2017年宁夏六盘山高级中学高考数学四模试卷(理科)(解析版)

第 1 页 共 26 页 2017 年宁夏六盘山高级中学高考数学四模试卷 理科 年宁夏六盘山高级中学高考数学四模试卷 理科 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个分 在每小题给出的四个 选项中 正确的只有一项 选项中 正确的只有一项 1 设集合 A x x 2 B y y 2x 1 则 A B A 3 B 2 3 C 2 D 1 2 2 复数 z i i2017 i 为虚数单位 则复数 z 为 A 2 iB 2 i C 4 iD 4 i 3 下列函数中 既是偶函数又存在零点的是 A y x2 1B y lgx C y cosxD y ex 1 4 若点 P 到直线 y 3 的距离比到点 F 0 2 的距离大 1 则点 P 的轨迹方程 为 A y2 8xB y2 8xC x2 8yD x2 8y 5 等比数列 an 的各项均为正数 且 a1 2a2 4 a42 4a3a7 则 a5 A B C 20D 40 6 已知正方形 ABCD 的边长为 6 M 在边 BC 上且 BC 3BM N 为 DC 的中点 则 A 6B 12C 6D 12 7 设甲 乙两人每次射击命中目标的概率分别为 且各次射击相互独立 若按甲 乙 甲 乙 的次序轮流射击 直到有一人击中目标就停止射击 则 停止射击时 甲射击了两次的概率是 A B C D 8 已知 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 给出下列命题 若 m 则 m 若 m n 且 m n 则 第 2 页 共 26 页 若 m m 则 若 m n 且 m n 则 其中正确命题的序号是 A B C D 9 中国古代数学名著 九章算术 中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量 器 商鞅铜方升 其三视图如图所示 单位 寸 若 取 3 其体积为 12 6 立方寸 则图中的 x 为 A 1 2 B 1 6 C 1 8 D 2 4 10 若命题 p 从有 2 件正品和 2 件次品的产品中任选 2 件得到都是正品的概 率为三分之一 命题 q 在边长为 4 的正方形 ABCD 内任取一点 M 则 AMB 90 的概率为 则下列命题是真命题的是 A p qB p qC p q D q 11 已知 F 是双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点 A B 分别为其左 右 顶点 O 为坐标原点 D 为其上一点 DF x 轴 过点 A 的直线 l 与线段 DF 交 于点 E 与 y 轴交于点 M 直线 BE 与 y 轴交于点 N 若 3 OM 2 ON 则双 曲线的离心率为 A 3B 4C 5D 6 12 已知函数 f x 在定义域 R 上的导函数为 f x 若方程 f x 0 无解 且 f f x 2017x 2017 当 g x sinx cosx kx 在 上与 f x 在 R 上的单调性相同时 则实数 k 的取值范围是 A 1 B C 1 D 第 3 页 共 26 页 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分分 13 某校今年计划招聘女教师 x 人 男教师 y 人 若 x y 满足 则该 学校今年计划招聘教师最多 人 14 在二项式 x2 5的展开式中 含 x 项的系数 a 是 则2xdx 15 执行如图所示的程序框图 若输入 p 5 q 6 则输出 a 的值为 16 设公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a2 a5 a11成等比数列 且 a11 2 Sm Sn m n 0 m n N 则 m n 的值是 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知函数 f x sin2x 2cos2x 1 x R 求函数 f x 的最小正周期和最小值 在 ABC 中 A B C 的对边分别为 a b c 已知 c f C 0 sinB 2sinA 求 a b 的值 18 如图 在以 A B C D E F 为顶点的多面体中 AF 平面 ABCD DE 平面 ABCD AD BC AB CD ABC 60 BC AF 2AD 4DE 4 请在图中作出平面 使得 DE 且 BF 并说明理由 求直线 EF 与平面 BCE 所成角的正弦值 