2016年高考数学理试题汇编：立体几何

Page 1 of 20 第 1 页 共 20 页 2016 年高考数学理试题分类汇编 立体几何 一 选择题一 选择题 1 2016 年北京高考 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积为 A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 1 答案 A 2 2016 年山东高考 有一个半球和四棱锥组成的几何体 其三 视图如右图所示 则该几何体的体积为 A B C D 3 2 3 1 3 2 3 1 6 2 3 1 6 2 1 答案 C Page 2 of 20 第 2 页 共 20 页 3 2016 年全国 I 高考 如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径 若 该几何体的体积是 则它的表面积是 28 3 A 17 B 18 C 20 D 28 答案 A 4 2016 年全国 I 高考 平面过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A 平面 CB1D1 平面 I ABCD m 平面 ABB1 A1 n 则 m n 所成角的正弦值为 I A B C D 3 2 2 2 3 3 1 3 答案 A 5 2016 年全国 II 高考 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图 则该几何体的表面积为 A 20 B 24 C 28 D 32 答案 C 6 2016 年全国 III 高考 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实现画出的是某多面体的三视图 则该 多面体的表面积为 Page 3 of 20 第 3 页 共 20 页 A 1836 5 B 54 18 5 C 90 D 81 答案 B 7 2016 年全国 III 高考 在封闭的直三棱柱 111 ABCABC 内有一个体积为V的球 若ABBC 6AB 8BC 1 3AA 则V的最大值是 A 4 B 9 2 C 6 D 32 3 答案 B 二 填空题二 填空题 1 2016 年上海高考 如图 在正四棱柱中 底面的边长为 3 与底面所 1111 DCBAABCD ABCD 1 BD 成角的大小为 则该正四棱柱的高等于 3 2 arctan 答案 2 2 2 2016年四川高考 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形 该三棱锥的正视图如图所示 则该 三棱锥的体积是 Page 4 of 20 第 4 页 共 20 页 答案 3 3 3 2016 年天津高考 已知一个四棱锥的底面是平行四边形 该四棱锥的三视图如图所示 单位 m 则该四棱锥的体积为 m3 答案 2 4 2016 年全国 II 高考 是两个平面 m n是两条直线 有下列四个命题 1 如果 mn mn 那么 2 如果 mn 那么mn 3 如果 m 那么 m 4 如果 mn 那么m与 所成的角和n与 所成的角相等 其中正确的命题有 填写所有正确命题的编号 答案 5 2016 年浙江高考 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的表面积是 cm2 体积 是 cm3 Page 5 of 20 第 5 页 共 20 页 答案 7232 6 2016 年浙江高考 如图 在 ABC 中 AB BC 2 ABC 120 若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上 的点 D 满足 PD DA PB BA 则四面体 PBCD 的体积的最大值是 答案 1 2 三 解答题三 解答题 1 2016 年北京高考 如图 在四棱锥PABCD 中 平面PAD 平面ABCD PAPD PAPD ABAD 1AB 2AD 5ACCD 1 求证 PD 平面PAB 2 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 3 在棱PA上是否存在点M 使得 BM平面PCD 若存在 求 AM AP 的值 若不存在 说明理由 解 面面PAD ABCDAD 面面PAD ABCD 面AB ADAB ABCD Page 6 of 20 第 6 页 共 20 页 面AB PAD 面PD PAD AB PD 又 PD PA 面PD PAB 取中点为 连结 ADOCOPO 5CDAC CO AD PAPD PO AD 以为原点 如图建系O 易知 0 01 P 110 B 010 D 2 0 0 C 则 111 PB 011 PD 2 01 PC 210 CD 设为面的法向量 令n PDC 00 1 nxy 则与面夹角有 01 1 1 2 0 n PD n n PC PBPCD 1 1 1 3 2 sincos 31 1 13 4 n PB n PB n PB 假设存在点使得面MBM PCD 设 AM AP 0 My z 由 2 知 0 1 0A 0 0 1P 0 1 1AP 1 1 0B 0 1 AMyz 有 0 1 AMAPM 