163 C 22168 则 113 6423 5 828 E 由 知 此人一次试验获得 4 分的概率 1 2 P 他进行 4 次相同试验可以看着他进行了 4 次独立重复试验 则至少 3 次获得 4 分的概率 33144 44 1115 C C 22216 P 19 解 I 证明 在矩形 ABCD 中 设 AC BD 交点为 O 则 O 是 AC 中点 又 E 是 PA 中点 所以 EO 是 PAC 的中 位线 所以 PC EO 3 分 又 EO 平面 EBD PC 平面 EBD 所以 PC 平面 EBD 5 分 II 取 AB 中点 H 则由 PA PB 得 PH AB 所以 PH 平面 ABCD 以 H 为原点 建立空间直角坐标系 H 如图 设 则xyzAB 2 m AD n 3 A m 0 0 B 0 0 C n 0 D 0 P 0 0 3 0 22 mm mmm nm E 所以 3 PDm nm 2 0 ACm n 33 0 22 mm BE 由 PD AC 得 即 0PD AC 22 20mn 2nm 所以 2 2 0 BDmm 设是平面 EBD 的法向量 111 x y z BE BD 0 0 BE BD 111 111 33 00 22 2200 mm xyz mxmyz 11 11 3 2 zx yx 不妨取 则得到平面 EBD 的一个法向量 1 1x 1 2 3 由于是平面 ABD 的法向量 故是平面 ABD 的一个法向量 0 0 3 HPm 0 0 1 设与夹角 的大小与二面角 E BD A 大小相等 1 2 3 0 0 1 32 cos 2 6 45 所以求二面角 E BD A 的大小为 45 20 解 当时 1a 2 e x f xx 2 e x fxxx 当在上变化时 的变化情况如下表 x 1 1 fx f x x 1 1 0 0 0 1 1 yfx 0 yf x e 0 1 e 时 1 1 x max 1 ef xf min 0 0f xf 2 eaxf xx 2 2 eaxfxxax 原不等式等价于 22 22 1 2 axaxax xaxa xexaxee a 即 亦即 22 1 1 3axxx a 2 2 13 1 xx a ax 对于任意的 原不等式恒成立 等价于对恒成立 0a 2 2 13 1 xx a ax 0a 对于任意的时 当且仅当时取等号 0a 11 22aa aa 1a 只需 即 解之得或 2 2 3 2 1 xx x 2 320 xx 2x 1x 因此 的取值范围是 x 2 1 21 解 1 以 O P 为直径的两个端点 构造圆的方程 1 及 2 0 00 yyyxxx 222 byx 两式相减得 AB 方程为 2 00 byyxx 2 令 00 2 0 16 0 yy b yx 令 0 16 0 x xy 16 16 00 y ON x OM 16 25 2 2 2 2 ON b OM a 1625 2 0 2 2 0 2 ybxa 又 P 点在椭圆上 1 2 2 0 2 2 0 b x a y 1625 22 ba 4 b 25 2 a 椭圆方程为 1 1625 22 xy 3 若 由切线定理 PA PB 知四边形必是正方形 PBPA 要使 P 点存在 下列方程必有解bPO2 1 2 2 2 2 2 222 b x a y byx 0 2 22 222 2 ba bab x 时 存在点 P 若 这样的点 P 不存在 baba2 ba2 22 解 I 解法一 2 22 1 nnaa nn 12 1 naa nn 得122 11 nnnn aaaa 1 21 11 nnnn aaaa 为公比为 2 首项为 2 的等比数列 1 1 nn aa 递推叠加得 2 12 1 1 naa n nn 1 2 nna n n 解法二 2 22 1 nnaa nn 设 1 2 1 ynxayxna nn 即与 式比较系数xyxnaa nn 22 1 得 x 1 y 0 1 2 1 nana nn 数列 是以首项 a1 1 公比为 2 的等比数列 即nan nn n na222 1 1 2 nna n n II nnnn nbnSb n nS na24 4 nn nbnS 22 由 可得 11 1 1 22 nn bnnS 得 nnn nbbnb 11 1 1 2 即 02 1 1 nn nbbn 又由 可得 02 1 12 nn bnnb 得02 12 nnn nbnbnb 即是等差数列 02 11212nnnnnnnn bNnbbbbbbb nbbb n 2 4 2 21 nn n rr nnnn