【志鸿优化设计】（山东专用）2014届高考数学一轮复习 第九章解析几何9.8直线与圆锥曲线的位置关系教学案 理新人教A版

1 9 89 8 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 考纲要求考纲要求 1 了解圆锥曲线的简单应用 2 理解数形结合思想 1 直线与圆锥曲线位置关系的判断 1 代数法 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y 整理得到关于x的方程 Ax2 Bx C 0 若圆锥曲线是双曲线或是抛物线 当A 0 时 表示直线与双曲线的渐近线 或抛物线的轴平行 当A 0 时 记该一元二次方程根的判别式为 若 0 则直线 与圆锥曲线 若 0 则直线与圆锥曲线 若 0 则直线 与圆锥曲线 2 几何法 在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线 利用图象和性质可判断直线与 圆锥曲线的位置关系 2 直线与圆锥曲线的相交弦长问题 若直线与圆锥曲线有两个公共点M x1 y1 N x2 y2 可结合韦达定理 代入弦长 公式 MN 或 MN 求距离 若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题 一般利用圆锥曲线的定义去解决 1 过点 0 1 作直线 使它与抛物线y2 4x仅有一个公共点 这样的直线有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 2 已知直线l1 4x 3y 6 0 和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点P到直线 l1和直线l2的距离之和的最小值是 A 2 B 3 C D 11 5 37 16 3 已知抛物线y2 2px p 0 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于A B两点 若线段AB的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为 A x 1 B x 1 C x 2 D x 2 4 已知F为抛物线y2 8x的焦点 过点F且斜率为 1 的直线交抛物线于A B两点 则 FA FB 的值为 A 4 B 8 C 8 D 16 22 5 已知斜率为 1 的直线过椭圆 y2 1 的右焦点交椭圆于A B两点 则弦AB的长 x2 4 为 一 直线与圆锥曲线的位置关系 例 1 1 求证 不论m取何值 直线l mx y m 1 0 与椭圆 1 总有交 x2 16 y2 9 点 例 1 2 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A 2 3 且点F 2 0 为其右焦 点 1 求椭圆C的方程 2 是否存在平行于OA的直线l 使得直线l与椭圆C有公共点 且直线OA与l的距 离等于 4 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 方法提炼方法提炼 求直线与圆锥曲线的交点时 注意用一元二次方程的判别式 根与系数的关系来解 2 决 在解题时 应注意讨论二次项系数为 0 和不为 0 的两种情况 请做演练巩固提升 1 二 直线与圆锥曲线的相交弦问题 例 2 过点P 8 1 的直线与双曲线 y2 1 相交于A B两点 且P是线段AB的 x2 4 中点 求直线AB的方程 方法提炼方法提炼 1 当直线与圆锥曲线相交时 涉及的问题有弦长问题 弦的中点等问题 解决办法是 把直线方程与圆锥曲线方程联立 消元后得到关于x 或y 的一元二次方程 设而不求 利 用根与系数的关系解决问题 2 要灵活应用弦长公式和点差法 请做演练巩固提升 2 三 最值与定值问题 例 3 1 已知椭圆C经过点A 两个焦点为 1 0 1 0 1 3 2 1 求椭圆C的方程 2 E F是椭圆C上的两个动点 如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数 证明 直线EF的斜率为定值 并求出这个定值 例 3 2 2012 浙江高考 如图 在直角坐标系xOy中 点P到抛物线 1 1 2 C y2 2px p 0 的准线的距离为 点M t 1 是C上的定点 A B是C上的两动点 且线 5 4 段AB被直线OM平分 1 求p t的值 2 求 ABP面积的最大值 方法提炼方法提炼 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 1 圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类 涉及距离 面积的最值以及与之相关的 一些问题 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关 的一些问题 2 求最值常见的解法有两种 几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及 意义 则考虑利用图形性质来解决 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函 