学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

1 第 1 讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点 方法 破译 1 了解在平面内 两条直线的两种位置关系 相交与平行 2 掌握对顶角 邻补角 垂直 平行 内错角 中旁内角的定义 并能用图形 或几何符号表示它们 3 掌握直线平行的条件 并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系 经典 考题 赏析 例 1 如图 三条直线 AB CD EF 相交于点 O 一共构成哪几对 对顶角 一共构成哪几对邻补角 解法指导 对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角 对顶角 有一个公共顶点 并且一个角的两边是另一个角的两边的 反向延长线 邻补角 两个角有一条公共边 另一边互为反向延长线 有 6 对对顶角 12 对邻补角 变式题组 01 如右图所示 直线 AB CD EF 相交于 P Q R 则 ARC 的对顶角是 邻补角是 中有几对对顶角 几对邻补角 02 当两条直线相交于一点时 共有 2 对对顶角 当三条直线相交于一点时 共有 6 对对顶角 当四条直线相交于一点时 共有 12 对对顶角 问 当有 100 条直线相交于一点时共有 对顶角 例 如图所示 点 O 是直线 AB 上一点 OE OF 分别平分 BOC AOC 求 EOF 的度数 写出 BOE 的余角及补角 解法指导 解这类求角大小的问题 要根据所涉及的角的定义 以及各角的数量关系 把它们转化为代数式从而求解 解 OE OF 平分 BOC AOC EOC 2 1 BOC FOC 2 1 AOC EOF EOC FOC 2 1 BOC 2 1 AOC AOCBOC 2 1 又 BOC AOC 180 EOF 2 1 180 90 BOE 的余角是 COF AOF BOE 的补角是 AOE 变式题组 01 如图 已知直线 AB CD 相交于点 O OA 平分 EOC 且 EOC 100 则 BOD 的度数是 A 20 B 40 C 50 D 80 02 杭州 已知 1 2 3 62 则 4 例 如图 直线 l1 l2 相交于点 O A B 分别是 l1 l2 上的点 试用三角尺完成下列作图 经过点 A 画直线 l2 的垂线 画出表示点 B 到直线 l1 的垂线 段 解法指导 垂线是一条直线 垂 A B C D E F AB C D E F P QR AB C E F O E A A C D O 第 1 题图 14 32 第 2 题图 A B O l2 l1 2 线段是一条线段 变式题组 01 P 为直线 l 外一点 A B C 是直线 l 上三点 且 PA 4cm PB 5cm PC 6cm 则点 P 到直线 l 的距离为 A 4cm B 5cm C 不大于 4cm D 不小于 6cm 02 如图 一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶 M N 为位于公路两 侧的村庄 设汽车行驶到路 AB 上点 P 的位置时距离村庄 M 最近 行驶到 AB 上点 Q 的 位置时 距离村庄 N 最近 请在图中的公路上分别画出点 P Q 的位置 当汽车从 A 出发向 B 行驶的过程中 在 的路上距离 M 村越来越 近 在 的路上距离村庄 N 越来越近 而距离村庄 越来越远 例 如图 直线 AB CD 相交于点 O OE CD OF AB DOF 65 求 BOE 和 AOC 的度数 解法指导 图形的定义现可以作为判定图形的依据 也 可以作为该图形具备的性质 由图可得 AOF 90 OF AB 变式题组 01 如图 若 EO AB 于 O 直线 CD 过点 O EOD EOB 1 3 求 AOC AOE 的度数 02 如图 O 为直线 AB 上一点 BOC 3 AOC OC 平分 AOD 求 AOC 的度数 试说明 OD 与 AB 的位置关系 03 如图 已知 AB BC 于 B DB EB 于 B 并且 CBE ABD 1 2 请 作出 CBE 的对顶角 并求其度数 例 如图 指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的 并说 出它们的名称 1 和 2 1 和 3 1 和 6 2 和 6 2 和 4 3 和 5 3 和 4 F BA O C D E CD B A E O BA C D O A B A E D C F E B A D 1 4 23 6 5 3 解法指导 正确辩认同位角 内错角 同旁内角的思路是 首先弄清所判断的 是哪两个角 其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线 其余两条边所在的 直线就是被截的两条直线 最后确定它们的名称 变式题组 01 如图 平行直线 AB CD 与相交直线 EF GH 相交 图中的同 旁内角共有 A 4 对 B 8 对 C 12 对 D 16 对 02 如图 找出图中标出的各角的同位角 内错角和同旁内角 03 如图 按各组角的位置判断错误的是 A 1 和 2 是同旁内角 B 3 和 4 是内错角 C 5 和 6 是同旁内角 D 5 和 7 是同旁内角 例 如图 根据下列条件 可推得哪两条直线平行 并说明理由 CBD ADB BCD ADC 180 ACD BAC 解法指导 图中有即即有同旁内 角 有 即有内错角 解法指导 