第 4 页 共 26 页 19 2017 年春晚过后 为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系 某网站对 其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计 得到如下数据 上春晚次数 x 单位 次 246810 粉丝数量 y 单位 万人 10204080100 1 若该演员的粉丝数量 g x g 1 0 与上春晚次数 x 满足线性回归方 程 试求回归方程 x 并就此分析 该演员上春晚 12 次时的粉丝数量 2 若用 i 1 2 3 4 5 表示统计数据时粉丝的 即时均值 四舍五 入 精确到整数 从这 5 个 即时均值 中任选 2 数 记所选的 2 数之和为随机 变量 求 的分布列与数学期望 参考公式 20 已知椭圆的离心率为 四个顶点构成的菱形的 面积是 4 圆 M x 1 2 y2 r2 0 r 1 过椭圆 C 的上顶点 A 作圆 M 的两 条切线分别与椭圆 C 相交于 B D 两点 不同于点 A 直线 AB AD 的斜率分 别为 k1 k2 1 求椭圆 C 的方程 2 当 r 变化时 求 k1 k2的值 试问直线 BD 是否过某个定点 若是 求 出该定点 若不是 请说明理由 21 设 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线与直线 第 5 页 共 26 页 x y 1 0 垂直 1 求 a 的值 2 若对于任意的 x 1 f x m x 1 恒成立 求 m 的取值范 围 请考生在第请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 选选 修修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系中 圆 C 的方程为 为参数 以坐标 原点 O 为极点 x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 两种坐标系中取相同的 单位长度 直线 l 的极坐标方程为 cos sin m m R I 当 m 3 时 判断直线 l 与 C 的位置关系 当 C 上有且只有一点到直线 l 的距离等于时 求 C 上到直线 l 距离为 2 的点的坐标 选修选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 23 已知函数 f x g x af x x 1 当 a 0 时 若 g x x 2 b 对任意 x 0 恒成立 求实数 b 的取值范围 当 a 1 时 求 g x 的最大值 第 6 页 共 26 页 2017 年宁夏六盘山高级中学高考数学四模试卷 理科 年宁夏六盘山高级中学高考数学四模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个分 在每小题给出的四个 选项中 正确的只有一项 选项中 正确的只有一项 1 设集合 A x x 2 B y y 2x 1 则 A B A 3 B 2 3 C 2 D 1 2 考点 1E 交集及其运算 分析 运用指数函数的值域 化简集合 B 再由交集的定义 即可得到所 求 解答 解 集合 A x x 2 由 x R 2x 0 可得 B y y 2x 1 y y 1 则 A B m 1 m 2 1 2 故选 D 2 复数 z i i2017 i 为虚数单位 则复数 z 为 A 2 iB 2 i C 4 iD 4 i 考点 A1 虚数单位 i 及其性质 分析 i4 1 可得 i2017 i4 504 i i 再利用复数的运算法则 模的计算公式 即可得出 解答 解 i4 1 i2017 i4 504 i i z i 2 i 故选 B 3 下列函数中 既是偶函数又存在零点的是 第 7 页 共 26 页 A y x2 1B y lgx C y cosxD y ex 1 考点 3L 函数奇偶性的性质 52 函数零点的判定定理 分析 先判定函数的奇偶性 再确定函数是否存在零点 解答 解 对于 A 函数是偶函数 不存在零点 不正确 对于 B 函数不是偶函数 不正确 对于 C 既是偶函数又存在零点 正确 对于 D 函数不是偶函数 不正确 故选 C 4 若点 P 到直线 y 3 的距离比到点 F 0 2 的距离大 1 则点 P 的轨迹方程 为 A y2 8xB y2 8xC x2 8yD x2 8y 考点 J3 轨迹方程 分析 由题意得 点 P 到直线 y 1 的距离和它到点 0 1 的距离相等 故 