2018区域八年级数学竞赛(解析版)

1 2017 学年第二学期八年级区域数学竞赛试卷学年第二学期八年级区域数学竞赛试卷 满分 120 分 时间 120 分钟 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 4 分 共分 共 32 分 在每题给出的四个选项中 只有一个是正确的 分 在每题给出的四个选项中 只有一个是正确的 1 在平面直角坐标系中 点在平面直角坐标系中 点 则点 则点 P 不可能在 不可能在 B 22 P mm A 第一象限第一象限 B 第二象限第二象限 C 第三象限第三象限 D 第四象限第四象限 22 22 xm yx ym 2 满足 满足 2 2 11 n nn 的整数的整数n有 有 D 个 个 A 1 B 2 C 3 D 4 22 12 22 11202 1 1100 202 nnnnnn nnnnn nn 3 不等式不等式的解是 的解是 B 2 1 0a a A B 或或 C 或或 D 或或0a 1a 1a 1a 10a 0a 1a 2 2 2 111 000111 a aaaaa aaa 或 4 如图 在平行四边形如图 在平行四边形 ABCD 中 中 AB 8 cm AD 12 cm 点点 P 在在 AD 边上以每秒边上以每秒 1 cm 的速度从点的速度从点 A 向点向点 D 运动 点运动 点 Q 在在 BC 边上 以每秒边上 以每秒 4 cm 的速度从点的速度从点 C 出发 在出发 在 CB 间往返运动 两个点同时出发 当点间往返运动 两个点同时出发 当点 P 达到点达到点 D 时停止 同时点时停止 同时点 Q 也停止 也停止 在运动 在运动 过过 程中 以程中 以 P D Q B 四点为顶点组成平行四边形的次数有四点为顶点组成平行四边形的次数有 B A 4 次次 B 3 次次 C 2 次次 D 1 次次 当点当点 P 到达点到达点 D 时 时 Q 运动运动 48cm 即来回 即来回 4 次 次 当当时 不存在 当时 不存在 当 03t 36124124 8tttt 当当69123648tttt 当当912124369 6tttt 第第 4 题图题图 第第 5 题图题图 S1 S3 S2 S4 第 8第 C A B D E F 第第 7 题图题图 2 5 如图 在四边形如图 在四边形 ABCD 中 中 AC BD 于点于点 E BD x 轴 点轴 点 C 在在 x 轴上 点轴上 点 A D 在在 函数函数的图象上的图象上 若若与与的面积之比为的面积之比为 1 3 则 则的面的面 12 0 yx x ABEACDEAABCA 积为 积为 A A 2 B C 3 D 4 5 2 2x 2k a b 12 1 2x 6k b 12 2 1 2 a 4k b 4x 1 2 6x 6k 12 x k 2 S ABC x k 2 b a x x 3k 3k k k 6 已知已知 那么 那么 A 2 310aa 2 2 9 492 1 aa a A 3 B 5 C D 3 56 5 2 2 99 49212492 13 31 363 6963 aaaa aa aa aa 7 如图 矩形如图 矩形 ABCD 的长为的长为 a 宽为 宽为 b 如果 如果 则 则 C 1234 1 SS 2 SS 4 S A B C D 2 3 ab 3 4 ab 3 8 ab 1 2 ab 3 y b y a xx S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4 ab S1 S2 1 2ab S1 S2 1 4ab 1 2bx 1 4ab x 1 2a E AB F BC S3 1 2 1 2a 1 2b 1 8ab S4 1 2ab 1 8ab 3 8ab b a S4 S3 S2 S1 F E D C B A 8 实数实数 x 满足满足 并且关于 并且关于 x 的函数的函数的最小值为的最小值为 31752 233 xx x 2 2yxaa 4 则常数则常数 a C A B C 2 或或 D 或或 2 13 13 2 13 31752 1 233 xx xx a 1 x 1 y 4 21 a a2 4 a2 2a 2 4 a 1 3 a 1 x a y 4 a2 4 a 2 二 填空题二 