由 CBD ADB 可推得 AD BC 根据内错角相等 两直 线平行 由 BCD ADC 180 可推得 AD BC 根据同旁内角 互补 两直线平行 由 ACD BAC 可推得 AB DC 根据内错角相等 两直 线平行 变式题组 01 如图 推理填空 A 已知 AC ED C 已知 AC ED A 已知 AB DF 02 如图 AD 平分 BAC EF 平分 DEC 且 1 2 试说明 DE 与 AB 的位置关系 解 AD 是 BAC 的平分线 已知 BAC 2 1 角平分线定义 又 EF 平分 DEC 已知 又 1 2 已知 AB DE 03 如图 已知 AE 平分 CAB CE 平分 A B DC H E F 7 1 56 8 4 1 2 乙 丙 3 2 3 4 5 6 1 2 3 4 甲 1 A B C 2 3 4 5 67 A B C D O A B D E F C AB CD E A BC D E F 1 2 4 ACD CAE ACE 90 求证 AB CD 04 如图 已知 ABC ACB BE 平分 ABC CD 平分 ACB EBF EFB 求证 CD EF 例 如图 平面内有六条两两不平行的直线 试证 在所有的交角中 至 少有一个角小 于 31 解法指导 如图 我们可以将所有的直线移动后 使它们相交于同一点 此 时的图形为图 证明 假设图 中的 12 个角中的每一个角都不小于 31 则 12 31 372 360 这与一周角等于 360 矛盾 所以这 12 个角中至少有一个角小于 31 变式题组 01 平面内有 18 条两两不平行的直线 试证 在所有的交角中至少有一个角小 于 11 02 在同一平面内有 2010 条直线 a1 a2 a2010 如果 a1 a2 a2 a3 a3 a4 a4 a5 那么 a1 与 a2010 的位置关系是 03 已知 n n 2 个点 P1 P2 P3 Pn 在同一平面内没有任何三点 在同一直线上 设 Sn 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线 的条数 显然 S2 1 S3 3 S4 6 S5 10 则 Sn 演练巩固 反馈提高 01 如图 EAC ADB 90 下列说法正确的是 A 的余角只有 B B 的邻补角是 DAC C ACF 是 的余角 D 与 ACF 互补 02 如图 已知直线 AB CD 被直线 EF 所截 则 EMB 的同位角为 A AMF B BMF C ENC D END 03 下列语句中正确的是 A 在同一平面内 一条直线只有一条垂线 B 过直线上一点的直线只有一条 C 过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条 D 垂线段就是点到直线的距离 04 如图 BAC 90 AD BC 于 D 则下列结论中 正确的个数有 A B C D E F l1 l2 l3 l4 l5 l6 图 l1 l2 l3l4 l5 l6 图 A E B C F D A B CD F E M N 第 1 题图第 2 题图 A BDC 第 4 题图 5 AB AC AD 与 AC 互相垂直 点 C 到 AB 的垂线段是线段 AB 线段 AB 的长度是点 B 到 AC 的距离 垂线段 BA 是点 B 到 AC 的距离 AD BD A 0 B 2 C 4 D 6 05 点 A B C 是直线 l 上的三点 点 P 是直线 l 外一点 且 PA 4cm PB 5cm PC 6cm 则点 P 到直线 l 的距离是 A 4cm B 5cm C 小于 4cm D 不大于 4cm 06 将一副直角三角板按图所示的方法旋转 直角顶点重合 则 AOB DOC A B C D O A B C D E F G H a b c 第 6 题图 第 7 题图第 9 题图 1 2 3 4 5 6 7 8 1 07 如图 矩形 ABCD 沿 EF 对折 且 DEF 72 则 AEG 08 在同一平面内 若直线 a1 a2 a2 a3 a3 a4 则 a1 a10 a1 与 a10 不重合 09 如图所示 直线 a b 被直线 c 所截 现给出下列四个条件 1 5 1 7 2 3 180 4 7 其中能判断 a b 的条件的序号是 10 在同一平面内两条直线的位置关系有 11 如图 已知 BE 平分 ABD DE 平分 CDB 且 E ABE EDC 试说明 AB CD 12 如图 已知 BE 平分 ABC CF 平分 BCD 1 2 那么直线 AB 与 CD 的位置关系如 何 13 如图 推理填空 A 已知 AC ED 2 已知 AC ED A 180 已知 AB FD 14 如图 请你填上一个适当的条件 使 AD BC A CD E B AB CD E F 1 2 A BC D E F 第 14 题 图 6 C B A D 培优升级 奥赛检测 01 平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是 A 1 3 B 0 1 3 C 0 2 3 D 0 1 2 3 02 平面上有 10 条直线 其中 4 条是互相平行的 那么这 10 条直线最多能把平 面分成 部分 A 60 B 55 C 50 D 45 03 平面上有六个点 每两点都连成一条直线 问除了原来的 6 个点之外 这些直线最多还有 个交点 A 35 B 40 C 45 D 55 04 如图 图上有 6 个点 作两两连线时 圆内最多有 交点 05 如图是某施工队一张破损的图纸 已知 a b 是一个角的两边 