数学必修2第四章知识点小结及典型习题

第四章第四章 圆与方程圆与方程 一 圆的定义圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合 或点的轨迹 叫圆 定点为圆心 定长为圆的半径 二 圆的方程 圆的方程 标准方程和一般方程 一 标准方程 一 标准方程 2 22 rbyax 圆心 ba 半径为r 圆的参数方程圆的参数方程 还未学习 暂作了解 为参数 22 2 cos 0 sin xar xaybrr ybr 为参数 222 cos 0 sin xr xyrr yr 1 求标准方程的方法 关键是求出圆心 ba 和半径r 待定系数法 往往已知圆上三点坐标 例如教材 119 P 例 2 利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系 特别是 相切和相交 相切 利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交 利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2 特殊位置的圆的标准方程设法 无需记 关键能理解 条件 方程形式 圆心在原点 222 0 xyrr 过原点 22 2222 0 xaybabab 圆心在x轴上 2 22 0 xayrr 圆心在 y 轴上 2 22 0 xybrr 圆心在x轴上且过原点 2 22 0 xayaa 圆心在 y 轴上且过原点 2 22 0 xybbb 与x轴相切 22 2 0 xaybbb 与 y 轴相切 22 2 0 xaybaa 与两坐标轴都相切 22 2 0 xaybaab 二 圆的一般方程 二 圆的一般方程 2222 040 xyDxEyFDEF 1 圆的一般方程的特点 1 和的系数相同 且不等于 0 2 x 2 y 没有 xy 这样的二次项 2 求圆的一般方程采用待定系数法 圆的一般方程中有三个待定的系数 D E F 只要 求出这三个系数 圆的方程就确定了 如教材例 4 122 P 3 与圆的标准方程相比较 它是一种特殊的二元二次方程 代数特征明显 圆的标准方 程则指出了圆心坐标与半径大小 几何特征较明显 2 22 0AxByCxyDxEyF 表示圆方程 则 22 22 00 00 40 40 ABAB CC DEAF DEF AAA 3 常可用 04 22 FED 来求有关参数的范围 4 1 当 04 22 FED 时 方程表示圆 此时圆心为 2 2 ED 半径为 FEDr4 2 1 22 2 当04 22 FED时 表示一个点 3 当04 22 FED时 方程不表示任何图形 例 若方程表示圆 则实数 a 的取值范是 222 2210 xyaxayaa A B C D 2 0 3 a 20a 2 2 3 a 或a 2 2 3 a 三 注意求圆方程的方法 三 注意求圆方程的方法 一般都采用待定系数法 先设后求 确定一个圆需要三个独 立条件 若利用圆的标准方程 需求出 a b r 若利用一般方程 需要求出 D E F 另外要注意多利用圆的几何性质 如弦的中垂线必经过原点 以此来确定圆心的位置 三 点与圆的位置关系三 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 00 M xy 222 xaybr 1 判断方法 点到圆心的距离d与半径r的大小关系 dr 点在圆内 dr 点在圆上 dr 点在圆外 2 涉及最值 1 圆外一点B 圆上一动点P 讨论 PB 的最值 min PBBNBCr max PBBMBCr minmax PBNBBCrPBMBBCr 2 圆内一点A 圆上一动点P 讨论 PA 的最值 min PAANrAC max PAAMrAC 思考 过此A点作最短的弦 此弦垂直AC 例 若点 1 1 在圆的内部 则实数 a 的取值范围是 22 4xaya A 1 a 1 B 0 a 1 C a1 D a 1 四 直线与圆的位置关系的判定及弦长公式 四 直线与圆的位置关系的判定及弦长公式 一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离 相切 