高二椭圆知识点小结

椭圆椭圆知识点知识点 1 1 知识要点知识要点小结 小结 知识点一 知识点一 椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点 的距离之和等于常数 这P 1 F 2 F 2 2121 FFaPFPF 个动点的轨迹叫椭圆 这两个定点叫椭圆的焦点 两焦点的距离叫作椭圆的焦距 P 注意 注意 若 则动点的轨迹为线段 2121 FFPFPF P 21F F 若 则动点的轨迹无图形 2121 FFPFPF P 知识点二 知识点二 椭圆的标准方程 1 当焦点在轴上时 椭圆的标准方程 其中x1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 222 bac 2 当焦点在轴上时 椭圆的标准方程 其中y1 2 2 2 2 b x a y 0 ba 注意 注意 1 只有当椭圆的中心为坐标原点 对称轴为坐标轴建立直角坐标 222 bac 系时 才能得到椭圆的标准方程 2 在椭圆的两种标准方程中 都有和 0 ba 222 bac 3 椭圆的焦点总在长轴上 当焦点在轴上时 椭圆的焦点坐标为 x 0 c 0 c 当焦点在轴上时 椭圆的焦点坐标为 y 0 c 0 c 4 一般方程是表示椭圆的条件均不为零 CBACByAx 22 方程可化为 即 所以只有 A B CCByAx 22 1 22 C By C Ax 1 22 B C By A C x 同号 且 AB 时 方程表示椭圆 当时 椭圆的焦点在轴上 当时 椭 B C A C x B C A C 圆的焦点在轴上 y 2 知识点三 知识点三 椭圆的简单几何性质 椭圆 的简单几何性质1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 1 对称性 对称性 对于椭圆标准方程 说1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 明 把换成 或把换成 或把 同时换成 xx yy xyx 原方程都不变 所以椭圆是以轴 轴为y 1 2 2 2 2 b y a x xy 对称轴的轴对称图形 并且是以原点为对称中心的中心对称图形 这个对称中心称为椭圆的中心 2 2 范围 范围 椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内 所以椭圆上点的坐标满足ax by ax by 3 3 顶点 顶点 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点 椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点 坐标分别1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 为 0 1 aA 0 2 aA 0 1 bB 0 2 bB 线段 分别叫做椭圆的长轴和短轴 21A A 21B BaAA2 21 bBB2 21 和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 ab 4 4 离心率 离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率 用表示 记作 e a c a c e 2 2 因为 所以的取值范围是 越接近 1 则就越接近 0 cae 10 eeca 从而越小 因此椭圆越扁 反之 越接近于 0 就越接近 0 从而越接 22 cab ecb 近于 这时椭圆就越接近于圆 当且仅当时 这时两个焦点重合 图形aba 0 c 变为圆 方程为 注意 注意 椭圆的图像中线段的几何特征 如ayx 22 1 2 2 2 2 b y a x 下图 1 2 21 aPFPF 3 e PM PF PM PF 2 2 1 1 2 2 21 c a PMPM 2 21 aBFBF 21 cOFOF 22 21 baBABA 3 caFAFA 2211 caFAFA 1221 caPFca 1 知识点四 知识点四 椭圆 与 的区别和联系1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 0 ba 标准方程 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 1 2 2 2 2 b x a y 0 ba 图形 焦点 0 1 cF 0 2 cF 0 1 cF 0 2 cF 焦距 cFF2 21 cFF2 21 范围 ax by bx ay 对称性关于轴 轴和原点对称xy 顶点 0 a 0 b 0 a 0 b 轴长长轴长 短轴长 a2b2 离心率 10 e a c e 准线方程 c a x 2 c a y 2 性质 焦半径 01 exaPF 02 exaPF 01 eyaPF 02 eyaPF 4 注意 注意 椭圆 的相同点 形状 大小都相同 参数1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 0 ba 间的关系都有和 不同点 两种椭圆的位置 0 ba 10 e a c e 222 cba 不同 它们的焦点坐标也不相同 2 典型例题典型例题 一 已知椭圆焦点的位置 求椭圆的标准方程 一 已知椭圆焦点的位置 求椭圆的标准方程 例例 1 1 已知椭圆的焦点是 F1 0 1 F2 0 1 P 是椭圆上一点 并且 PF1 PF2 2F1F2 求椭圆的标准方程 解 由 PF1 PF2 2F1F2 2 2 4 得 2a 4 又 c 1 所以 b2 3 所以椭圆的标准方程是 1 y2 4 x2 3 2 已知椭圆的两个焦点为 F1 1 0 F2 1 0 且 2a 10 求椭圆的标准方程 解 由椭圆定义知c 1 b 椭圆的标准方程为 1 52 124 x2 25 