现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线 请你帮助这个施工队画出 这条平行线 并证明你的正确性 06 平面上三条直线相互间的交点的个数是 A 3 B 1 或 3 C 1 或 2 或 3 D 不一定是 1 2 3 07 请你在平面上画出 6 条直线 没有三条共点 使得它们中的每条直线都恰好 与另三条直线相交 并简单说明画法 08 平面上有 10 条直线 无任何三条交于一点 要使它们出现 31 个交点 怎么 安排才能办到 09 如图 在一个正方体的 2 个面上画了两条对角线 AB AC 那么两条对角线的夹角等于 A 60 B 75 C 90 D 135 10 在同一平面内有 9 条直线如何安排才能满足 下面的两个条件 任意两条直线都有交点 总共有 29 个交点 第 13 讲 平行线的性质及其应用 考点 方法 破译 1 掌握平行线的性质 正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别 和联系 2 初步了解命题 命题的构成 真假命题 定理 3 灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明 确定两直线的位 置关系 感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用 经典 考题 赏析 例 如图 四边形 ABCD 中 AB CD BC AD A 38 求 C的度数 解法指导 两条直线平行 同位角相等 两条直线平行 内错角相等 两条直线平行 同旁内角互补 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一 必须正确识别图形的特征 看清截 线 识别角的关系式关键 解 AB CD BC AD A B C D E F ab A B C 7 A B 180 B C 180 两条直线平行 同旁内角互补 A C A 38 C 38 变式题组 01 如图 已知 AD BC 点 E 在 BD 的延长线上 若 ADE 155 则 DBC 的度数为 A 155 B 50 C 45 D 25 第 1 题图 E D C B A 3 2 1 l1 l2 第 2 题图 E AB D 1 2 C F 第 3 题图 02 安徽 如图 直线 l1 l2 1 55 2 65 则 3 为 A 50 B 55 C 60 D 65 03 如图 已知 FC AB DE D B 2 3 4 试求 D B 的度数 例 如图 已知 AB CD EF GC CF B 60 EFC 45 求 BCG 的度数 解法指导 平行线的性质与对顶角 邻补角 垂直和角平分线 相结合 可求各种位置的角的度数 但注意看清角的位置 解 AB CD EF B BCD F FCD 两条 直线平行 内错角相等 又 B 60 EFC 45 BCD 60 FCD 45 又 GC CF GCF 90 垂直定理 GCD 90 45 45 BCG 60 45 15 变式题组 01 如图 已知 AF BC 且 AF 平分 EAB B 48 则 C 的的度数 A BC D O E F A E B C 第 1 题图 第 2 题图 02 如图 已知 ABC ACB 120 BO CO 分别 ABC ACB DE 过点 O 与 BC 平行 则 BOC 03 如图 已知 AB MP CD MN 平分 AMD A 40 D 50 求 NMP 的度数 例 如图 已知 1 2 C D 求证 A F 解法指导 因果转化 综合运用 逆向思维 要证明 A F 即要证明 DF AC 要证明 DF AC 即要证明 D DBC 180 即 C DBC 180 要证明 C DBC 180 即要证明 DB EC 要证明 DB EC 即要 证明 1 3 证明 1 2 2 3 对顶角相等 所以 1 3 DB EC 同位角相等 两直线平行 DBC C 180 两直 线平行 同旁内角互补 C D DBC D 180 DF AC 同旁内角 互补两直线平行 A F 两直线平行 E A F G D C B B A M C D N P 第 3 题图 C D A B EF 1 3 2 8 D A 2 E 1 B C B F E A CD 内错角相等 变式题组 01 如图 已知 AC FG 1 2 求证 DE FG 02 如图 已知 1 2 180 3 B 求证 AED ACB 03 如图 两平面镜 的夹角 入射光线 AO 平行 于 入射到 上 经两次反射后的出射光线 O B 平行 于 则角 等于 例 如图 已知 EG BC AD BC 1 3 求证 AD 平分 BAC 解法指导 抓住题中给出的条件的目的 仔细分析 条件给我们带来的结论 对于不能直接直接得出结论 的条件 要准确把握住这些条件的意图 题目中的 1 3 证明 EG BC AD BC EGC ADC 90 垂直定义 EG AD 同位角相等 两条直线平行 1 3 3 BAD 两条直线平行 内错角相等 AD 平分 BAC 角平分线定义 变式题组 01 如图 若 AE BC 于 E 1 2 求证 DC BC 02 如图 在 ABC 中 CE AB 于 E DF AB 于 F AC ED CE 平分 ACB 求证 EDF BDF 3 已知如图 AB CD B 40 CN 是 BCE 的平分线 CM CN 求 BCM 的度数 A D M C N E B G B 3 C A 1 D 2 E F 第 1 题图 A 2 C F 3 E D 1 B 第 2 题图 O O B 3 1 A B GDC