专题三：分类讨论

专题三 专题三 分类讨论分类讨论 思想思想 一 绝对值 平方根的分类讨论一 绝对值 平方根的分类讨论 例 1 若 a 3 b 2 a b 5 1 1 5 例 2 如 若 a2 9 b2 16 a b 7 1 1 7 二 方程 不等式函数中的分类讨论二 方程 不等式函数中的分类讨论 例 1 已知 a 3 x 6 求 x 的取值范围 例 2 如果关于 x 的方程 m 2 x2 2x 1 0 有实数根 求 m 的取值范围 例 3 求函数 y k 1 x2 kx 1 与 x 轴的交点坐标 1 当此函数为一次函数时 k 1 求得与 x 轴交点为 1 0 2 当此函数为二次函数 时 k 1 k 2 2 0 即 k 2 时 有两个交点 l 0 1 1 k 0 0 即 k 2 时 有一个交点 1 0 0 即 k 2 2 0 不存在 k 的取值 三 针对几何图形的形状进行分类讨论三 针对几何图形的形状进行分类讨论 例 1 等腰三角形一腰上的高与腰长之比为 1 2 则等腰三角形的顶角为 D A 30 B 60 C 150 D 30 或 150 例 2 直角三角形的两条边长分别为6 和 8 那么这个三角形的外接圆半径等 于 4 或 5 例 3 在 ABC 中 AB 6 AC 4 D 是 AB 边上的一点 且 AD 2 E 是 AC 边上的一 点 当 AE 时 ABC 和 ADE 能相似 4 3 3 或 四 四 针对几何图形的位置进行分类讨论针对几何图形的位置进行分类讨论 1 1 与线段有关的问题 与线段有关的问题 例 线段 AB 7cm 在直线 AB 上画线段 BC 3cm 则线段 AC 4cm 或 10cm 2 2 与等腰三角形有关的问题 与等腰三角形有关的问题 例 已知平面直角坐标系中有两点 A 4 0 B 0 3 试在坐标轴上找一点 P 使 PAB 为等腰三角形 求出 P 点的坐标 X 轴上 1234 PPPP 7 1 0 9 0 4 0 0 8 y 轴上 5678 0 0PPPP 7 2 0 8 3 0 6 3 3 与直角三角形有关的问题 与直角三角形有关的问题 例 在平面直角坐标系中 点A的坐标为 1 1 点B的坐标为 11 1 点C到直 线AB的距离为4 且ABC 是直角三角形 则满足条件的点C有 8 个 4 4 与圆有关的问题 如 点与圆 直线与圆 两圆的位置关系与圆有关的问题 如 点与圆 直线与圆 两圆的位置关系 1 半径分别为 10 17 的两圆相交 公共弦长为 16 求圆心距 9 21 2 点 M 到 o 的最长距离为 5 最短距离为 1 则圆的半径为 2 3 3 o 半径为 10cm 弦 AB CD AB 12cm CD 16cm 则 AB 和 CD 的距离为 2 14 cm 4 相切的两圆半径分别为 3cm 和 2cm 则两圆的圆心距为 1 5 cm 五 由于动点引起的分类讨论五 由于动点引起的分类讨论 例 1 AB 垂直 OB AC 垂直于 OC A 50 点 P 是圆上异于 B C 的一动点 则 BPC 的 度数是 65 或 115 例 2 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC B 90 度 AB 12cm BC 9cm DC 13cm 点 P 是线段 AB 上的一个动点 设 BP 为 xcm 三角形 PCD 的面积为 ycm 2 1 求 AD 的长 2 求 y 与 x 之间的函数关系式 请求出当 x 为何值时 y 有最 大值 最大值为多少 3 在现段 AB 上是否存在点 P 使得三角形 PCD 是直角三角形 若存在 求出 x 的值 若不存在 请说明理由 解 1 作 DE 垂直于 BC 于 E 点 所以 AD 4 2 设 BP 为 x y x 54 0 x 12 当 x 0 时 y 取的最大值为 2 5 54cm2 3 PCD 为直角三角形存在两种情况 DPC 900 APD BCP 所以 X 6 APD BPC 450 此情况不存在 P1DC 900 所以 X 3 31 综上所述 当 x 6 或 x 时 PCD 