2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（山东卷含答案）

1 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理 山东卷 含答案 年普通高等学校招生全国统一考试数学理 山东卷 含答案 本试卷共本试卷共 4 4 页 满分页 满分 150150 分 考试时间分 考试时间 120120 分钟 分钟 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项 注意事项 1 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填在试题卷和答题卡上 并将准考证号条形答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填在试题卷和答题卡上 并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上指定位置 码粘贴在答题卡上指定位置 2 2 选择题每小题选出答案后 用选择题每小题选出答案后 用 2B2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答在试题卷上无效 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答在试题卷上无效 3 3 填空题和解答题用填空题和解答题用 0 50 5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内 答在毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内 答在 试题卷上无效 试题卷上无效 4 4 考试结束 请将本试题卷和答题卡一并上交 考试结束 请将本试题卷和答题卡一并上交 考公式 柱体的体积公式 V Sh 其中 S 是柱体的底面积 h 是柱体的高 锥体的体积公式 V 其中 S 是锥体的底面积 h 是锥体的高 1 3 Sh 如果事件互斥 那么AB P ABP AP B 如果事件相互独立 那么AB P A BP A P B AA 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么次独立重复试验中恰好发生次的概APnk 率 1 01 2 kkn k nn P kC PPkn 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 每小题给出的四个选项中 只有一分 每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 项是符合题目要求的 1 集合 A 0 2 a B 1 a2 若 AB 0 1 2 4 16 则 a 的值为 A 0 B 1 C 2 D 4 2 复数等于 3 1 i i A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i 3 将函数 y 的图像向左平移个单位 再向上平移 1 个单sin2x 4 位 所得图像的函数解析式是 A y B y cos2x 2 2cos x C y 1 D y sin 2 4 x 2 2sin x 4 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A B 22 3 42 3 2 C D 2 3 2 3 2 3 4 3 5 已知表示两个不同的平面 m 为平面内的一条直线 则 是 的 m A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 函数的图象大致为 x x e y e x x e e 7 设 p 是所在平面内的一点 则ABCA2BCBABP A B PA PB 0PCPA 0 C D PBPC 0PA PBPC 0 8 某工厂对一批产品进行了抽样检测 右图是根据抽 样检测后的产品净重 单位 克 数据绘制的频率分布直 方图 其中产品净重的范围是 样本数据分组为 96106 96 9898100100102102104104106 已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36 则样本中 净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 A 90 B 75 C 60 D 45 9 设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点 则双曲线的 22 22 1 xy ab 2 1yx 离心率为 A B C D 5 4 5 5 2 5 3 10 定义在 R 上的函数满足 则的值为 f x 2 log 1 0 1 2 0 x x f x f xf xx 2009 f A 1 B 0 C 1 D 2 11 在区间上随机取一个数 的值介于 0 到之间的概率为 1 1 xcos 2 x 1 2 A B C D 1 3 2 1 2 2 3 12 设满足约束条件若目标函数的最大值为 x y 360 20 0 0 xy xy xy 0 zaxby ab 0 12 则的最小值为 23 ab A B C D 4 25 6 8 3 11 3 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 13 不等式 的解集为 2120 xx 14 若函数有两个零点 则实数的 0a1 x f xaxa a 且a 取值范围是 15 执行右边的程序框图 输出的 T 16 已知定义在 R 上的奇函数满足 f x 4 f xf x 且在区间 0 2 上是增函数 若方程在区间 8 8 0f xm m 上有四个不同的根则 1 234 x x x x 1234 xxxx 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7474 分 分 17 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 设函数 2 cos 2 sin 3 f xxx 求函数的最大值和最小正周期 f x 设 A B