E 9 P B CD A P 3 2 1 4 D E B C A F H F D E B C A F D E B C A B C A A l B C 例 已知 如图 AB EF 求证 ABC BCF CFE 360 解法指导 从考虑 360 这个特殊角入手展开联想 分析类比 联想周角 构造两个 平角 或构造两组 互补 的角 过点 C 作 CD AB 即把已知条件 AB EF 联系起来 这是关 键 证明 过点 C 作 CD AB CD AB 1 ABC 180 两直线平行 同旁内角互补 又 AB EF CD EF 平 行 于同一条直线的两直线平行 2 CFE 180 两直线平行 同旁内角互补 ABC 1 2 CFE 180 180 360 即 ABC BCF CFE 360 变式题组 01 如图 已知 AB CD 分别探究下面四个图形中 APC 和 PAB PCD 的关系 请你从所得四个关系中选出任意一个 说明你探究的结论的正确性 结论 B A P C A CCD A A P C B D P B P D B D 例 如图 已知 AB CD 则 之间的关系是 180 解法指导 基本图形 善于从复杂的图形中找到基本图形 运用基本图形的规律打开思路 解 过点 E 作 EH AB 过点 F 作 FG AB AB EH 1 两直线平行 内错角相等 又 FG AB EH FG 平行于同 一条直线的两直线平行 2 3 又 AB CD FG CD 平 行于同一条直线的两直线平行 4 180 两直线平行 同 旁内角互补 1 3 4 1 2 4 180 变式题组 01 如图 AB EF C 90 则 的关系是 A B 180 C 90 D 90 02 如图 已知 AB CD ABE 和 CDE 的平分线相交于点 F E 140 求 BFD 的度数 例 如图 平移三角形 ABC 设点 A 移动到点 A 画出平移后的三角形 A B C 解法指导 抓住平移作图的 四部曲 定 找 移 连 定 确定平移的方向和距离 找 找出图形的关键点 移 过关键点作平行且相等的线段 得到关键点的对应点 连 按原图形顺次连接对应点 解 连接 AA 过点 B 作 AA 的平行线 l 在 l 截取 F E D 2 1 A B C 10 D B C A 西 B 30 A 北 东 南 BB AA 则点 B 就是的 B 对应点 用同样的方法作出点 C 的对应点 C 连接 A B B C C A 就得到平移后的三角形 A B C 变式题组 01 如图 把四边形 ABCD 按箭头所指的方向平移 21cm 作出平移后的图形 02 如图 已知三角形 ABC 中 C 90 BC 4 AC 4 现将 ABC 沿 CB 方向平移到 A B C 的位置 若平移距离为 3 求 ABC 与 A B C 的重叠部分的面积 BB AA CC 03 原来是重叠的两个直角三角形 将其中一个三角形沿着 BC 方向平移 BE 的 距离 就得到此图形 求阴影部分的面积 单位 厘米 D 5 3 8 A FCBE 演练巩固 反馈提高 01 如图 由 A 测 B 得方向是 A 南偏东 30 B 南偏东 60 C 北偏西 30 D 北偏西 60 02 命题 对顶角相等 相等的角是对顶角 垂直于同一条直线的两直线 平行 平行于同一条直线的两直线垂直 其中的真命题的有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 03 一个学员在广场上练习驾驶汽车 两次拐弯后 行驶的方向与原来的方向相 同 两次拐弯的角度可能是 A 第一次向左拐 30 第二次向右拐 30 B 第一次向右拐 50 第二次向 左拐 130 C 第一次向左拐 50 第二次向右拐 130 D 第一次向左拐 60 第二次向 左拐 120 04 下列命题中 正确的是 A 对顶角相等B 同位角相等 C 内错角相等D 同旁内 角互补 05 学习了平行线后 小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法 是 通过折一张半透明的纸得到的 如图 P P P P 从图中可知 小敏画平行线的依据有 两直线平行 同位角相等 两直线平行 内错角相等 同位角相等 两直 线平行 内错角相等 两直线平行 A B C D 06 在 A B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路 从 A 地测得 B 地的走向是 南偏东 52 现 A B 两地要同时开工 若干天后 公路准确对接 则 B 地所修 公路的走向应该是 11 150 120 D B C E 湖 A 北偏东 52 B 南偏东 52 C 西偏北 52 D 北偏西 38 07 下列几种运动中属于平移的有 水平运输带上的砖的运动 笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动 忽略车轮 的转动 升降机上下做机械运动 足球场上足球的运动 A 1 种B 2 种C 3 种D 4 种 08 如图 网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置 平移这个图案 使它 正好位于左上角的位置 不能出格 09 观察图 哪个图是由图 平移而得到的 10 如图 AD BC AB CD AE BC 现将 ABE 进行平移 平移方向为 射线 AD 的方向 平移距离为线段 BC 的长 则平移得到的三角形是图中 图的阴影部分 D E A BCE D B CE D A BCE D A BCE D A BC 11 判断下列命题是真命题还是假命题 