点 P 的轨迹是以点 0 1 为焦点 以直线 y 1 为准线的抛物线 可得轨迹方 程 解答 解 点 P 到直线 y 3 的距离比到点 F 0 1 的距离大 2 点 P 到直线 y 1 的距离和它到点 0 1 的距离相等 故点 P 的轨迹是以点 0 1 为焦点 以直线 y 1 为准线的抛物线 方程为 x2 8y 故选 D 5 等比数列 an 的各项均为正数 且 a1 2a2 4 a42 4a3a7 则 a5 A B C 20D 40 考点 8G 等比数列的性质 分析 根据通项公式列方程组解出首项和公比 再计算 a5 第 8 页 共 26 页 解答 解 设公比为 q 则 q 0 由题意得 解得 a5 2 故选 A 6 已知正方形 ABCD 的边长为 6 M 在边 BC 上且 BC 3BM N 为 DC 的中点 则 A 6B 12C 6D 12 考点 9R 平面向量数量积的运算 分析 建立坐标系 求出两向量的坐标 再计算数量积 解答 解 以 A 为原点建立坐标系 如图所示 则 A 0 0 B 6 0 M 6 2 N 3 6 6 2 3 6 18 12 6 故选 A 7 设甲 乙两人每次射击命中目标的概率分别为 且各次射击相互独立 若按甲 乙 甲 乙 的次序轮流射击 直到有一人击中目标就停止射击 则 停止射击时 甲射击了两次的概率是 A B C D 第 9 页 共 26 页 考点 C9 相互独立事件的概率乘法公式 C5 互斥事件的概率加法公式 分析 根据题意 分析可得 停止射击时甲射击了两次包括两种情况 第 一次射击甲乙都未命中 甲第二次射击时命中 第一次射击甲乙都未命中 甲第二次射击未命中 而第二次射击时命中 分别由相互独立事件概率的乘法 公式计算其概率 再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案 解答 解 设 A 表示甲命中目标 B 表示乙命中目标 则 A B 相互独立 停止射击时甲射击了两次包括两种情况 第一次射击甲乙都未命中 甲第二次射击时命中 此时的概率 P1 P A 1 1 第一次射击甲乙都未命中 甲第二次射击未命中 而乙在第二次射击时命中 此时的概率 P2 P B 1 1 1 故停止射击时甲射击了两次的概率 P P1 P2 故选 C 8 已知 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 给出下列命题 若 m 则 m 若 m n 且 m n 则 若 m m 则 若 m n 且 m n 则 其中正确命题的序号是 A B C D 考点 2K 命题的真假判断与应用 LP 空间中直线与平面之间的位置关 系 分析 对于 当 m 时 m 不一定成立 对于 可以看成 m 是平面 的法向量 n 是平面 的法向量即可 对于 可由面面垂直的判断定理作出判断 第 10 页 共 26 页 对于 m n 且 m n 也可能相交 解答 解 当 m 时 m 不一定成立 所以错误 利用当两个平面的法向量互相垂直时 这两个平面垂直 故成立 因为 m 则一定存在直线 n 在 使得 m n 又 m 可得出 n 由 面面垂直的判定定理知 故成立 m n 且 m n 也可能相交 如图所示 所以错误 故选 B 9 中国古代数学名著 九章算术 中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量 器 商鞅铜方升 其三视图如图所示 单位 寸 若 取 3 其体积为 12 6 立方寸 则图中的 x 为 A 1 2 B 1 6 C 1 8 D 2 4 考点 L 由三视图求面积 体积 分析 由三视图知 商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成 利用体积求 出 x 解答 解 由三视图知 商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成 由题意 得 5 4 x 3 1 2 2x 12 6 x 1 6 故选 B 10 若命题 p 从有 2 件正品和 2 件次品的产品中任选 2 件得到都是正品的概 第 11 页 共 26 页 率为三分之一 命题 q 在边长为 4 的正方形 ABCD 内任取一点 M 则 AMB 90 的概率为 则下列命题是真命题的是 A p qB p qC p q D q 考点 CF 几何概型 分析 分别求出相应的概率 确定 p q 的真假 即可得出结论 解答 解 从有 2 件正品和 2 件次品的产品中任选 2 件得都是正品的概率为 即 p 是假命题 如图正方形的边长为 4 图中白色区域是以 AB 