1 BM 面 为的法向量BM PCDn PCD 0BM n 即 1 0 2 1 4 综上 存在点 即当时 点即为所求 M 1 4 AM AP M 2 2016 年山东高考 在如图所示的圆台中 AC 是下底面圆 O 的直径 EF 是上底面圆 O 的直径 FB 是 圆台的一条母线 I 已知 G H 分别为 EC FB 的中点 求证 GH 平面 ABC II 已知 EF FB 1 2 AC 2 3 AB BC 求二面角FBCA 的余弦值 O x y z P A B C D Page 7 of 20 第 7 页 共 20 页 解解 连结 取的中点 连结 FCFCMHMGM 因为 在上底面内 不在上底面内 GM EFEFGM 所以上底面 所以平面 GM GM ABC 又因为 平面 MH BC BCABC 平面 MHABC 所以平面 MH ABC 所以平面平面 GHM ABC 由平面 所以平面 GHGHMGH ABC 连结 OBBCAB OBA O 以为原点 分别以为轴 OOOOB OA zy x 建立空间直角坐标系 BCAB 32AC 2 1 FBEF 3 22 FOBOBFOO 于是有 0 0 3A 2 0 0 3C 2 0 3B 0 2 3 3F 0 可得平面中的向量 FBC 3 30 BF 0 3232CB 于是得平面的一个法向量为 FBC 1 3 3 1 n 又平面的一个法向量为 ABC 1 0 0 2 n 设二面角为 A BC F 则 7 7 7 1 cos 21 21 nn nn 二面角的余弦值为 A BC F 7 7 E F B A C GH E F B A C O O x y z Page 8 of 20 第 8 页 共 20 页 3 2016 年上海高考 将边长为 1 的正方形 及其内部 绕的旋转一周形成圆柱 如图 11 AAOO 1 OO 长为 长为 其中与在平面的同侧 A AC 2 3 A 11 AB 3 1 BC 11 AAOO C 1 A A 1 B 1 求三棱锥的体积 111 CO AB 2 求异面直线与所成的角的大小 1 BC 1 AA 解析 试题分析 1 由题意可知 圆柱的高 底面半径 1h 1r 确定 计算后即得 111 3 A 111 S A 2 设过点的母线与下底面交于点 根据 知或其补角为直线与所成的 1 11 AA 1 C 1C 1 AA 角 确定 得出 C 3 C1 1 C 4 试题解析 1 由题意可知 圆柱的高 底面半径 1h 1r 由的长为 可知 A 11 A 3 111 3 A 111 1111111 13 sin 24 S A A A 111111 C 13 V 312 Sh A A 2 设过点的母线与下底面交于点 则 1 11 AA 所以或其补角为直线与所成的角 1 C 1C 1 AA Page 9 of 20 第 9 页 共 20 页 由长为 可知 AC A 2 3 2 C 3 A 又 所以 111 3 A A C 3 从而为等边三角形 得 C C1 因为平面 所以 1 CA 1 C 在中 因为 所以 1 C 1 C 2 C1 1 1 1 C 4 从而直线与所成的角的大小为 1C 1 AA 4 4 2016年四川高考 如图 在四棱锥中 PABCD E为棱AD的中点 异面直线PA与CD所成的角为 ADBC90ADCPAB 1 2 BCCDAD 90 I 在平面PAB内找一点M 使得直线平面PBE CM 并说明理由 II 若二面角的大小为 求直线PA与 PCDA 45 平面PCE所成角的正弦值 解 I 延长 交直线于点 ABCDM 为中点 EAD 1 2 AEEDAD 1 2 BCCDAD EDBC 即 ADBC EDBC 四边形为平行四边形 BCDE BECD ABCDM MCD CMBE Page 10 of 20 第 10 页 共 20 页 面 BE PBE 面 CMPBE 面 MAB AB PAB 面 故在面上可找到一点使得面 M PABPABM CMPBE II 过作交于点 连结 过作交于点 AAFEC ECFPFAAGPF PFG 与所成角为 90PAB PACD90 PAAB PACD ABCD M PAABCD 面 EC ABCD PAEC 且 ECAF AFAPA 面 CE PAF 面 AG PAF AGCE 且 AGPF AGAFA 面 AG PFC 为所求与面所成的角 APF PAPCE 面 即 PA ABCD 90ADC ADDC 为二面角所成的平面角 PDA PCDA 由题意可得 而 45PDA 90PAD PAAD 四边形是平行四边形 BCCD BCDE 90ADM 四边形是正方形 BCDE 45BEC 45AEFBEC 90AFE 2 2 AFAE 2 2 4 tan 4 AD AF APF APAP 1 sin 3 APF 5 2016 年天津高考 如图 正方形 ABCD 的中心为 O 四边形 OBEF 为矩形 平面 OBEF 平面 ABCD 点 G 为 AB 的中点 AB BE 2 I 求证 EG 平面 ADF II 求二面角 O EF C 的正弦值 III 设 H 为线段 AF 上的点 且 AH 2 3 HF 求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值 Page 11 of 20 第 11 页 共 20 