如果是假命题 举出一个反例 对顶角是相等的角 相等的角是对顶角 两个锐角的和是钝角 同旁内角互补 两直线平行 12 把下列命题改写成 如果 那么 的形式 并指出命题的真假 互补的角是邻补角 两个锐角的和是锐角 直角都相等 13 如图 在湖边修一条公路 如果第一个拐弯处 A 120 第二个拐弯处 B 150 第三个拐弯处 C 这时道路 CE 恰好和道路 AD 平行 问 C 是多 少度 并说明理由 12 4 3 2 1 A B E F CD 4 P 2 31 A B E F C D 14 如图 一条河流两岸是平行的 当小船行驶到河中 E 点时 与两岸码头 B D 成 64 角 当小船行驶到河中 F 点时 看 B 点和 D 点的视线 FB FD 恰 好有 1 2 3 4 的关系 你能说出此时点 F 与码头 B D 所形成的角 BFD 的度数吗 15 如图 AB CD 1 2 试说明 E 和 F 的关系 培优升级 奥赛检测 01 如图 等边 ABC 各边都被分成五等分 这样在 ABC 内能与 DEF 完成重合的小三角形共有 25 个 那么在 ABC 内由 DEF 平移得到的三角形共有 个 02 如图 一足球运动员在球场上点 A 处看到足球从 B 点沿着 BO 方向匀速滚 来 运动员立即从 A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球 若足球滚动的速度与该运 动员奔跑的速度相同 请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置 运 动员奔跑于足球滚动视为点的平移 03 如图 长方体的长 AB 4cm 宽 BC 3cm 高 AA1 2cm 将 AC 平移到 A1C1 的位置上时 平移的距离是 平移的 方向是 04 如图是图形的操作过程 五个矩形水平方向 的边长均为 a 竖直方向的边长为 b 将线段 A1A2 向右平移 1 个单位得到 B1B2 得到封闭图 形 A1A2B2B1 即阴影部分如图 将折现 A1A2 A3 向右平移 1 个单位得到 B1B2B3 得到封闭图形 A1A2 A3B3B2B1 即阴影部 分如图 在图 中 请你类似地画出一条有两个折点的直线 同样的向右平移 1 个单 位 从而得到 1 个封闭图形 并画出阴影 请你分别写出上述三个阴影部分的面积 S1 S2 S3 联想与探究 如图 在一矩形草地上 有一条弯曲的柏油小路 小路 在任何地方的水平宽度都是 1 个单位 请你猜想空白部分草地面积是 A2 B2 A3 B3 B4A4 A1B1 草地 草地 A1 B2 B1 A2B2 A1B1 A3B3 A2 多少 C B1 A A1 C1 D1 B D B O A F A D E C B 13 B D C F A E F E BA C G D 05 一位模型赛车手遥控一辆赛车 先前进一半 然后原地逆时针旋转 0 180 被称为一次操作 若 5 次后发现赛车回到出发点 则 角为 A 720 B 108 或 144 C 144 D 720 或 144 06 两条直线 a b 互相平行 直线 a 上顺次有 10 个点 A1 A2 A10 直 线 b 上顺次有 10 个点 B1 B2 B9 将 a 上每一点与 b 上每一点相连可得 线段 若没有三条线段相交于同一点 则这些选段的交点个数是 A 90 B 1620 C 6480 D 2006 07 如图 已知 AB CD B 100 EF 平分 BEC EG EF 求 BEG 和 DEG F E B A C G D 100 08 如图 AB CD BAE 30 DCE 60 EF EG 三等分 AEC 问 EF 与 EG 中有没有与 AB 平行的直线 为什么 09 如图 已知直线 CB OA C OAB 100 E F 在 CB 上 且满足 FOB AOB OE 平分 COF 求 EOB 的度数 若平行移动 AB 那么 OBC OFC 的值是否随之发生变化 若变化 找出 变化规律 若不变 求出这个比值 在平行移动 AB 的过程中 是否存在某种情况 使 OEC OBA 若存在 求出其度数 若不存在 说明理由 10 平面上有 5 条直线 其中任意两条都不平行 那么在这 5 条直线两两相交所 成的角中 至少有一个角不超过 36 请说明理由 11 如图 正方形 ABCD 的边长为 5 把它的对角线 AC 分成 n 段 以每一小段 为对角线作小正方形 这 n 个小正方形的周长之和为多少 12 如图将面积为 a2 的小正方形和面积为 b2 的大正方形放在一起 用添补法如 何求出阴影部分面积 FEB A C O A B CD 14 第 06 讲 实 数 考点 方法 破译 1 平方根与立方根 若 2 x a a 0 则 x 叫做 a 的平方根 记为 a 的平方根为 x a 其中 a 的 平方根为 x a 叫做 a 的算术平方根 若 x3 a 则 x 叫做 a 的立方根 记为 a 的立方根为 x 3 a 2 无限不循环小数叫做无理数 有理数和无理数统称实数 实数与数轴上的点 一一对应 任何有理数都可以表示为分数 p q p q 是两个互质的整数 且 q 0 的形式 3 非负数 实数的绝对值 实数的偶次幂 非负数的算术平方根 或偶次方根 都是非负 数 即 a 0 2n a 0 n 为正整数 a 0 a 0 经典 考题 赏析 例 1 若 2m 4 与 3m 1 是同一个数的平方根 求 m 的值 解法指导 一个正数的平方根有两个 并且这两个数互为相反数 2m 4 与 3m l 是同一个数的平方根 2m 4 3m l 0 5m 5 m l 变式题组 