填空题 每小题每小题 5 分 共分 共 30 分分 9 计算 计算 111 222 33 211 1212 11 1 2 3 3 2 1 6 3 2 3 2 6 1 2 1 3 1 1 2 1 2 1 3 1 11 1 12 1 1 12 1 3 6 10 如图 在矩形如图 在矩形 OABC 中 中 A 0 2 C 4 0 点 点 M 是直线是直线上的点 点上的点 点 Nyx 是是 坐标平面内一点坐标平面内一点 若四边形若四边形 MBNC 是平行四边形 则当是平行四边形 则当 MN 取最小值时 点取最小值时 点 N 的的 4 坐坐 标是标是 111 22 A B CO y x M N P BC P 4 1 NM OM NM NM y x 5 M 5 2 5 2 N 11 2 1 2 11 如图 在平面直角坐标系中 点如图 在平面直角坐标系中 点是动点 以点是动点 以点 C 为旋转中心 将点为旋转中心 将点 C x y 逆逆 4 0 A 时针旋转时针旋转 90 到点到点 若 若 则点 则点 C 运动的路径长为运动的路径长为 4 B t22t 2 2 第第 10 题图题图第第 12 题题 图图 5 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 8642246810121416182022 BD CE t x y t x x 8 x t 8 2 t 2 x 5 C 5 3 t 2 x 3 C 3 5 C 2 2 CD AE 4 y 4 x y x 8 C y x 8 E D O C x y B t 4 A 4 0 12 如果如果那么那么 12 206 27 39 4 4 fff 4 3 2 1 ffff 99 100 2116 ff 仔细观察式子得仔细观察式子得到 到 原式 原式 1 2 3 8 9 1 1 2 3 8 9 2 2 4 6 16 18 3 3 6 9 24 27 9 9 18 27 36 72 81 45 1 46 1 46 2 46 3 46 8 46 9 45 1 46 45 46 46 2116 13 已知已知 a 为常数 关于为常数 关于 x 的方程的方程在实数范围内只有一个解 在实数范围内只有一个解 322 2 20 xaaxa 则则 a 的取值为的取值为 08a 14 如图 在等腰直角三角形如图 在等腰直角三角形 ABC 中 中 内取一点内取一点 P 90C ABCA 且且 则 则 APACa BPCPb ba 22 22 ab ab 3 6 30 b a a ACBD PBD PCA PAD PAC 30 S PAC 1 4a 2 1 4a 2 1 2b a2 1 4b 2 a2 b 4a2 b2 a4 4a2b2 b4 0 a2 b2 2 6a2b2 a2 b2 2 2a2b2 a2 b2 a2 b2 3 a bb a a D 三 解答题 第三 解答题 第 15 题题 13 分 其余每題分 其余每題 15 分 共分 共 58 分 分 15 已知实系数一元二次方程已知实系数一元二次方程的两根为的两根为 若 若 2 20axbxc 12 x xabc 且且 求 求的取值范围的取值范围 0abc 12 dxx ax2 2bx c 0 x1 x2 b a x1 x2 c a 2 d x1 x2 x1 x2 2 4x1 x2 4 4b2 4ac a 2 b2 ac a2 2 a c 2 ac a2 2 c a 2 c a 1 6 a b c a b c 0 a a c 2a c c a 2 8 a c c a 2c c a 1 2 10 2 c a 1 2 11 3 d 2 3 13 16 如图 在矩形如图 在矩形 ABCO 中 点中 点 O 为坐标原点 点为坐标原点 点 B 的坐标为 的坐标为 4 3 点 点 A C 在坐在坐 标标 轴上 点轴上 点 P 在在 BC 边上 直线边上 直线 直线 直线 1 23lyx 2 23lyx 1 分别求直线 分别求直线 l1与与 x 轴 直线轴 直线 l2与与 AB 的交点坐标 的交点坐标 2 已知点 已知点 M 在第一象限 且是直线在第一象限 且是直线上的点 若上的点 若 APM 是等腰直角三角形 求点是等腰直角三角形 求点 M 2 l 的的 坐标坐标 3 已知矩形 已知矩形 