为直径的半圆 当 P 落在半圆内时 APB 90 当 P 落在半圆上时 APB 90 当 P 落在半圆外时 APB 90 故使 AMB 90 的概率 P 即 q 为真命题 p q 为真命题 故选 B 11 已知 F 是双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点 A B 分别为其左 右 顶点 O 为坐标原点 D 为其上一点 DF x 轴 过点 A 的直线 l 与线段 DF 交 于点 E 与 y 轴交于点 M 直线 BE 与 y 轴交于点 N 若 3 OM 2 ON 则双 曲线的离心率为 第 12 页 共 26 页 A 3B 4C 5D 6 考点 KC 双曲线的简单性质 分析 设 A a 0 M 0 2m B a 0 N 0 3m 则直线 AM 直线 BN 由直线 AM BN 的交点 D c y 得 则 即可 解答 解 如图 设 A a 0 M 0 2m B a 0 N 0 3m 则直线 AM 直线 BN 直线 AM BN 的交点 D c y 则 双曲线的离心率为 5 故答案为 C 12 已知函数 f x 在定义域 R 上的导函数为 f x 若方程 f x 0 无解 且 f f x 2017x 2017 当 g x sinx cosx kx 在 上与 f x 在 R 上的单调性相同时 则实数 k 的取值范围是 A 1 B C 1 D 考点 6B 利用导数研究函数的单调性 分析 由题意可知 f x 为 R 上的单调函数 则 f x 2017x为定值 由指 数函数的性质可知 f x 为 R 上的增函数 则 g x 在 单调递增 第 13 页 共 26 页 求导 则 g x 0 恒成立 则 k sin x min 根据函数的正弦函数的 性质即可求得 k 的取值范围 解答 解 若方程 f x 0 无解 则 f x 0 或 f x 0 恒成立 所以 f x 为 R 上的单调函数 x R 都有 f f x 2017x 2017 则 f x 2017x为定值 设 t f x 2017x 则 f x t 2017x 易知 f x 为 R 上的增函数 g x sinx cosx kx 又 g x 与 f x 的单调性相同 g x 在 R 上单调递增 则当 x g x 0 恒成立 当时 此时 k 1 故选 A 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分分 13 某校今年计划招聘女教师 x 人 男教师 y 人 若 x y 满足 则该 学校今年计划招聘教师最多 10 人 考点 7C 简单线性规划 分析 作出不等式组对应的平面区域 则目标函数为 z x y 利用线性规划的 知识进行求解即可 解答 解 设 z x y 作出不等式组对应的平面区域如图 第 14 页 共 26 页 由 z x y 得 y x z 平移直线 y x z 由图象可知当直线 y x z 经过点 A 时 直线 y x z 的截距最大 此时 z 最大 但此时 z 最大值取不到 由图象当直线经过整点 E 5 5 时 z x y 取得最大值 代入目标函数 z x y 得 z 5 5 10 即目标函数 z x y 的最大值为 10 故答案为 10 14 在二项式 x2 5的展开式中 含 x 项的系数 a 是 则2xdx 99 考点 DC 二项式定理的应用 分析 先求出二项式展开式的通项公式 再令 x 的幂指数等于 1 求得 r 的值 即可求得展开式中的含 x 项的系数 a 的值 再求定积分 可得要求式子的值 解答 解 二项式 x2 5的展开式的通项公式为 Tr 1 1 r x10 3r 令 10 3r 1 可得 r 3 第 15 页 共 26 页 故含 x 项的系数 a 10 则2xdx 2xdx x2 1 100 99 故答案为 99 15 执行如图所示的程序框图 若输入 p 5 q 6 则输出 a 的值为 30 考点 EF 程序框图 分析 根据得到该程序的功能是求 p q 两个数的最小公倍数 由此写出程序 执行的步骤 结合题意即可得答案 解答 解 根据题中的程序框图 可得该程序按如下步骤运行 第一次循环 i 1 a 5 1 5 判断 q 是否整除 a 由于 q 6 不整除 a 5 进入第二次循环 得到 i 2 a 5 2 10 判断 q 是否 整除 a 由于 q 6 不整除 a 10 进入第三次循环 得到 i 3 a 5 3 15 判断 q 是否 整除 a 由于 q 6 不整除 a 15 进入第四次循环 得到 i 4 a 5 4 20 判断 q 是否 整除 a 由于 q 6 不整除 a 20 