相交相离 相切 相交三种情况 判断方法如下 判断方法如下 1 设直线0 CByAxl 圆 2 22 rbyaxC 圆心 baC 到直线l的距 离为 22 BA CBbAa d 则有 rd 直线l与圆C相离 rd 直线l与圆C相切 rd 直线l与圆C相交 这一知识点可以出题 告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围 2 设直线 0 CByAxl 圆 2 22 rbyaxC 先将方程联立消元 得到一 个一元二次方程之后 令其中的判别式为 则有 相离与Cl 0 相切与Cl 0 相交与Cl 0 注 如果圆心的位置在原点 可使用公式 2 00 ryyxx 去解直线与圆相切的问题 其中 00 y x 表示切点坐标 r 表示半径 二 直线与圆相切 二 直线与圆相切 1 知识要点 基本图形 主要元素 切点坐标 切线方程 切线长等 问题 直线 与圆相切意味着什么 lC 圆心到直线 的距离恰好等于半径恰好等于半径Clr 2 常见题型 求过定点的切线方程 1 切线条数 点在圆外 3 条 点在圆上 1 条 点在圆内 无 2 求切线方程的方法及注意点 i 点在圆外 如定点 圆 00 P xy 22 2 xaybr 22 2 00 xaybr 第一步 设切线 方程l 00 yyk xx 第二步 通过 从而得到切线方程dr k 特别注意 特别注意 以上解题步骤仅对存在有效 当不存在时 应补上 千万不要漏了 千万不要漏了 kk ii 点在圆上 1 若点在圆上 则切线方程为 00 xy 222 xyr 2 00 x xy yr 会在选择题及填空题中运用 但一定要看清题目会在选择题及填空题中运用 但一定要看清题目 2 若点在圆上 则切线方程为 00 xy 22 2 xaybr 2 00 xaxaybybr 碰到一般方程则可先将一般方程标准化 然后运用上述结果碰到一般方程则可先将一般方程标准化 然后运用上述结果 由上述分析 我们知道 过一定点求某圆的切线方程 非常重要的第一步就是 判 断点与圆的位置关系 得出切线的条数 如 1 过点作圆的切线 求切线方程 答案 和 1 1P 22 46120 xyxy 3410 xy 1x 2 经过点 P 1 2 点作圆的切线 则切线方程为 22 1 2 4xy 3 经过点 P 4 8 点作圆的切线 则切线方程为 22 7 8 9xy 4 经过点 P 1 2 点且与圆相切的直线方程为 22 1 3 5xy 3 求切线长 利用基本图形 222 22 APCPrAPCPr 求切点坐标 利用两个关系列出两个方程 1 ACAP ACr kk 三 直线与圆相交 三 直线与圆相交 1 求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理垂径定理及勾股定理 很常用很常用 弦长公式 暂作了解 无需掌握 2 22 121212 114lkxxkxxx x 2 判断直线与圆相交的一种特殊方法 一种巧合 直线过定点 而定点恰好在圆内 3 关于点的个数问题 如 1 若圆上有且仅有两个点到直线的距离为 1 则半 22 2 35xyr 4320 xy 径的取值范围是 答案 r 4 6 2 已知直线 3x 4y 12 0 与圆 C C x 3 2 y 2 2 4 请选择适当的方法判断l 直线 与圆 C 的位置关系 若直线 与圆 C 相交 请求出直线 被圆 C 截得的弦长 lll 解法 1 代数法 解法 2 几何法 总结 1 代数法 设直线与圆的方程连立方程组 消元后所得一元二次方程为 其两个不等实根为 则其两点弦长为 AB 1 2 a k 22 0axbxc 1 x 2 x 2 几何法 设直线 Ax By C 0 圆 C 圆心 C a b 到直l 222 xaybr 线 的距离 22 BA CBbAa 弦长 AB 2 22 dr ld 3 圆的上点到直线 x y 14 0 的最大距离和最小距离为 22 44100 xyxy 和 最大距离和最小距离的差为 五 圆与圆的位置关系 五 圆与圆的位置关系 1 判定方法 判定方法 常通过两圆半径的和 差 与圆心距 d 之间的大小比较来确定 设圆 C1 x a1 2 y b1 2 r 2 C2 x