01 一个数的立方根与它的算术平方根相等 则这个数是 02 已知 m 是小于 152 的最大整数 则 m 的平方根是 03 9 的立方根是 04 如图 有一个数值转化器 当输入的 x 为 64 时 输出的 y 是 输入 x 取算术平方根输出 y 是无理数 是有理数 例 2 全国竞赛 已知非零实数 a b 满足 2 242342ababa 则 a b 等于 A 1 B 0 C 1 D 2 解法指导 若 2 3ab 有意义 a b 为非零实数 b2 0 a 3 0 a 3 2 242342ababa 2 242342ababa 2 230bab 2 20 30 b ab 3 2 a b 故选 C 变式题组 0l 在实数范围内 等式 223aab 0 成立 则 ab 02 若 2 930ab 则 a b的平方根是 03 天津 若 x y 为实数 且 220 xy 则 2009 x y 的值为 A 1 B 1 C 2 D 2 15 04 已知 x 是实数 则 1x xx 的值是 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 无法确定 例 3 若 a b 都为有理效 且满足 12 3abb 求 a b 的平方 根 解法指导 任何两个有理数的和 差 积 商 除数不为 0 还是有理数 但 两个无理数的和 差 积 商 除数不为 0 不一定是无理数 12 3abb 1 2 3 ab b 即 1 12 ab b 13 12 a b a b 12 13 25 a b 的平方根为 255ab 变式题组 01 西安市竞赛题 已知 m n 是有理数 且 5 2 m 3 2 5 n 7 0 求 m n 02 希望杯试题 设 x y 都是有理数 且满足方程 1 23 x 1 32 y 4 0 则 x y 例 4 若 a 为 17 2 的整数部分 b 1 是 9 的平方根 且 abba 求 a b 的值 解法指导 一个实数由小数部分与整数部分组成 17 2 整数部分 小数部分 整数部分估算可得 2 则小数部分 17 2 2 17 4 a 2 b 1 3 b 2 或 4 abba a b a 2 b 4 即 a b 6 变式题组 01 若 3 5 的小数部分是 a 3 5 的小数部分是 b 则 a b 的值为 02 5 的整数部分为 a 小数部分为 b 则 5 a b 演练巩固 反馈提高 0l 下列说法正确的是 A 2 是 2 2 的算术平方根 B 3 是 9 的算术平方根 C 16 的平方根是 4 D 27 的立方根是 3 02 设 3a b 2 5 2 c 则 a b c 的大小关系是 A a b c B a c b C b a c D c aa B ab C a b D b a 06 现有四个无理数 5 6 7 8 其中在 2 1 与3 1 之间的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 07 设 m 是 9 的平方根 n 2 3 则 m n 的关系是 A m n B m n C m n D mn 08 烟台 如图 数轴上 A B 两点表示的数分别为 1 和 3 点 B 关于点 A 的对称点 C 则点 C 所表示的数为 A 2 3 B 1 3 C 2 3 D l 3 09 点 A 在数轴上和原点相距 5 个单位 点 B 在数轴上和原点相距 3 个单位 且点 B 在点 A 左边 则 A B 之间的距离为 10 用计算器探索 已知按一定规律排列的一组数 1 1 2 1 3 1 19 1 20 如果从中选出若干个数 使它的和大于 3 那么至少要选 个数 11 对于任意不相等的两个数 a b 定义一种运算 如下 a b ab ab 如 3 2 32 32 5 那么 12 4 12 长沙中考题 已知 a b 为两个连续整数 且 a 7 b 则 a b 13 对实数 a b 定义运算 如下 a b 2 2 a bab aba b 已知 3 m 36 则实数 m 14 设 a 是大于 1 的实数 若 a 2 3 a 21 3 a 在数轴上对应的点分别是 A B C 则三点在数轴上从左自右的顺序是 15 如图 直径为 1 的圆与数轴有唯一的公共点 P 点 P 表示的实数为 1 如果 该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为 P 那么点 P 所表示的数是 16 已知整数 x y 满足 x 2 y 50 求 x y 17 17 已知 2a 1 的平方根是 3 3a b 1 的算术平方根是 4 求 a b 1 的立方 根 18 小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏 如图有一圆心角为 60 半径为 1 个 单位长的扇形放置在数轴上 当扇形在数轴上做无滑动的滚动时 当 B 点恰好 落在数轴上时 1 求此时 B 点所对的数 2 求圆心 O 移动的路程 19 若 b 315a 153a 3l 且 a 11 的算术平方根为 m 4b 1 的 立方根为 n 求 mn 2 3mn 4 的平方根与立方根 20 若 x y 为实数 且 x y 1 2 与 533xy 互为相反数 求 22 xy 的值 培优升级 奥赛检测 01 荆州市八年级数学联赛试题 一个正数 x 的两个平方根分别是 a 1 与 a 3 则 a 值为 A 2 B 1 C 1 D 0 02 黄冈竞赛 代数式 x 1x 2x 的最小值是 A 0 B 1 2 C 1 D 2 03 代数式 53x 2 的最小值为 04 设 a