进入第五次循环 得到 i 5 a 5 5 25 判断 q 是否 整除 a 由于 q 6 不整除 a 25 进入第六次循环 得到 i 6 a 5 6 30 判断 q 是否 整除 a 由于 q 6 整除 a 30 结束循环体并输出最后的 a i 值 因此输出的 a 30 且 i 6 故答案为 30 第 16 页 共 26 页 16 设公差不为 0 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a2 a5 a11成等比数列 且 a11 2 Sm Sn m n 0 m n N 则 m n 的值是 9 考点 8M 等差数列与等比数列的综合 分析 设公差 d 不为 0 的等差数列 an 运用等比数列中项的性质 化简可 得 a1 2d 再由等差数列的求和公式 化简可得 m n m n 3 12 通过 m n 且 m n 为自然数 列举判断即可得到所求和 解答 解 设公差 d 不为 0 的等差数列 an a2 a5 a11成等比数列 可得 a52 a2a11 即为 a1 4d 2 a1 d a1 10d 化简可得 a1 2d a11 2 Sm Sn 即有 12d 2 ma1 d na1 d 12d 4md 4nd d m2 m n2 n 即有 m n m n 3 12 由于 m n 0 m n N 可得 m n 3 6 m n 2 若 m 2 3 n 1 则方程不成立 若 m 3 4 n 2 则方程不成立 若 m 4 5 n 3 则方程不成立 若 m 5 n 4 则方程成立 m 6 n 4 则方程不成立 故 m n 5 4 9 故答案为 9 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 页 共 26 页 17 已知函数 f x sin2x 2cos2x 1 x R 求函数 f x 的最小正周期和最小值 在 ABC 中 A B C 的对边分别为 a b c 已知 c f C 0 sinB 2sinA 求 a b 的值 考点 HR 余弦定理 GQ 两角和与差的正弦函数 H1 三角函数的周期性 及其求法 分析 f x 解析式利用二倍角的余弦函数公式化简 整理后利用两角 和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数 找出 的值 代入周期公式求 出函数 f x 的最小正周期 利用正弦函数的值域确定出 f x 最小值即可 由 f C 0 及第一问化简得到的解析式 求出 C 的度数 利用正弦定理 化简 sinB 2sinA 得到 b 2a 利用余弦定理列出关系式 把 c b 2a cosC 的 值代入即可求出 a 与 b 的值 解答 解 f x sin2x cos2x 1 1 sin2x cos2x 2 2sin 2x 2 2 1 sin 2x 1 f x 的最小正周期 T 最小值为 4 f C 2sin 2C 2 0 sin 2C 1 C 0 2C 2C 即 C 将 sinB 2sinA 利用正弦定理化简得 b 2a 由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC a2 4a2 2a2 3a2 第 18 页 共 26 页 把 c 代入得 a 1 b 2 18 如图 在以 A B C D E F 为顶点的多面体中 AF 平面 ABCD DE 平面 ABCD AD BC AB CD ABC 60 BC AF 2AD 4DE 4 请在图中作出平面 使得 DE 且 BF 并说明理由 求直线 EF 与平面 BCE 所成角的正弦值 考点 MI 直线与平面所成的角 LS 直线与平面平行的判定 分析 取 BC 的中点 G 连接 EG DG 证明平面 ABF 平面 EDG 可得 结论 建立如图所示的坐标系 求出平面 BCE 的法向量 利用向量方法求直线 EF 与平面 BCE 所成角的正弦值 解答 解 取 BC 的中点 G 连接 EG DG 则平面 EDG 为所求 AD 2 BG 2 AD BC 四边形 ADGB 是平行四边形 AB DG AB 平面 EDG DG 平面 EDG AB 平面 EDG 同理 AF 平面 EDG AB AF A 平面 ABF 平面 EDG FB 平面 ABF BF 平面 EDG 第 19 页 共 26 页 以点 A 为坐标原点 AD 为 y 轴 AF 为 z 轴 过 A 垂直于 AD 的直线为 x 轴 建立如图所示的坐标系 则 F 0 0 4 E 0 2 1 B 1 0 C 3 0 0 2 3 0 4 0 3 1 设平面 BCE 的法向量为 x y