a2 2 y b2 2 R 2 设 R r 当rRd 时两圆外离 此时有公切线四条 当rRd 时两圆外切 连心线过切点 有外公切线两条 内公切线一条 当rRdrR 时两圆相交 连心线垂直平分公共弦 有两条外公切线 当rRd 时 两圆内切 连心线经过切点 只有一条公切线 当rRd 时 两圆内含 当0 d时 为同心圆 注意 注意 已知圆上两点 圆心必在中垂线上 已知两圆相切 两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连接圆心与切点或者连圆心与弦中点 如 已知圆 C1 和圆 C2 试判断 22 2880 xyxy 22 4420 xyxy 圆和位置关系 若相交 试求出它们的交点坐标 2 两圆公共弦所在直线方程 圆 圆 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF 则为两相交圆公共弦方程 121212 0DDxEEyFF 补充说明 补充说明 若与相切 则表示其中一条公切线方程 1 C 2 C 若与相离 则表示连心线的中垂线方程 1 C 2 C 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例 已知圆 C1 和圆 试判断圆和位置关系 若 22 20 xyx 2 C 22 40 xyy 相交 则设其交点为 A B 试求出它们的公共弦 AB 的方程及公共弦长 3 圆系问题 1 过两圆 和 交点 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF 的圆系方程为 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 1 说明 说明 上述圆系不包括 当时 表示过两圆交点的直线方程 公共弦 2 C1 2 过直线与圆交点的圆系方程为0AxByC 22 0 xyDxEyF 22 0 xyDxEyFAxByC 数学思想方法简介数学思想方法简介 方程思想与坐标法方程思想与坐标法 直线方程 Ax By C 0 与圆的方程有三个方面的应用 222 xaybr 1 通过研究直线与圆或圆与圆的方程联立所得的方程组的解的情况来确定直线与圆之间 的交点情况 从而判定直线与圆的之间位置关系 圆与圆之间位置关系及求它们的交点坐 标 2 通过点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 22 BA CBbAa 并比较 d 与半d 径 r 的大小解决圆与直线的有关性质问题 或圆心距与圆半径的和或差大小的比较 解决 O y x M M R P Q 圆与圆之间的性质问题 3 利用已知方程 任给一个坐标 x 的值 就可以求另一个坐标 y 的值解决实际问题 专项练习 专项练习 1 过原点且倾斜角为 60 的直线被圆截得弦 AB 长为 22 40 xyy 2 已知一圆上的两点 A 2 3 B 2 5 且圆心 C 在直线 x 2y 3 0 上 求此圆 C 的方程 3 求以点 M 2 1 为圆心且与直线 3x 4y 5 0 相切的圆 M 的方程 4 求圆心在直线 3x y 0 上 与 x 轴相切 且被直线 x y 0 截得弦长为 2 7的圆 C 的 方程 5 已知过点 M 3 3 的直线l被圆 C 22 4210 xyx 截得弦长为 4 5 求直 线l的方程 6 求圆心在直线 x y 4 0 上 并且经过圆和圆 22 640 xyx 的交点的圆 C 方程 22 6280 xyy 7 求过点 M 3 1 且与圆 C 相切于 N 1 2 的圆 C 方程 22 2650 xyxy 8 求圆心在直线 2x y 0 上 并且经过点 A 2 1 与直线 x y 1 相切的圆方程 9 已知圆 C 与圆 相外切 并且与直线l x 3y 0 相切于点 P 3 1 C 22 20 xyx 3 的圆 C 的方程 10 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A 1 0 和 B 3 4 线段的垂直平分线交圆 P 于点 C D 且 CD 4 10 1 求直线 CD 的方程 2 求圆 P 的方程 