为直角三角形 3 31 课堂作业 课堂作业 1 关于 x 的方程有实数根 则 k 的取值范围是 A 22 21 10kx k x A B C k2 时 2x 8 x 4 综上 x 或 666 x 4 3 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 分别平行 x y 轴的两直线 a b 相交于点 A 3 4 连接 OA 若在直线 a 上存在点 P 使 AOP 是等腰三角形 那么所有满足条件的点 P 的坐 标是 D A 8 4 B 8 4 或 3 4 C 8 4 或 3 4 或 2 4 D 8 4 或 3 4 或 2 4 或 7 6 4 答案 解析 点 A 的坐标为 3 4 OA 5 32 42 当 AP AO 时 可知 P1 2 4 P2 8 4 当 OP OA 时 可知 P3 3 4 当 PO PA 时 设 PO PA m 有 m 3 2 42 m2 m 25 6 m 3 P4 故选 D 7 6 7 6 4 4 矩形一个内角的平分线分矩形一边长为 1 cm 和 3 cm 两部分 则这个矩形的面积为 多少 cm2 C A 4 B 12 C 4 或 12 D 6 或 8 答案 解析 如图 S矩形 1 1 3 4 如图 S矩形 3 3 1 12 故选 C 5 若正比例函数 y 2kx 与反比例函数 y k 0 的图象交于点 A m 1 则 k 的值是 k x B A 或 B 或 22 2 2 2 2 C D 2 22 答案 解析 A m 1 代入 y 中 得 m k 代入 y 2kx 中 得 2k2 1 k2 所以 k k x 1 2 2 2 6 一个等腰三角形的一个外角等于 110 则这个三角形的三个角应该为 答案 70 70 40 或 55 55 70 解析 当等腰三角形的底角的外角等于 110 时 其底角为 70 顶角为 180 70 2 40 当等腰三角形的顶角的外角等于 110 时 其顶角为 70 底角为 55 180 70 2 7 如图所示 在梯形 ABCD 中 AD BC ABC 90 AD AB 6 BC 14 点 M 是线段 BC 上一定点 且 MC 8 动点 P 从 C 点出发沿 C D A B 的路线运动 运动到 点 B 停止 在点 P 的运动过程中 使 PMC 为等腰三角形的点 P 有 个 答案 4 解析 当 MC 为底边时 MC 的中垂线交 CD 于一点 P 该点能满足 PM PC 当 MC 为 腰时 分别以 C M 为圆心 MC 长为半径画圆 C 与 CD 交于一点 P M 与 AB AD 各有 一个交点 因此 满足条件的点 P 有 4 个 8 在 ABC 中 AB AC 12 cm BC 6 cm D 为 BC 的中点 动点 P 从 B 点出发 以每秒 1 cm 的速度沿 B A C 的方向运动 设运动的时间为 t 秒 过 D P 两点的直线将 ABC 的周长分成两个部分 使其中一部分是另一部分的 2 倍 那么 t 的值为 答案 11 或 13 解析 当 0 t 12 时 点 P 在 AB 上 2 t 3 12 3 12 t t 11 当 12 t 24 时 点 P 在 AC 上 2 3 24 t 3 12 t 解得 t 13 9 9 平面上平面上 A A B B 两点到直线两点到直线 l l 的距离分别是的距离分别是 5 5 与与 3 3 则线段 则线段 ABAB 的中点的中点 C C 到直线到直线 l l 的距离为的距离为 4 4 或或 1 1 10 10 矩形一个角的平分线分矩形一边为矩形一个角的平分线分矩形一边为 1 1 和和 3 3 两部分 则这个矩形的面积为 两部分 则这个矩形的面积为 1212 或或 4 4 11 2010 上海 已知正方形 ABCD 中 点 E 在边 DC 上 DE 2 EC 1 如图所 示 把线段 AE 绕点 A 旋转 使点 E 落在直线 BC 上的点 F 处 则 F C 两点的距离为 答案 1 或 5 解析 题目里只说 旋转 并没有说顺时针还是逆时针 而且说的是 直线 BC 上的点 