【龙门亮剑】2011高三数学一轮理数 第七章 第四节 曲线与方程(课时提能精练) 全国版

1 本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 方程 y 1 表示的曲线是 1 x 1 2 A 抛物线 B 一个圆 C 两个圆 D 两个半圆 解析 原方程等价于Error Error 即Error Error 或Error Error 答案 D 2 设过点 P x y 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A B 两点 点 Q 与点 P 关于 y 轴对称 O 为坐标原点 若 2 且 1 则 P 点的轨迹方程是 BP PA OQ AB A 3x2 y2 1 x 0 y 0 3 2 B 3x2 y2 1 x 0 y 0 3 2 C x2 3y2 1 x 0 y 0 3 2 D x2 3y2 1 x 0 y 0 3 2 解析 如图所示 若 P x y 则 A B 0 3y 3 2x 0 OQ x y AB 3 2x 3y 1 x2 3y2 1 x 0 y 0 OQ AB 3 2 即为点 P 轨迹方程 答案 D 3 若直线 y kx 1 与曲线 x2 y2 kx y 0 的两个交点恰好关于 y 轴对称 则 k 等 于 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 由Error Error 消去 y 得 1 k2 x2 2kx 0 x1 0 x2 2k 1 k2 两个交点关于 y 轴对称 x1 x2 k 0 答案 A 4 已知两点 M N 给出下列曲线方程 1 5 4 4 5 4 4x 2y 1 0 x2 y2 3 y2 1 y2 1 x2 2 x2 2 曲线上存在点 P 满足 MP NP 的所有曲线方程是 A B C D 2 解析 由题意知 P 点必在线段 MN 的垂直平分线上 MN 的中点为 斜率为 MN 的垂直平分线方程是 y 2x 3 它显然与 3 2 0 1 2 中直线平行 排除 A C 注意到选项 B D 的区别 考虑方程组Error Error 解得 Error Error 中曲线上存在符合题设条件下的 P 点 选 D 答案 D 5 方程 y a x 和 y x a a 0 所确定的曲线有两个交点 则 a 的取值范围是 A a 1 B 0 a 1 C D 0 a 1 或 a 1 解析 当 x 0 时 解Error Error 得 x 只有 a 1 时才有解 a a 1 当 x 0 时 解Error Error 得 x 0 a a 1 故当 a 1 时 两曲线才有两个交点 答案 A 6 已知曲线 C1 F1 x y 0 C2 F2 x y 0 那么 点 M 的坐标是方程组Error Error 的 解 是 点 M 是曲线 C1和 C2的交点 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 解析 点 M 的坐标是方程组Error Error 的解 点 M 在曲线 C1上同时又在曲线 C2上 点 M 是曲线 C1和 C2的交点 点 M 的坐标是方程组Error Error 的解 是 点 M 是曲线 C1和 C2的交点 的充分条 件 反之 若点 M 是曲线 C1和 C2的交点 点 M x0 y0 的坐标满足 F1 x0 y0 0 和 F2 x0 y0 0 故是方程组Error Error 的解 M 点的坐标是方程组Error Error 的解 是 点 M 是曲线 C1和 C2的交点 的必要条件 故 点 M 的坐标是方程组Error Error 的解 是 点 M 是曲线 C1和 C2的交点 的充要条 件 答案 C 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 曲线 C1的方程为 f x y 0 曲线 C2的方程为 x y 0 点 M 的坐标为 a b 命题 p M C1 C2 命题 q Error Error 则 p 是 q 的 条件 解析 由 q M C1且 M C2 M C1 C2 p 成立 由 p 可能有 M C1但 M C2或 M C2但 M C1 q 不一定成立 p 是 q 的必要非充分条件 答案 必要非充分 8 已知 A 2 1 B 1 1 O 为坐标原点 动点 M 满足 m n 其中 OM OA OB m n R 且 2m2 n2 2 则 M 的轨迹方程为 解析 设 M x y 则 x y m 2 1 n 1 1 Error Error Error Error 代入 2m2 n2 2 得 x2 2y2 2 答案 x2 2y2 2 9 已知 O 的方程是 x2 y2 2 0 O 的方程是 x2 y2 8x 10 0 由动点 P 向 O 和 O 所引的切线长相等 则动点 P 的轨迹方程是 解析 由已知得 O 的圆心为 0 0 半径为 O 的圆心为 4 0 半径为 26 3 由切线长相等得 PO 2 2 PO 2 6 即 PO 2 PO 2 4 设 P x y 则 x 4 2 y2 x2 y2 4 化简为 x 3 2 答案 x 3 2 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 10 设 F m 0 m 0 为定点 P M N 为动点 且 P M 分别在 y 轴和 x 轴上 若 PM 0 0 求点 N 的轨迹 C 的方程 PF PN PM 解析 设 N x y M x0 0 P 0 y0 则 x0 y0 m y0 x y y0 PM PF PN 由 0 得 mx0 y 0 PM PF 2 0 由 0 得 x0 x y 2y0 0 PN PM 将Error Error 代入 mx0 y 0 得 y2 4mx 即为所求 2 0 11 等腰三角形的顶点是 A 4 2 底边一个端点是 B 3 5 求另一个端点 C 的轨迹方 程 并说明它的轨迹是什么 解析 设另一端点 C 的坐标为 x y 依题意得 AC AB 由两点间的距离公式 得 x 4 2 y 2 2 4 3 2 2 5 2 两边平方得 x 4 2 y 2 2 10 这是以点 A 4 2 为圆心 以为半径的圆 10 又因为 A B C 为三角形的三个顶点 所以 A B C 三点不共线 即点 B C 不能 重合 且 B C 不能为 A 的一直径的两端点 因为 B C 不能重合 所以 C 点的横坐标 x 3 又因为点 B C 不能为一直径的两端点 所以 4 点 C 的横坐标 x 5 x 3 2 故另一端点 C 的轨迹方程是 x 4 2 y 2 2 10 但需去掉点 3 5 5 1 故 C 的轨迹是以点 A 4 2 为圆心 以为半径的圆除去 3 5 和 5 1 两点 10 12 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 点 F T M P 满足 1 0 OF 1 t OT FM MT PM FT PT OF 1 当 t 变化时 求点 P 的轨迹 C 的方程 2 若过点 F 的直线交曲线 C 于 A B 两点 求证 直线 TA TF TB 的斜率依次成等 差数列 解析 1 设点 P 的坐标为 x y 由 得点 M 是线段 FT 的中点 则 M FM MT 0 t 2 PM x t 2 y 又 2 t 1 x t y FT OT OF PT 由 得 2x t 0 PM FT t 2 y 由 得 1 x 0 t y 1 0 PT OF t y 4 由 消去 t 得 y2 4x 即为所求点 P 的轨迹 C 的方程 2 证明 设直线 TA TF TB 的斜率依次为 k1 k k2 并记 A x1 y1 B x2 y2 则 k t 2 设直线 AB 的方程为 x my 1 由Error Error 得 y2 4my 4 0 Error Error y y y1 y2 2 2y1y2 16m2 8 2 12 2 k1 k2 y