b 为有理数 且 a b 满足等式 a2 3b b 3 21 5 3 则 a b 05 若 ab 1 且 3 a 4 b 则在数轴上表示 a b 两数对应点的距离为 06 已知实数 a 满足 20092010aaa 则 a 20092 m 满足关系式 3523199199xymxymxyxy 试确定 m 的值 18 08 全国联赛 若 a b 满足3 5ab 7 S 23ab 求 S 的取值范 围 09 北京市初二年级竞赛试题 已知 0 a 1 并且 123 303030 aaa 28 30 a 29 30 a 18 求 10a 的值 其中 x 表示不超过 x 的最大整数 10 北京竞赛试题 已知实数 a b x y 满足 y 2 31xa 2 31xyb 求2 2 x ya b 的值 19 第 14 讲 平面直角坐标系 一 考点 方法 破译 1 认识有序数对 认识平面直角坐标系 2 了解点与坐标的对应关系 3 会根据点的坐标特点 求图形的面积 经典 考题 赏析 例 1 在坐标平面内描出下列各点的位置 A 2 1 B 1 2 C 1 2 D 2 1 E 0 3 F 3 0 解法指导 从点的坐标的意义去思考 在描点时要注意点的坐标的有序性 变式题组 01 第三象限的点 P x y 满足 x 5 2x y 1 则点 P 得坐标是 02 在平面直角坐标系中 如果 m n 那么 m n 一定在 象 限 03 指出下列各点所在的象限或坐标轴 A 3 0 B 2 1 3 C 2 1 2 D 0 3 E 3 14 3 14 例 2 若点 P a b 在第四象限 则点 Q a b 1 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象 限 解法指导 P a b 在第四象限 a 0 b 0 a 0 b 0 故选 C 变式题组 01 若点 G a 2 a 是第二象限的点 则 a 的取值范围是 A a 0 B a 2 C 0 a 2 B a 0 或 a 2 02 如果点 P 3x x 在第四象限 则 x 的取值范围是 03 若点 P x y 满足 xy 0 则点 P 在第 象限 04 已知点 P 2a 8 2 a 是第三象限的整点 则该点的坐标为 例 已知 A 点与点 B 3 4 关于 x 轴对称 求点 A 关于 y 轴对称的点的坐 标 解法指导 关于 x 轴对称的点的坐标的特点 横坐标 x 相等 纵坐标 y 互为 相反数 关于 y 轴对称的点的坐标特点 横坐标互为相反数 纵坐标 y 相等 变式题组 01 P 1 3 关于 x 轴对称的点的坐标为 02 P 3 2 关于 y 轴对称的点的坐标为 03 P a b 关于原点对称的点的坐标为 04 点 A 3 2m 关于原点对称的点在第四象限 则 m 的取值范围是 05 如果点 a b ab 在第二象限内 那么点 N a b 关于 y 轴对称的点在第 象限 例 P 3 4 则点 P 到 x 轴的距离是 解法指导 P x y 到 x 轴的距离是 y 到 y 轴的距离是 x 则 P 到轴的距离 是 4 4 变式题组 01 已知点 P 3 5 Q 6 则点 P Q 到 x 轴的距离分别是 P 到 y 轴的距离是点 Q 到 y 轴的距离的 倍 02 若 x 轴上的点 到 y 轴的距离是 3 则 P 点的坐标是 03 如果点 B m 1 3m 5 到 x 轴的距离与它到 y 轴的距离相等 求 m 的 20 值 04 若点 5 a a 3 在一 三象限的角平分线上 求 a 的值 05 已知两点 A 3 m B n 4 AB x 轴 求 m 的值 并确定 n 的取值范 围 例 如图 平面直角坐标系中有 A B 两点 1 它们的坐标分别是 2 以 A B 为相邻两个顶点的正方形的边长为 3 求正方形的其他两个顶点 C D 的坐标 解法指导 平行 x 轴的直线上两点之间的距离是 两个点的横坐标的差得绝对 值 平行 y 轴的直线上两点之间的距离是 两个点的纵坐标的差得绝对值 即 A x1 y1 B x2 y2 若 AB x 轴 则 AB x1 x2 若 AB y 则 AB y1 y2 则 1 A 2 2 B 2 1 2 3 3 C 5 2 D 5 1 或 C 1 2 D 1 1 变式题组 01 如图 四边形 ACBD 是平行四边形 且 AD x 轴 说明 A D 两点的 坐标相等 请你依据图 形写出 A B C D 四点的坐标分别是 02 已知 A 0 4 B 3 0 C 3 0 要画出平行四边形 ABCD 请根据 A B C 三点的坐标 写出第四个顶点 D 的坐标 你的答案是唯一的吗 03 已知 A 0 4 B 0 1 在坐标平面内求作一点 使 ABC 的面积为 5 请写出点 C 的坐标规律 例 6 平面直角坐标系 已知点 A 3 2 B 0 3 C 3 2 求 ABC 的面积 解法指导 1 三角形的面积 1 2 底 高 2 通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的 图形割补成规则图形 然后计算其面积 则 ABC ABD BCD 1 2 3 5 1 2 3 1 6 变式题组 01 在平面直角坐标系中 已知 ABC 三个顶点的坐标分别为 A 3 1 B 1 3 C 2 3 ABC 的面积 02 如图 已知 A 4 0 B 2 2 C 0 1 D 1 0 求四 边形 ABDC 的面积 21 03 已知 A 3 0 B 3 0 C 2 2 若 D 点在 y 轴上 且点 A B C D 四点所组成的四边形的面积为 15 求 D 点的坐标 例 7 如图所示 在平面直角坐标系中 