C 为的三个内角 若 且 C 为锐角 求ABC 11 cos 324 c Bf sin A 4 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 在直四棱柱中 底面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 1111 ABCDABC D AB 的中点 1 AA 证明 直线 平面 1 EE 1 FCC 求二面角的弦值 1 BFCC 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中 规定每人最多投 3 次 在 A 处每投进一 球得 3 分 在 B 处每投进一球得 2 分 如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮 否则投三 次 某同学在 A 处的命中率为 0 25 在 B 处的命中率为 该同学选择先在 A 处投一球 1 q 2 q 以后都在 B 处投 用表示该同学投篮训练结束后所得的总分 其分布列为 求的值 2 q 求随机变量的数学期量 E 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率 的大小 5 20 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 等比数列的前 n 项和为 已知对任意的 点均在函数 n a nN n n S 的图象上 01 ybxr bbb r 且均为常数 求 r 的值 当 b 2 时 记 2 2 log1 n bnann 证明 对任意的 不等式成立 12 12 111 1 n n bbb n bbb 21 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 两县城 A 和 B 相距 20Km 现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 A AB C 建造垃圾理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关 对城 A 和城 B 的总影响 度为对城 A 与对城 B 的影响度之和 记 C 点到城 A 的距离 xKm 建在 C 处的垃圾处理厂对城 B 的影响度为 Y 统计调查表明 垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 B 的平方成反 比 比例系数为 4 城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比 比例系数为 K 当垃圾处理厂建在弧的中点时 对城 A 和城 B 总影响度为 0 065 A AB 将 Y 表示成 X 的函数 讨论 中函数的单调性 并判断弧上是否存在一点 使建在此处的垃 A AB 圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小 若存在 求出该点城 A 的距离 若不存在 说明理 由 22 本小题满分 14 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 设椭圆 E O 为坐标原点 22 22 1 0 xy a b ab 2 2 6 1 MN 求椭圆 E 的方程 6 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒在两个交点 A B 且 若存在 写出该圆的方程 关求的取值范围 若不存在 OAOB AB 说明理由 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷山东卷 理科数学 参考答案 理科数学 参考答案 一 一 选择题选择题 1 121 12 D D C C B B C C B B A A B B A A D D C C A A A A 1 解析 故选 0 2 Aa 2 1 Ba 0 1 2 4 16AB 2 16 4 a a 4a D 答案 D 2 解析 故选 C 答案 C 2 2 3 3 1 3242 2 1 1 1 12 iiiiii i iiii 3 解析 将函数的图象向左平移个单位 得到函数即sin2yx 4 sin2 4 yx 的图象 再向上平移 1 个单位 所得图象的函数解析式为sin 2 cos2 2 yxx 故选 B 2 1 cos22cosyxx 答案 B 命题立意 本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能 学会公式的变形 4 解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 圆柱的底面半径为 1 高为 2 体积为 四棱锥的底面边长为 高为 所以体积为所以该几何体2 23 2 12 3 23 33 的体积为 答案 C 2 3 2 3 命题立意 本题考查了立体几何中的空间想象能力 由三视图能够想象得到空间的立体图 并能准确地 计算出 几何体的体积 5 解析 由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 内的 一条直线 则 反过来则不一定 所以 是 的必要不充分m m 条件 答案 B 6 解析 函数有意义 需使 其定义域为 排除 C D 又因为0 xx ee 0 xx 7 所以当时函数为减函数 故选 A 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee 0 x 答案 A 命题立意 本题考查了函数的图象以及函数的定义域 值域 单调性等性质 本题的难点 在于给出的函数比较复杂 需要对其先变形 再在定义域内对其进行考察其余的性质 7 解析 因为 所以点 P 为线段 AC 的中点 所以应该选 B 2BCBABP 答案 B 命题立意 本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则 可以借助图形解答 8 解析 产品净重小于 100 克的概率为 0 050 0 100 2 0 300 已知样本中产品净重 小于 100 克的个数是 36 设样本容量为 则 所以 净重大于或等于 