页 解析 证明 找到AD中点 I 连结FI 矩形OBEF EFOB G I 是中点 GI是ABD 的中位线 GIBD 且 1 2 GIBD O是正方形ABCD中心 1 2 OBBD EFGI 且EFGI 四边形EFIG是平行四边形 EGFI FI 面ADF EG 面ADF OEFC 正弦值 解 如图所示建立空间直角坐标系Oxyz I z y x A B C D E F G H O 020B 200C 022E 002F 设面CEF的法向量 1 nxyz 1 1 02020 202220 nEFxyzy n CFxyzxz Page 12 of 20 第 12 页 共 20 页 得 2 0 1 x y z 1 20 1n OC 面OEF 面OEF的法向量 2 100n 12 12 12 2 6 cos 33 1 nn nn n n 2 12 63 sin1 33 nn 2 3 AHHF 222 24 2020 5555 AHAF 设 H xyz 2 24 20 55 AHxyz 得 3 2 5 0 4 5 x y z 3 24 2 55 BH 1 2 1 64 755 cos 212 2 3 5 BH n BHn BH n 6 2016 年全国 I 高考 如图 在以 A B C D E F 为顶点的五面体中 面 ABEF 为正方形 AF 2FD 且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 90AFD 60 I 证明 平面 ABEF平面 EFDC II 求二面角 EBCA 的余弦值 Page 13 of 20 第 13 页 共 20 页 解析 为正方形ABEF AFEF 90AFD AFDF DFEF F 面面AF EFDCAF ABEF 平面平面ABEF EFDC 由 知60DFECEF ABEF 平面AB EFDC 平面EF EFDC 平面AB ABCD 平面AB ABCD 面面ABCD EFDCCD ABCD CDEF 四边形为等腰梯形EFDC 以为原点 如图建立坐标系 设EFDa 000020EBa 3 0220 22 a CaAaa 020EBa 3 2 22 a BCaa 200ABa 设面法向量为 BEC mxyz Page 14 of 20 第 14 页 共 20 页 即 0 0 m EB m BC 1 111 20 3 20 22 a y a xaya z 111 301xyz 301m 设面法向量为ABC 222 nxyz 即 0 0 n BC n AB 222 2 3 20 22 20 a xayaz ax 222 034xyz 034n 设二面角的大小为 EBCA 42 19 cos 1931316 m n mn 二面角的余弦值为 EBCA 2 19 19 7 2016 年全国 II 高考 如图 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O 5 6ABAC 点 E F分 别在 AD CD上 5 4 AECF EF交BD于点H 将DEF 沿EF折到 D EF 位置 10OD 证明 D H 平面ABCD 求二面角BD AC 的正弦值 解析 证明 5 4 AECF AECF ADCD EFAC Page 15 of 20 第 15 页 共 20 页 四边形为菱形 ABCDACBD EFBD EFDH EFD H 6AC 3AO 又 5AB AOOB 4OB 1 AE OHOD AO 3DHD H 222 ODOHD H D HOH 又 OHEFH I 面 D H ABCD 建立如图坐标系 Hxyz 500B 130C 003D 130A 430AB uu u r 133AD uuur 060AC uuu r 设面法向量 ABD 1 nxyz u r 由得 取 1 1 0 0 nAB nAD 430 330 xy xyz 3 4 5 x y z 1 345n u r 同理可得面的法向量 AD C 2 301n u u r 12 12 957 5 cos 255 210 n n n n u r u u r u r u u r Page 16 of 20 第 16 页 共 20 页 2 95 sin 25 8 2016 年全国 III 高考 如图 四棱锥PABC 中 PA 地面ABCD ADBCA 3ABADAC 4PABC M为线段AD上一点 2AMMD N为PC的中点 I 证明MNA平面PAB II 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值 设 zyxn 为平面PMN的法向量 则 0 0 PNn PMn 即 02 2 5 042 zyx zx 可取 1 2 0 n 于是 25 58 cos ANn ANn ANn Page 17 of 20 第 17 页 共 20 页 9 2016 年浙江高考 如图 在三棱台中 平面平面ABCDEF BCFE BE EF FC 1 BC 2 AC 3 ABC 90ACB I 求证 EF 平面 ACFD II 求二面角 B AD F 的平面角的余弦值 II 方法一 过点作 连结 FFQ A Q 因为平面 所以 则平面 所以 F CA F A A QF Q A 所以 是二面角的平面角 QF DF A Page 18