11 一条光线从点 A 2 3 射出 经 x 轴反射后 与圆相切 求反 22 3 2 1xy 射后的光线所在直线的方程 12 一条光线从点 A 1 1 射出 经 x 轴反射后 照射到圆 C 的 22 3 2 1xy 一点上 求这条光线由 A 点入射 反射到圆上的最短路程 六 空间直角坐标系 六 空间直角坐标系 1 空间直角坐标系 从空间某一个定点 O 引三条 且有 单位长度的数轴 Ox Oy Oz 这样的坐标系叫做空间直角坐标系 O xyz 点 O 叫做 x 轴 y 轴 z 轴叫做 在画空间直角坐标系 O xyz 时 一般使 xOy 135 yOz 90 2 坐标平面 通过每两个坐标轴的平面叫做 分别称为 xOy 平面 yOz 平面 zOx 平面 3 在空间直角坐标系中 空间一点 M 的坐标可以用有序数组 x y z 来表示 有序数组 x y z 叫做点 M 在空间直角坐标系中的坐标 记作 M x y z 其中 x 叫做 坐标 y 叫做 坐标 z 叫做 坐标 4 右手直角坐标系 在空间直角坐标系中 令右手大拇指 食指和 中指相互垂直时 让右手大拇指指向为 x 轴的正方向 食指指向 y 轴 的正方向 中指指向 z 轴的正方向 则称这个坐标系为右手直角坐标 例 4 图 系 注意 1 在空间直角坐标系中 坐标平面 xOy xOz yOz 上非原点的坐标有什么特点 2 在空间直角坐标系中 x 轴 y 轴 z 轴上非原点的坐标有什么特点 5 空间两点间的距离公式 1 空间中任意一点 1111 zyxP 到点 2222 zyxP 之间的距离公式 2 21 2 21 2 2121 zzyyxxPP 2 在空间直角坐标系 O xyz 中 设点 P x y z 111 zyxA 222 zyxB 则 点 P 到原点 O 的距离 OP 222 zyx A 与 B 两点间距离公式 AB 2 12 2 12 2 12 zzyyxx 点 A 与 B 的中点坐标公式 000 zyxP 2 2 2 21 0 21 0 21 0 zz z yy y xx x 专题例题与练习 专题例题与练习 例 1 在空间直角坐标系中 到点 M 3 1 2 N 0 2 1 距离相等且在 y 轴上的点的 坐标为 例 2 与点 P 1 3 5 关于原点对称的点是 A 1 3 5 B 1 3 5 C 1 3 5 D 1 3 5 例 3 已知空间两点 M 2 3 6 N m 3 2n 关于 xOy 平面 对称 则 m n 例 4 如图右侧 已知正方体 ABCD A B C D 的棱长为 a BM 2MD 点 N 在 A C 上 且 A N 3 NC 试求 MN 的长 练习 1 若已知点 A 1 1 1 B 3 3 3 则线段 AB 的长为 A 4 B 2 C 4 D 3 3322 2 在空间直角坐标系中 点 P 5 2 3 到 x 轴的距离为 A 5 B C D 291334 3 在空间直角坐标系中 已知点 P x y z 满足方程 x 2 2 y 1 2 z 3 2 3 则点 P 的轨迹是 A 直线 B 圆 C 球面 D 线段 4 已知点 A 3 1 4 B 5 3 6 则点 B 关于点 A 的对称点 C 的坐标为 5 以正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 AB AD AA1 所在的直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 且正方体的棱长为一个单位长度 则棱 CC1 的中点的坐标为 A 2 1 1 1 B 1 2 1 1 C 1 1 2 1 D 2 1 2 1 1 6 空间直角坐标系中 x 轴上到点 P 4 1 2 的距离为的点有 30 A 2 个 B 1 个 C 0 个 D 无数个 7 已知 A 1 2 11 B 4 2 3 C 6 1 4 则 ABC 的形状是 A 等腰三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形 8 在空间直角坐标系中 一定点到三个坐标轴的距离都是 1 则该点到原点的距离是 A B C D 6 23 3 2 6 3 七 求最值问题方法主要有三种 七 求最值问题方法