数关系 则可先建立起目标函数 再求这个函数的最值 提醒 求最值问题时 一定要注意特殊情况的讨论 如直线斜率不存在的情况 二次 三项式最高次项的系数的讨论等 请做演练巩固提升 3 巧用韦达定理解圆锥曲线问题 典例 12 分 2012 重庆高考 如图 设椭圆的中心为原点O 长轴在x轴上 上顶 点为A 左 右焦点分别为F1 F2 线段OF1 OF2的中点分别为B1 B2 且 AB1B2是面积 为 4 的直角三角形 3 1 求该椭圆的离心率和标准方程 2 过B1作直线交椭圆于P Q两点 使PB2 QB2 求 PB2Q的面积 规范解答 1 设所求椭圆的标准方程为 1 a b 0 右焦点为F2 c 0 x2 a2 y2 b2 因 AB1B2是直角三角形且 AB1 AB2 故 B1AB2为直角 从而 OA OB2 即b 2 分 c 2 结合c2 a2 b2得 4b2 a2 b2 故a2 5b2 c2 4b2 所以离心率e 3 分 c a 2 5 5 在 Rt AB1B2中 OA B1B2 故 B1B2 OA OB2 OA b b2 12 AB B S 1 2 c 2 由题设条 4 得b2 4 从而a2 5b2 20 12 AB B S 因此所求椭圆的标准方程为 1 5 分 x2 20 y2 4 2 由 1 知B1 2 0 B2 2 0 由题意 直线PQ的倾斜角不为 0 故可设直线PQ的方程为x my 2 代入椭圆方程得 m2 5 y2 4my 16 0 7 分 设P x1 y1 Q x2 y2 则y1 y2是上面方程的两根 因此 y1 y2 y1 y2 4m m2 5 16 m2 5 又 x1 2 y1 x2 2 y2 2 B P 2 B Q 所以 x1 2 x2 2 y1y2 2 B P 2 B Q my1 4 my2 4 y1y2 m2 1 y1y2 4m y1 y2 16 16 16 m2 1 m2 5 16m2 m2 5 9 分 16m2 64 m2 5 由PB2 QB2 知 0 2 B P 2 B Q 即 16m2 64 0 解得m 2 10 分 当m 2 时 方程 化为 9y2 8y 16 0 故y1 y2 y1 y2 4 4 10 9 4 4 10 9 8 9 10 PB2Q的面积S B1B2 y1 y2 1 2 16 9 10 当m 2 时 同理可得 或由对称性可得 PB2Q的面积S 16 9 10 4 综上所述 PB2Q的面积为 12 分 16 9 10 答题指导 解决直线与圆锥曲线的综合问题时 要注意以下几点 1 快速寻求出a b c 确定圆锥曲线方程 2 充分利用韦达定理进行巧妙处理 3 涉及平面向量运算时 一定要注意平面几何性质的运用 例如垂直 中点等 1 2012 辽宁高考 已知P Q为抛物线x2 2y上两点 点P Q的横坐标分别为 4 2 过P Q分别作抛物线的切线 两切线交于点A 则点A的纵坐标为 A 1 B 3 C 4 D 8 2 已知F1 F2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 过F1作垂直于x x2 a2 y2 b2 轴的直线交双曲线于A B两点 若 ABF2为锐角三角形 则双曲线的离心率的范围是 A 1 1 2 B 1 2 C 1 1 22 D 1 22 3 椭圆 1 a b 0 与直线x y 1 0 相交于P Q两点 且OP OQ O为原 x2 a2 y2 b2 点 1 求证 等于定值 1 a2 1 b2 2 若椭圆的离心率e 求椭圆长轴长的取值范围 3 3 2 2 4 2012 辽宁高考 如图 动圆C1 x2 y2 t2 1 t 3 与椭圆C2 y2 1 相交 x2 9 于A B C D四点 点A1 A2分别为C2的左 右顶点 1 当t为何值时 矩形ABCD的面积取得最大值 并求出其最大面积 2 求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理 1 相交 相切 相离 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 1 k2 y1 y2 2 4y1y2 基础自测 1 C 解析 解析 与抛物线相切有 2 条 与对称轴平行有 1 条 共 3 条 2 A 解析 解析 由抛物线y2 4x知直线l2为其准线 焦点为F 1 0 由抛物线的定义可知动点P到直线l2的距离与P到焦点F 1 0 的距离相等 所以P到 直线l1的距离与P到焦点F 1 0 的距离之和的最小值为焦点F 1 0 到直线l1的距离 如图 则d 2 4 1 0 6 32 42 3 B 解析 解析 过焦点F且斜率为 1 的直线方程为y x 与抛物线方程联立可 p 2 0 p 2 得y2 2py p2 0 所以y1 y2 2p 4 所以p 2 故准线方程为x 1 4 C 解析 解析 依题意知F 2 0 所以直线的方程为y x 2 联立方程 得Error 消去y 得x2 12x 4 0 设A x1 y1 B x2 y2 则x1x2 4 x1 x2 12 则 AF BF x1 2 x2 2 x1 x2 x1 x2 2 4x1x2 8 144 162 5 解析 解析 右焦点 0 直线AB的方程为y x 8 533 由Error 得 5x2 8x 8 0 3 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 