横 纵坐标都为整数的点称为整 点 请你观察图中正方形 A1B1C1D1 A2B2C2D2 每个正方形四条边上的整 点的个数 推算出正方形 A10B10C10D10 四条边上的整点共有 个 解法指导 寻找规律 每个正方形四条边上的整点个数为 S 8n 所以 S10 8 10 80 个 变式题组 01 如图所示 在平面直角坐标系中 第一次将 OAB 变换成 OA1B1 第二 次将 OA1B1 变换成 OA2B2 第三次将 OA2B2 变成 OA3B3 已知 A 1 2 A1 2 2 A2 4 2 A3 8 2 B 2 0 B1 4 0 B2 8 0 B3 16 0 1 观察每次变换前后的三角形有何变化 找出规律 按此规律再将三 角形 OA3B3 变换成 OA4B4 则 A4 的坐标是 B4 的 坐标是 2 若按 1 题找到的规律将 OAB 进行 n 次变换 得 到三角形 OAnBn 推测 An 的坐标是 Bn 的坐标是 解法指导 由 AA1A2A3 BB1B2B3 的坐标可知 每变换一次 顶点 A 的横坐标乘以 2 纵坐标不变 顶点 B 的横坐标乘以 2 纵坐标不变 如图 已知 A1 1 0 A2 1 1 A3 1 1 A4 1 1 A5 2 1 则点 A2010 的坐标为 演练巩固 反馈提高 01 若点 A 2 n 在 x 轴上 则点 B n 1 n 1 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 02 若点 M a 2 3 2a 在 y 轴上 则点 M 的坐标是 A 2 7 B 0 3 C 0 7 D 7 0 03 如果点 A a b 则点 B a 1 3b 5 关于原点的对称点是 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第 四象限 04 下列数据不能确定物体位置的是 A 六楼 6 号 B 北偏西 400 C 文昌大道 10 号 D 北纬 260 东经 1350 05 在坐标平面内有一点 P a b 若 ab 0 则 P 点的位置是 A 原点 B x 轴上 C y 轴上 D 坐标轴上 22 06 已知点 P a b 到 x 轴的距离为 2 到 y 轴的距离为 5 且 a b b a 则 点 P 的坐标是 07 已知平面直角坐标系内两点 M 5 a N b 2 若直线 MN x 轴 则 a b 若直线 MN y 轴 则 a b 08 如图 将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转 2010 次 点 P 依 次落在点 P1 P2 P3 P2010 的位置 则 P2010 的横坐标 x2010 09 按下列规律排列的一列数对 2 1 5 4 8 7 则第七个数对中 的两个数之和是 10 如图 小明用手盖住的点的坐标可能为 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 11 点 P 位于 x 轴的下方 距 y 轴 3 个单位长度 距 x 轴 4 个单位长度 则点 P 的坐标是 12 将正整数按如图所示的规律排列下去 若有序数对 n m 表示 第 n 排 从左到右第 m 个数 则表示实数 25 的有序数对是 13 已知点 A 5 0 B 3 0 1 在 y 轴上找一点 C 使之满足 S ABC 16 求点 C 的坐标 2 在平面直角坐标系内找一点 C 使之满足 S ABC 16 的点 C 有多少个 这 样的点有什么规律 14 若 y 轴正方向是北 小芳家的坐标为 1 2 小李家的坐标为 2 1 则小芳家的 方向 15 如图在平面直角坐标系中 A 0 1 B 2 0 C 2 1 5 1 求 ABC 的面积 2 如果在第二象限内有一点 P a 1 2 试用含 a 的式子表示四边形 ABOP 的面 积 3 在 2 的条件下 是否存在一点 P 使得四边形 ABOP 的面积与 ABC 的面积 相等 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 请说明理由 23 16 如图所示 在直角坐标系 xOy 中 四边形 OABC 为正方形 其边长为 4 有一动点 P 自 O 点出发 以 2 个单位长度 秒得速度自 O A B C O 运动 问何时 S BC 4 并求此时 P 点的坐标 培优升级 奥赛检测 01 如果点 M a b ab 在第二象限 那么点 N a b 在第 象限 02 若点 A 6 5a 2a 1 1 点 A 在第二象限 求 a 的取值范围 2 当 a 为实数时 点 A 能否在第三象限 试说明理由 3 点 A 能否在坐标原点处 为什么 03 点 P 1 2 1 1 2 关于 y 轴对称点的坐标是 04 已知点 2a 3b 2 与点 B 8 3a 2b 关于 x 轴对称 那么 a b 05 已知 那么点 a2 2 2 a 关于原点对称的点在第 象限 06 已知点 P1 a 1 5 在第一 三象限角平分线上 点 P2 2 b 8 在第二 四 象限角平分线上 则 a b 2010 07 无论 x 为何实数值 点 P x 1 x 1 都不在第 象限 08 已知点 P 的坐标为 2 a 3b 6 且点 P 到两坐标轴的距离相等 则点 P 的坐标为 09 若点 P x y 在第二象限 且 x 1 2 y 3 5 则 P 点的坐标是 10 若点 A 2x 3 b x 在坐标轴夹角的平分线上 且在第二象限 则点 A 的 坐标是 11 已知线段 AB 平行于 y 轴 若点 A 的坐标为 2 3