直线和圆【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结 直线和圆直线和圆 一 直线的倾斜角一 直线的倾斜角 1 定义定义 在平面直角坐标系中 对于一条与轴相交的直线 如果把轴绕着交xlx 点按逆时针方向转逆时针方向转到和直线直线 重合重合时所转的最小正角最小正角记为 那么就叫做直线的倾斜l 角 当直线 与轴重合或平行时 规定倾斜角为 0 lx 2 倾斜角的范围倾斜角的范围 如如 0 1 1 直线的倾斜角的范围是 023cos yx 答 5 0 66 2 2 过点的直线的倾斜角的范围值的范围是 0 1 3 mQP m么么 3 2 3 答 42 mm么 二 直线的斜率二 直线的斜率 1 定义定义 倾斜角不是 90 的直线 它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 即k tan 90 倾斜角为 90 的直线没有斜率 k 2 斜率公式斜率公式 经过两点 的直线的斜率为 111 P x y 222 P xy 21 21 21 xx xx yy k 3 直线的方向向量直线的方向向量 直线的方向向量与直线的斜率有何关系 1 ak 4 应用应用 证明三点共线 如如 ABBC kk 1 1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的 条件 答 既不充分也不必要 2 2 实数满足 则的最大值 最小值分别为 x y3250 xy 31 x x y 答 2 1 3 三 直线的方程三 直线的方程 1 点斜式点斜式 已知直线过点斜率为 则直线方程为 它不包 00 xyk 00 yyk xx 括垂直于轴的直线 x 2 斜截式斜截式 已知直线在轴上的截距为和斜率 则直线方程为 它不ybkykxb 包括垂直于轴的直线 x 3 两点式两点式 已知直线经过 两点 则直线方程为 111 P x y 222 P xy 它不包括垂直于坐标轴的直线 12 1 12 1 xx xx yy yy 4 截距式截距式 已知直线在轴和轴上的截距为 则直线方程为 它不包xy a b1 b y a x 括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线 5 一般式一般式 任何直线均可写成 A B 不同时为 0 的形式 如如0AxByC 1 1 经过点 2 1 且方向向量为 1 的直线的点斜式方程是v 3 答 13 2 yx 2 2 直线 不管怎样变化恒过点 2 21 34 0mxmym m 答 1 2 3 3 若曲线与有两个公共点 则的取值范围是 ya x 0 yxa a a 答 1a 提醒提醒 1 1 直线方程的各种形式都有局限性 如点斜式不适用于斜率不存在的直线 还有截距式呢 2 2 直线在坐标轴上的截距可正 可负 也可为 0 直线两截距相等 直线的斜率为 1 或直线过原点 直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过 原点 直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点 如如过点 且纵 1 1 4 A 横截距的绝对值相等的直线共有 条 答 3 四 设直线方程的一些常用技巧四 设直线方程的一些常用技巧 1 知直线纵截距 常设其方程为 bykxb 2 知直线横截距 常设其方程为 它不适用于斜率为 0 的直线 0 x 0 xmyx 3 知直线过点 当斜率存在时 常设其方程为 当斜率 00 xyk 00 yk xxy 不存在时 则其方程为 k 0 xx 4 与直线平行的直线可表示为 0l AxByC 1 0AxByC 5 与直线垂直的直线可表示为 0l AxByC 1 0BxAyC 提醒提醒 求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式 利用待定系数法求解 五 点到直线的距离及两平行直线间的距离五 点到直线的距离及两平行直线间的距离 1 点到直线的距离 00 P xy0AxByC 00 22 AxByC d AB 2 两平行线间的距离为 1122 0 0lAxByClAxByC 12 22 CC d AB 六 直线六 直线与直线与直线的位置关系的位置关系 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1 平行 斜率 且 在轴上截距 1221 0ABA B 1221 0BCB C y 2 相交 1221 0ABA B 3 重合且 1221 0ABA B 1221 0BCB C 提醒提醒 1 1 仅是两直线平行 相交 重 111 222 ABC ABC 11 22 AB AB 111 222 ABC ABC 合的充分不必要条件 为什么 2 2 在解析几何中 研究两条直线的位置关系时 有 可能这两条直线重合 