98n300 0 36 n 120 n 克并且小于 104 克的产品的概率为 0 100 0 150 0 125 2 0 75 所以样本中净重大于或等 于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120 0 75 90 故选 A 答案 A 9 解析 双曲线的一条渐近线为 由方程组 消去 y 得1 2 2 2 2 b y a x x a b y 2 1 b yx a yx 有唯一解 所以 2 10 b xx a 2 40 b a 所以 故选 D 2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 答案 D 10 解析 由已知得 2 1 log 21f 0 0f 1 0 1 1fff 2 1 0 1fff 3 2 1 1 1 0fff 4 3 2 0 1 1fff 5 4 3 1fff 6 5 4 0fff 所以函数 f x 的值以 6 为周期重复性出现 所以 f 2009 f 5 1 故选 C 答案 C 11 解析 在区间 1 1 上随机取一个数 x 即时 要使的值介于 0 到 1 1 x cos 2 x 之间 需使或 或 区间长度为 2 1 223 x 322 x 2 1 3 x 2 1 3 x 3 2 由几何概型知的值介于 0 到之间的概率为 故选 A cos 2 x 2 1 3 1 2 3 2 12 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 当直线 ax by z a 0 b 0 过直线 x y 2 0 与直线 3x y 6 0 的交点 4 6 时 目标函数 z ax by a 0 b 0 取得最大 12 8 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 而 故选 A 23 ab 23 23131325 2 6666 abba abab 答案 A 二 填空题 13 14 15 30 16 8 11 xx 1 a 三 解答题 17 解 1 f x cos 2x sin x 3 2 1 cos213 cos2 cossin2 sinsin2 33222 x xxx 所以函数 f x 的最大值为 最小正周期 13 2 2 所以 因为 C 为锐角 所以 2 c f 13 sin 22 C 4 13 sin 2 C 3 C 又因为在ABC 中 cosB 所以 所以 3 12 sin3 3 B 21133 sinsin sincoscossin3 32322 ABCBCBC 18 解法一 1 在直四棱柱 ABCD A B C D 中 取 A1B1的中点 F1 1111 连接 A1D C1F1 CF1 因为 AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CDA1F1 A1F1CD 为平行四边形 所以 CF1 A1D 又因为 E E 分别是棱 AD AA 的中点 所以 EE1 A1D 11 所以 CF1 EE1 又因为平面 FCC 平面 FCC 1 EE 11 CF 1 所以直线 EE 平面 FCC 11 2 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 取 CF 的 中点 O 则 OB CF 又因为直四棱柱 ABCD A B C D 中 CC1 平面 ABCD 所以 CC1 BO 所以 1111 OB 平面 CC1F 过 O 在平面 CC1F 内作 OP C1F 垂足为 P 连接 BP 则 OPB 为二面角 B FC C 1 的一个平面角 在 BCF 为正三角形中 在 Rt CC1F 中 OPF CC1F 3OB 11 OPOF CCC F 22 12 2 2 22 OP E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 9 在 Rt OPF 中 所以 22 114 3 22 BPOPOB 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP 二面角 B FC C 的余弦值为 1 7 7 解法二 1 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 因为 ABCD 为 等腰梯形 所以 BAC ABC 60 取 AF 的中点 M 连接 DM 则 DM AB 所以 DM CD 以 DM 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴建立空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 1 0 F 1 0 C 0 2 0 33 C1 0 2 2 E 0 E1 1 1 所以 3 2 1 2 3 1 31 1 22 EE 3 1 0 CF 设平面 CC1F 的法向量为则所以 1 0 0 2 CC 1 3 1 2 FC nx y z 1 0 0 n CF n CC 取 则 所以 所以直 30 0 xy z 1 3 0 n 1 31 131 00 22 n EE 1 nEE 线 EE 平面 FCC 11 2 设平面 BFC1的法向量为 则所以 0 2 0 FB 1111 nx y z 1 11 0 0 n FB n FC 取 则 1 111 0 320 y xyz 1 2 0 3 n 1 2 130032n n 2 1 3 2n 22 1 20 3 7n 所以 由图可知二面角 B FC C 为锐角 所以二面角 B FC 1 1 1 27 cos 7 27 n n n n n n 1 C 的余弦值为 1 7 7 19 19 解 1 设该同学在 A 处投中为事件 A 在 B 处投中为事件 B 则事件 A B 相互独立 且 P A 0 25 P B q 0 75P A 22 1P Bq 根据分布列知 0 时 0 03 所以 2 2 0 75 1 P ABBP A P B P Bq 2 10 2q E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 10 q 0 8 2 2 当 2 时 P1 BBAPBBAPBBABBAP 0 75 q 2 1 5 q 0 24 