z 则 取 0 3 则直线 EF 与平面 BCE 所成角的正弦值 19 2017 年春晚过后 为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系 某网站对 其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计 得到如下数据 上春晚次数 x 单位 次 246810 粉丝数量 y 单位 万人 10204080100 1 若该演员的粉丝数量 g x g 1 0 与上春晚次数 x 满足线性回归方 程 试求回归方程 x 并就此分析 该演员上春晚 12 次时的粉丝数量 2 若用 i 1 2 3 4 5 表示统计数据时粉丝的 即时均值 四舍五 入 精确到整数 从这 5 个 即时均值 中任选 2 数 记所选的 2 数之和为随机 变量 求 的分布列与数学期望 第 20 页 共 26 页 参考公式 考点 CH 离散型随机变量的期望与方差 CG 离散型随机变量及其分布 列 分析 1 由题意 计算 求出回归系数 写出回归方程 计算 x 12 时的方程即可 2 经计算可知这五个 即时均值 分别为 5 5 7 10 10 得出 的可能取值 计算对应的概率值 写出 的分布列 计算数学期望值 解答 解 1 由题意可知 计算 2 4 6 8 10 6 10 20 40 80 100 50 回归系数为 12 50 12 6 22 回归方程为 12x 22 当 x 12 时 12 12 22 122 所以该演员上春晚 12 次时的粉丝数约为 122 万人 2 经计算可知 这五个 即时均值 分别为 5 5 7 10 10 的可能取值有 10 12 15 17 20 计算 P 10 P 12 P 15 P 17 P 20 第 21 页 共 26 页 的分布列为 1012151720 P 数学期望为 E 10 12 15 17 20 20 已知椭圆的离心率为 四个顶点构成的菱形的 面积是 4 圆 M x 1 2 y2 r2 0 r 1 过椭圆 C 的上顶点 A 作圆 M 的两 条切线分别与椭圆 C 相交于 B D 两点 不同于点 A 直线 AB AD 的斜率分 别为 k1 k2 1 求椭圆 C 的方程 2 当 r 变化时 求 k1 k2的值 试问直线 BD 是否过某个定点 若是 求 出该定点 若不是 请说明理由 考点 KQ 圆锥曲线的定值问题 K3 椭圆的标准方程 KL 直线与椭圆的 位置关系 分析 1 利用已知条件求出 a b 即可求解椭圆 C 的方程 2 AB y k1x 1 则有 化简得 直线 AD y k2x 1 同理有 推出 k1 k2是方程 1 r2 k2 2k 1 r2 0 的两实根 故 k1 k2 1 考虑到 r 1 时 D 是椭圆的下顶点 B 趋近 于椭圆的上顶点 故 BD 若过定点 则猜想定点在 y 轴上 联立直线与椭圆方 程 求出相关点的坐标 求出直线 BD 的方程 推出直线 BD 过定点 解答 解 1 由题设知 又 a2 b2 c2 解得 a 2 b 1 故所求椭圆 C 的方程是 第 22 页 共 26 页 2 AB y k1x 1 则有 化简得 对于直线 AD y k2x 1 同理有 于是 k1 k2是方程 1 r2 k2 2k 1 r2 0 的两实根 故 k1 k2 1 考虑到 r 1 时 D 是椭圆的下顶点 B 趋近于椭圆的上顶点 故 BD 若过定点 则猜想定点在 y 轴上 由 得 于是有 直线 BD 的斜率为 直线 BD 的方程为 令 x 0 得 故直线 BD 过定点 21 设 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线与直线 x y 1 0 垂直 1 求 a 的值 2 若对于任意的 x 1 f x m x 1 恒成立 求 m 的取值范 围 考点 6K 导数在最大值 最小值问题中的应用 6H 利用导数研究曲线上 某点切线方程 分析 1 求导 由题意可得 f 1 1 代入即可求得 a 的值 第 23 页 共 26 页 2 由题意可知 4lnx m 3x 2 恒成立 构造辅助函数 求导 分类讨 论即可求出 m 的取值范围 解答 解 1 f x 由题设 f 1 1 a 0 2 x 1 f x m x 1 即 4lnx m 3x 2 设 g x 4lnx m 3x 2 即 x 1 g x 0 g x m 3 g 1 4 4m 若 m 0 g x 0 g x g 1 0 这与题设 g x 0 矛盾 若 m 0 1 当 x 1 g x 0 g x 单调递增 g x g 1 0 与题设矛盾 若 m 1 当 x 1