x1x2 8 3 5 8 5 AB 1 k2 8 5 3 2 4 8 5 8 5 考点探究突破考点探究突破 例 1 1 证法一 由Error 消去y得 1 x2 16 mx m 1 2 9 整理 得 16m2 9 x2 32m m 1 x 16m2 32m 128 0 322m2 m 1 2 4 16m2 9 16m2 32m 128 576 15m2 2m 8 6 576 0 15 m 1 15 2 119 15 方程 恒有实根 原方程组恒有解 故直线l与椭圆总有交点 证法二 直线l的方程可化为m x 1 y 1 0 故直线l恒过x 1 0 和 y 1 0 的交点A 1 1 又点A在椭圆 1 内部 x2 16 y2 9 直线l与椭圆总有交点 例 1 2 解法一 1 依题意 可设椭圆C的方程为 1 a b 0 且可知 x2 a2 y2 b2 左焦点为F 2 0 从而有Error 解得Error 又a2 b2 c2 所以b2 12 故椭圆C的方程为 1 x2 16 y2 12 2 假设存在符合题意的直线l 其方程为y x t 3 2 由Error 得 3x2 3tx t2 12 0 因为直线l与椭圆C有公共点 所以 3t 2 4 3 t2 12 0 解得 4 t 4 33 另一方面 由直线OA与l的距离d 4 可得 4 从而t 2 t 9 4 113 由于 2 4 4 13 33 所以符合题意的直线l不存在 解法二 1 依题意 可设椭圆C的方程为 1 a b 0 且有Error x2 a2 y2 b2 解得b2 12 或b2 3 舍去 从而a2 16 所以椭圆C的方程为 1 x2 16 y2 12 2 同解法一 例 2 解 解 设点A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则x12 4y12 4 x22 4y22 4 得 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 P是线段AB的中点 x1 x2 16 y1 y2 2 2 y1 y2 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 直线AB的斜率为 2 直线AB的方程为 2x y 15 0 例 3 1 解 解 1 由题意 c 1 可设椭圆方程为 1 x2 1 b2 y2 b2 因为A在椭圆上 所以 1 1 1 b2 9 4b2 7 解得b 2 3 b2 舍去 3 4 所以椭圆方程为 1 x2 4 y2 3 2 设直线AE的方程为y k x 1 代入 1 得 3 2 x2 4 y2 3 3 4k2 x2 4k 3 2k x 4 2 12 0 3 2 k 设E xE yE F xF yF 因为点A在椭圆上 所以 1 3 2 xE 4 3 2 k 2 12 3 4k2 yE kxE k 3 2 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数 在上式中以 k代替k 可得 xF 4 3 2 k 2 12 3 4k2 yF kxF k 3 2 所以直线EF的斜率 kEF yF yE xF xE k xE xF 2k xF xE 1 2 即直线EF的斜率为定值 其值为 1 2 例 3 2 解 解 1 由题意知Error 得Error 2 设A x1 y1 B x2 y2 线段AB的中点为Q m m 由题意知 设直线AB的斜率为k k 0 由Error 得 y1 y2 y1 y2 x1 x2 故k 2m 1 所以直线AB方程为y m x m 1 2m 即x 2my 2m2 m 0 由Error 消去x 整理得y2 2my 2m2 m 0 所以 4m 4m2 0 y1 y2 2m y1 y2 2m2 m 8 从而 AB y1 y2 1 1 k21 4m24m 4m2 设点P到直线AB的距离为d 则d 1 2m 2m2 1 4m2 设 ABP的面积为S 则S AB d 1 2 m m2 1 2m m2 由 4m 4m2 0 得 0 m 1 令u 0 u m m2 1 2 则S u 1 2u2 设S u u 1 2u2 0 u 1 2 则S u 1 6u2 由S u 0 得u 6 6 0 1 2 所以S u max S 6 6 6 9 故 ABP面积的最大值为 6 9 演练巩固提升演练巩固提升 1 C 解析 解析 如图所示 由已知可设P 4 y1 Q 2 y2 点P Q在抛物线x2 2y上 Error Error P 4 8 Q 2 2 又 抛物线可化为y x2 y x 1 2 过点P的切线斜率为y Error 4 过点P的切线为y 8 4 x 4 即y 4x 8 又 过点Q的切线斜率为y Error 2 过点Q的切线为y 2 2 x 2 即y 2x 2 联立Error 解得x 1 y 4 点A的纵坐标为 4 2 A 解析 解析 由 ABF2为锐角三角形得 tan 1 b2 a 2c 4 即b2 2ac c2 a2 2ac 9 e2 2e 1 0 解得 1 e 1 22 又e 1 1 e 1 2 3 1 证明 由Error 消去y 得 a2 b2 x2 2a2x a2 1 b2 0 有两个交点 0 即 4a4 4 a2 b2 a2 1 b2 0 a2