而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线 3 3 直线与直线垂直垂直 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 如 如 1 1 设直线和 当 时 1 60lxmy 2 2 320lmxym m 当 时 当 时 与相交 当 时 1 l 2 lm 1 l 2 lm 1 l 2 lm 与重合 1 l 2 l 答 1 3 1 2 31且mm 2 2 已知直线 的方程为 则与 平行 且过点 1 3 的直线方l34120 xy l 程是 答 3490 xy 3 3 两条直线与相交于第一象限 则实数的取值范围是40axy 20 xy a 答 12a 4 4 设分别是 ABC 中 A B C 所对边的边长 则直线 a b c 与的位置关系是 sin0A xayc Asinsin0bxB yC A 答 垂直 5 5 已知点是直线上一点 是直线 外一点 则方 111 P x y 0lf x y 222 P xyl 程 0 所表示的直线与 的关系是 1122 f x yf x yf xy l 答 平行 6 6 直线 过点 且被两平行直线和所截得的l360 xy 330 xy 线段长为 9 则直线 的方程是 l 答 43401xyx 和 七 到角和夹角公式七 到角和夹角公式 1 到的角是指直线 绕着交点按逆时针方向转到和直线重合所转的角 1 l 2 l 1 l 2 l 且 tan 0 21 12 1kk kk 12 1k k 2 与的夹角是指不大于直角的角且 tan 1 l 2 l 0 2 21 12 1kk kk 12 1k k 提醒提醒 解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解 如如 已知点 M 是直线与轴的交点 把直线 绕点 M 逆时针方向旋转 45 240 xy xl 得到的直线方程是 答 360 xy 八 对称八 对称 中心对称和轴对称 问题问题 代入法代入法 如如 1 1 已知点与点关于轴对称 点 P 与点 N 关于轴对称 点 Q 与点 M a bNxy P 关于直线对称 则点 Q 的坐标为 0 xy 答 b a 2 2 已知直线 与的夹角平分线为 若 的方程为 1 l 2 lyx 1 l0 0 axbycab 那么的方程是 2 l 答 0bxayc 3 3 点 关于直线 的对称点为 2 7 则 的方程是 ll 答 3y 3x 4 4 已知一束光线通过点 经直线 3x 4y 4 0 反射 如果反射光l 线通过点 15 则反射光线所在直线的方程是 答 18x510y 5 5 已知 ABC 顶点 A 3 边上的中线所在直线的方程为 6x 10y 59 0 B 的平分线所在的方程为 x 4y 10 0 求 边所在的直线方程 答 29650 xy 6 6 直线 2x y 4 0 上有一点 它与两定点 4 1 3 4 的距离之差 最大 则 的坐标是 答 5 6 7 7 已知轴 C 2 1 周长的最小值为 Ax Bl yx ABCA 答 10 提醒提醒 在解几中遇到角平分线 光线反射等条件常利用对称求解 九 简单的线性规划九 简单的线性规划 1 二元一次不等式表示的平面区域 法一 先把二元一次不等式改写成 或的形式 前者表示直线的上方区域 后者表示直线的下方区域 ykxb ykxb 法二 用特殊点判断 无等号时用虚线表示不包含直线 有等号时用实线表示包含l 直线 设点 若与同号 则 P Q 在l 11 P x y 22 Q xy 11 AxByC 22 AxByC 直线 的同侧 异号则在直线 的异侧 如如ll 已知点 A 2 4 B 4 2 且直线与线段 AB 恒相交 则的取 2l ykx k 值范围是 答 31 2 线性规划问题中的有关概念 满足关于的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件 x y 关于变量的解析式叫目标函数 关于变量一次式的目标函数叫线性目标 x y x y 函数 求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 称为线性规划问题 满足线性约束条件的解 叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 x y 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解 3 求解线性规划问题的步骤是什么 根据实际问题的约束条件列出不等式 作出可行域 写出目标函数 确定目标函数的最优位置 从而获得最优解 如如 1 1 线性目标函数 z 2x y 在线性约束条件下 取最小值的最优解是 1 1 x y 答 1 1 2 2 点 在直线 2x 3y 6 0 的上方 则 的取值范围是 tt 答 2 3 t 3 3 不等式表示的平面区域的面积是 2 1 1 yx 答 8 4 4 如果实数满足 