BPBPAPBPBPAP 22 1 q 22 1 q 当 3 时 P2 0 01 2 2 0 25 1 P ABBP A P B P Bq 当 4 时 P3 0 48 2 2 0 75P ABBP A P B P Bq 当 5 时 P4 P ABBABP ABBP AB 0 24 222 0 25 1 0 25P A P B P BP A P Bqqq 所以随机变量的分布列为 0 2 3 4 5 p 0 03 0 24 0 01 0 48 0 24 随机变量的数学期望 0 0 032 0 243 0 014 0 485 0 243 63E 3 该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P BBBBBBBB P BBBP BBBP BB 22 222 2 1 0 896q qq 该同学选择 1 中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0 48 0 24 0 72 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大 20 20 解 因为对任意的 点 均在函数且均为常数的nN n n S 0 x ybr b 1 bb r 图像上 所以得 当时 当时 n n Sbr 1n 11 aSbr 2n 又因为 为等比数列 所以 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb n a 公比为 1r b 1 1 n n abb 2 当 b 2 时 11 1 2 nn n abb 1 22 2 log1 2 log 21 2 n nn ban 则 所以 121 2 n n bn bn 12 12 1113 5 721 2 4 62 n n bbbn bbbn 下面用数学归纳法证明不等式成立 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 n n bbbn n bbbn 11 当时 左边 右边 因为 所以不等式成立 1n 3 2 2 3 2 2 假设当时不等式成立 即成立 nk 12 12 1113 5 721 1 2 4 62 k k bbbk k bbbk 则当时 左边 1nk 112 121 11113 5 721 23 2 4 6222 kk kk bbbbkk bbbbkk 22 23 23 4 1 4 1 11 1 1 1 1 1 224 1 4 1 4 1 kkkk kkk kkkk 所以当时 不等式也成立 1nk 由 可得不等式恒成立 21 21 解法一 1 如图 由题意知 AC BC 22 400BCx 22 4 020 400 k yx xx 其中当时 y 0 065 所以 k 910 2x 所以 y 表示成 x 的函数为 22 49 020 400 yx xx 2 令得 22 49 400 y xx 422 322322 89 2 188 400 400 400 xxx y xxxx 0y 所以 即 当时 422 188 400 xx 2 160 x 4 10 x 04 10 x 即所以函数为单调减函数 当时 422 188 400 xx 0y 4 620 x 即所以函数为单调增函数 所以当时 即当 C 点到城 422 188 400 xx 0y 4 10 x A 的距离为时 函数有最小值 4 10 22 49 020 400 yx xx 解法二 1 同上 2 设 22 400mxnx 则 所以400mn 49 y mn 当且仅当 494914911 13 13 12 40040040016 mnnm y mnmnmn 即时取 49nm mn 240 160 n m 下面证明函数在 0 160 上为减函数 在 160 400 上为增函数 49 400 y mm 设 0 m1 m2 160 则 12 1122 4949 400400 yy mmmm A B C x 12 1212 4499 400400mmmm 2112 1212 4 9 400 400 mmmm m mmm 21 1212 49 400 400 mm m mmm 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因为 0 m1 m24 240 240 12 400 400 mm 9 m1m2 9 160 160 所以 1212 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m m mmm 所以即函数在 1212 21 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m mm m mmm 12 yy 49 400 y mm 0 160 上为减函数 同理 函数在 160 400 上为增函数 设 160 m1 m2 400 则 49 400 y mm 12 1122 4949 400400 yy mmmm 1212 21 1212 4 400 400 9 400 400 mmm m mm m mmm 因为 1600 m1 m2 400 所以 49 160 160 12 400 400 mm 所以 1212 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m m mmm 所以即函数在 1212 21 1212 4 400 400 9 0 400 400 mmm m mm m mmm 12 yy 49 400 y mm 160 400 上为增函数 所以当 m 160 即时取 函数 y 有最小值 4 10 x 所以弧上存在一点 当时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最4 10 x 小 22 22 解 1 因为椭圆 E a b 0 过 M 2 N 1 两点 22 22 1 xy ab 26 所以解得所以椭圆 E 的方程为 22 22 42 1 61 1 ab ab 2 2 11 8 11 4 a b 2 2 8 4 a b 22 1 84 xy 2 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 13 且 设该圆的切线方程