y2 24 二 未知椭圆焦点的位置 求椭圆的标准方程 二 未知椭圆焦点的位置 求椭圆的标准方程 例 例 1 椭圆的一个顶点为 其长轴长是短轴长的 2 倍 求椭圆的标准方程 02 A 分析 分析 题目没有指出焦点的位置 要考虑两种位置 解 解 1 当为长轴端点时 02 A2 a1 b 椭圆的标准方程为 1 14 22 yx 2 当为短轴端点时 02 A2 b4 a 椭圆的标准方程为 1 164 22 yx 三 椭圆的焦点位置由其它方程间接给出 求椭圆的标准方程 三 椭圆的焦点位置由其它方程间接给出 求椭圆的标准方程 例 求过点 3 2 且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的标准方程 x2 9 y2 4 解 因为c2 9 4 5 所以设所求椭圆的标准方程为 1 由点 3 2 在 x2 a2 y2 a2 5 椭圆上知 1 所以a2 15 所以所求椭圆的标准方程为 1 9 a2 4 a2 5 x2 15 y2 10 四 与直线相结合的问题 求椭圆的标准方程 四 与直线相结合的问题 求椭圆的标准方程 例 例 已知中心在原点 焦点在轴上的椭圆与直线交于 两点 x01 yxAB 为 中点 的斜率为 0 25 椭圆的短轴长为 2 求椭圆的方程 MABOM 解 解 由题意 设椭圆方程为 1 2 2 2 y a x 5 由 得 1 01 2 2 2 y a x yx 021 22 2 xaxa 2 2 21 1 2a axx xM 2 1 1 1 a xy MM 为所求 4 11 2 ax y k M M OM 4 2 a1 4 2 2 y x 五 求椭圆的离心率问题 五 求椭圆的离心率问题 例例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分 求椭圆的离心率 解 解 3 1 22 2 c a c 22 3ac 3 3 3 1 e 例例 已知椭圆的离心率 求的值 1 98 22 y k x 2 1 ek 解 解 当椭圆的焦点在轴上时 得 由 得x8 2 ka9 2 b1 2 kc 2 1 e 4 k 当椭圆的焦点在轴上时 得 y9 2 a8 2 kbkc 1 2 由 得 即 满足条件的或 2 1 e 4 1 9 1 k 4 5 k4 k 4 5 k 六 由椭圆内的三角形周长 面积有关的问题六 由椭圆内的三角形周长 面积有关的问题 例 1 若 ABC 的两个顶点坐标 A 4 0 B 4 0 ABC 的周长为 18 求顶点 C 的 轨迹方程 解 顶点 C 到两个定点 A B 的距离之和为定值 10 且大于两定点间的距离 因此顶点 C 的轨迹为椭圆 并且 2a 10 所以 a 5 2c 8 所以 c 4 所以 b2 a2 c2 9 故顶点 C 的轨迹方程为 1 又 A B C 三点构成三角形 x2 25 y2 9 所以 y 0 所以顶点 C 的轨迹方程为 1 y 0 x2 25 y2 9 2 已知椭圆的标准方程是 1 a 5 它的两焦点分别是F1 F2 且F1F2 8 弦AB过点 x2 a2 y2 25 F1 求 ABF2的周长 因为 F1F2 8 即即所以 2c 8 即 c 4 所以 a2 25 16 41 即 a 所以 41 ABF2的周长为 4a 4 41 3 设 F1 F2是椭圆 1 的两个焦点 P 是椭圆上的点 且 PF1 PF2 2 1 求 x2 9 y2 4 PF1F2的面积 解析 由椭圆方程 得 a 3 b 2 c PF1 PF2 2a 6 又 5 6 PF1 PF2 2 1 PF1 4 PF2 2 由 22 42 2 2可知 PF1F2是直角三角形 5 故 PF1F2的面积为 PF1 PF2 2 4 4 1 2 1 2 七 直线与椭圆的位置问题七 直线与椭圆的位置问题 例例 已知椭圆 求过点且被平分的弦所在的直线方程 1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 解法一 解法一 设所求直线的斜率为 则直线方程为 代入椭圆方程 k 2 1 2 1 xky 并整理得 0 2 3 2 1 2221 2222 kkxkkxk 由韦达定理得 2 2 21 21 22 k kk xx 是弦中点 故得 P1 21 xx 2 1 k 所以所求直线方程为 0342 yx 解法二 解法二 设过的直线与椭圆交于 则由题意得 2 1 2 1 P 11 yxA 22 yxB 1 1 1 2 1 2 21 21 2 2 2 2 2 1 2 1 yy xx y x y x 得 0 2 2 2 2 1 2 2 2 1 yy xx 将 代入 得 即直线的斜率为 2 1 21 21 xx yy 2 1 所求直线方程为 0342 yx 八 椭圆中的最值问题 例例 椭圆的右焦点为 过点 点1 1216 22 yx F 31 A 在椭圆上 当为最小值时 求点的坐标 MMFAM2 M 7 解 解 由已知 所以 右准线 4 a2 c 2 1 e8 xl 过作 垂足为 交椭圆于 故 显然的AlAQ QMMFMQ2 MFAM2 最小值为 即为所求点 因此 且在椭圆上 故 所以AQM3 M yM32 M x 332 M 3 3 规律方法规律方法 1 求椭圆标准方程的常用方法 待定系数法 由已知条件确定焦点的位置 从而确定椭圆方程的类型 设出标准方 程 再由条件确定方程中的参数的值 其主要步骤是 先定型 再定量 cba 定义法 由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形 然后再根据定义确定方程 2 共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点 则 c 相同 与椭圆共焦点的椭圆方程可设为1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 此类问题常用待定系数法求