则的最大值 yx 20 40 250 xy xy xy 42 yxz 答 21 4 4 在求解线性规划问题时要注意 在求解线性规划问题时要注意 将目标函数改成斜截式方程 寻找最优解 时注意作图规范 十 圆的方程十 圆的方程 1 圆的标准方程 22 2 xaybr 2 圆的一般方程 特别提醒特别提醒 只有当 2222 0 DE4F0 xyDxEyF 时 方程才表示圆心为 半径为 22 DE4F0 22 0 xyDxEyF 22 DE 的圆 二元二次方程表示圆的充要条件 22 1 4 2 DEF 22 0AxBxyCyDxEyF 是什么 且且 0 AC 0B 22 40DEAF 3 圆的参数方程 为参数 其中圆心为 半径为 圆的 cos sin xar ybr a br 参数方程的主要应用是三角换元 222 cos sinxyrxryr 22 xyt cos sin 0 xryrrt 4 为直径端点的圆方程如如 1122 A x yB xy 1212 0 xxxxyyyy 1 1 圆 C 与圆关于直线对称 则圆 C 的方程为 22 1 1xy yx 答 22 1 1xy 2 2 圆心在直线上 且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 32 yx 答 或 9 3 3 22 yx1 1 1 22 yx 3 3 已知是圆 为参数 上的点 则圆的普通方 1 3 P cos sin xr yr 02 程为 P 点对应的值为 过 P 点的圆的切线方程是 答 22 4xy 2 3 340 xy 4 4 如果直线 将圆 x2 y2 2x 4y 0 平分 且不过第四象限 那么 的斜率的取值ll 范围是 答 0 2 5 5 方程 x2 y x y k 0 表示一个圆 则实数 k 的取值范围为 答 2 1 k 6 6 若 为参数 若 3cos 3sin x Mx y y 0 bxyyxN 则 b 的取值范围是 NM 答 3 3 2 十一 点与圆的位置关系十一 点与圆的位置关系 已知点及圆 00 M xy 22 2 C0 x aybrr 1 点 M 在圆 C 外 22 2 00 CMrxaybr 2 点 M 在圆 C 内 22 2 00 CMrxaybr 3 点 M 在圆 C 上 如如 2 0 CMrxa 2 2 0 ybr 点 P 5a 1 12a 在圆 x y2 1 的内部 则 a 的取值范围是 答 13 1 a 十二 直线与圆的位置关系十二 直线与圆的位置关系 直线和圆有相交 相离 相切 可 0l AxByC 22 2 C xaybr 0r 从代数和几何两个方面来判断 1 代数方法 判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况 相交 0 相离 相切 0 0 2 几何方法 比较圆心到直线的距离与半径的大小 设圆心到直线的距离为 则相交 相离 相切 提醒提醒 判断直线与圆的位置关系一ddr dr dr 般用几何方法较简捷 如如 1 1 圆与直线 的位置关系为122 22 yxsin10 2 xyR k kz 答 相离 2 2 若直线与圆切于点 则的值 30axby 22 410 xyx 1 2 P ab 答 2 3 3 直线被曲线所截得的弦长等于 20 xy 22 62xyxy 150 答 4 5 4 4 一束光线从点 A 1 1 出发经 x 轴反射到圆 C x 2 2 y 3 2 1 上的最短路程是 答 4 5 5 已知是圆内一点 现有以为中点的弦所在直 0 M a b ab 222 O xyr M 线和直线 则m 2 l axbyr A 且 与圆相交 B 且 与圆相交 mlllm l C 且 与圆相离 D 且 与圆相离 mlllm l 答 C 6 6 已知圆 C 直线 L 求证 对 22 1 5xy 10mxym mR 直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点 设 L 与圆 C 交于 A B 两点 若 求17AB L 的倾斜角 求直线 L 中 截圆所得的弦最长及最短时的直线方程 答 或 最长 最短 60 120 1y 1x 十三 圆与圆的位置关系十三 圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与半径之间的关系判断 已知两圆的圆心 分别为 半径分别为 则 12 OO 12 r r 1 当时 两圆外离 1212 O Orr 2 当时 两圆外切 1212 O Orr 3 当时 两圆相交 121212 O Orrrr 4 当时 两圆内切 1212 O O rr 5 当时 两圆内含 如如 1212 0 O O rr 双曲线的左焦点为 F1 顶点为 A1 A2 P 是双曲线右支上任意一点 则 22 22 1 xy ab 分别以线段 PF1 A1A2为直径的两圆位置关系为 答 内切 十四 圆的切线与弦长十四 圆的切线与弦长 1 切线 过圆过