ANPQ 的顶点的顶点 N 在直线在直线 l2上上 Q 是坐标平面内的点 且是坐标平面内的点 且 N 点的横坐标为点的横坐标为 第第 16 题图题图 7 x 请直接写出 请直接写出 x 取值范围取值范围 2 分分 4 分分 7 分分 10 分分 13 分分 3 x 的取值范围为 的取值范围为 15 分分 图图 2 图图 1 图图 3 图图 4 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 246810121416182022242628 O A B 4 3 C P N x 2x 3 8 N l2 N x 2x 3 kAN kBN 1 2x 6 x 2x 6 x 4 1 5x2 28x 36 0 x1 18 5 x2 2 kAN kCN 1 2x 6 x 2x 3 x 4 1 5x2 22x 18 0 x1 11 31 5 x2 11 31 5 N l2 N AB P C B 11 31 5 x 18 5 N l2 N AB P C B 11 31 5 x 2 17 如图 在正方形如图 在正方形中 中 分别是边分别是边 上的点 满足上的点 满足ABCDEFBCCD DFBEEF 分别与对角线分别与对角线交于点交于点 AFAE BDNM 1 求证 求证 45EAF 222 DNBMMN 2 求 求的最小值的最小值 EF AB 1 CB G BG DF ABG ADF AEG AEF EAG EAF 45 5 AG H AH AN ABH ADN AMH AMN BMH HM MN BH DN MBH 45 45 90 MN2 BM2 DN2 10 图图 5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 246810121416182022242628 O A B 4 3 C P N x 2x 3 A B C D E F M N H G N M F E D C B A 9 2 AB a EF b BE x RtCEF CE2 CF2 EF2 a x 2 a b x 2 b2 x2 bx a2 ab 0 BE 0 b2 4 a2 ab 0 b2 4a2 4ab 0 b a 2 4 b a 4 b a 2 2 8 b a 2 2 2 15 18 计算机从自然数计算机从自然数 1 开始由小到大开始由小到大按如下规则进行染色 凡能表示为两个不同合数之和按如下规则进行染色 凡能表示为两个不同合数之和 的自然数都染成红色 不符合上述要求的自然数染成黄色 比如的自然数都染成红色 不符合上述要求的自然数染成黄色 比如 29 可表示为两个不可表示为两个不 同合数同合数 20 和和 9 之和 之和 29 要染红色 要染红色 1 不能表示为两个不同合数之和 不能表示为两个不同合数之和 1 染黄色 染黄色 问 被染成红色的数由小到大数下去 第问 被染成红色的数由小到大数下去 第 2018 个数是多少 请说明理由 个数是多少 请说明理由 参考答案参考答案 显然显然 1 要染黄色 要染黄色 2 1 1 也要染黄色 也要染黄色 2 分分 3 1 2 4 1 3 2 2 5 1 4 2 3 6 1 5 2 4 3 3 7 1 6 2 5 3 4 8 1 7 2 6 3 5 4 4 9 1 8 2 7 3 6 4 5 11 1 10 2 9 3 8 4 7 5 6 可见 可见 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 均应染黄色 均应染黄色 下面说明其它自然数下面说明其它自然数 n 都要染红色 都要染红色 5 分分 1 当 当 n 为大于等于为大于等于 10 的偶数时 的偶数时 n 2k 4 2 k 2 a b x b x a xx b a A B C D E F 45 10 由于由于 n 10 所以 所以 k 5 k 2 3 2 k 2 与 与 4 均为合数 且不相等 也就是说 大于等均为合数 且不相等 也就是说 大于等 于于 10 的偶数均能表示为两个不同的合数之和 应染红色 的偶数均能表示为两个不同的合数之和 应染红色 10 分分 2 当 当 n 为大于等于为大于等于 13 的奇数时 的奇数时 n 2k 1 9 2 k 4 由于由于 n 13 所以 所