所以有两种情况如图所示 旋转得到 F1点 则 F1C 1 旋转得到 F2点 则 F2B DE 2 F2C F2B BC 5 12 如图 点 A B 在直线 MN 上 AB 11 cm A B 的半径均为 1 cm A 以 每秒 2 cm 的速度自左向右运动 与此同时 B 的半径也不断增大 其半径 r cm 与时间 t 秒 之间的关系式为 r 1 t t 0 当点 A 出发后 秒两圆相切 答案 3 或或 11 或 13 11 3 解析 两圆相切可分为如下四种情况 当两圆第一次外切 由题意 可得 11 2t 1 1 t t 3 当两圆第一次内切 由题意 可得 11 2t 1 t 1 t 11 3 当两圆第二次内切 由题意 可得 2t 11 1 t 1 t 11 当两圆第二次外切 由题意 可得 2t 11 1 t 1 t 13 所以 点 A 出发后 3 秒或秒或 11 秒或 13 秒两圆相切 11 3 13 2010 柳州 如图 AB 是 O 的直径 弦 BC 2 cm F 是弦 BC 的中点 ABC 60 若动点 E 以 2 cm s 的速度从 A 点出发沿着 A B A 方向运动 设运动时间为 t s 0 t 3 连接 EF 当 t 值为多少时 BEF 是直角三角形 解 AB 是 O 的直径 ABC 60 C 90 AB 2BC 4 当 BFE 90 时 F 是 BC 中点 BF 2 1 1 2 在 Rt BEF 中 B 60 BE 2BF 2 1 2 AE 4 2 2 又 AE 2t 2t 2 t 1 当 BEF 90 时 在 Rt BEF 时 BE BF 1 2 1 2 AE 4 3 1 2 1 2 2t 3 t 1 75 1 2 同样 当 t 1 75 2 25 时 BEF 90 1 2 综上 t 1 或 1 75 或 2 25 14 2011 南通 已知 A 1 0 B 0 1 C 1 2 D 2 1 E 4 2 五个点 抛物线 y a x 1 2 k a 0 经过其中三个点 1 求证 C E 两点不可能同时在抛物线 y a x 1 2 k a 0 上 2 点 A 在抛物线 y a x 1 2 k a 0 上吗 为什么 3 求 a 和 k 的值 解 1 证明 将 C E 两点的坐标代入 y a x 1 2 k a 0 得Error 解得 a 0 与条件 a 0 不符 C E 两点不可能同时在抛物线 y a x 1 2 k a 0 上 2 解法一 A C D 三点共线 如下图 A C D 三点也不可能同时在抛物线 y a x 1 2 k a 0 上 同时在抛物线上的三点有如下六种可能 A B C A B E A B D A D E B C D B D E 将 四种情况 都含 A 点 的三点坐标分别代入 y a x 1 2 k a 0 解得 无解 无解 a 1 与条件不符 舍去 无解 所以 A 点不可能在抛物线 y a x 1 2 k a 0 上 解法二 抛物线 y a x 1 2 k a 0 的顶点为 1 k 假设抛物线过 A 1 0 则点 A 必为 抛物线 y a x 1 2 k a 0 的顶点 由于抛物线的开口向上且必过五点 A B C D E 中的 三点 所以必过 x 轴上方的另外两点 C E 这与 1 矛盾 所以 A 点不可能在抛物线 y a x 1 2 k a 0 上 3 当抛物线经过 2 中 B C D 三点时 则 Error 解得Error 当抛物线经过 2 中 B D E 三点时 同法可求 Error 综上 a 和 k 的值为Error 或Error 15 2011 贵阳 阅读 在平面直角坐标系中 以任意两点 P x1 y1 Q x2 y2 为端点的线段中点坐标为 x1 x2 2 y1 y2 2 运用 1 如图 矩形 ONEF 的对角线交于点 M ON OF 分别在 x 轴和 y 轴上 O 为坐标原 点 点 E 的坐标为 4 3 则点 M 的坐标为 2 在直角坐标系中 有 A 1 2 B 3 1 C 1 4 三点 另有一点 D 与点 A B C 构成 平行四边形的顶点 求点 D 的坐标 解 1