上海交通大学 线性代数第一、二章复习题 附答案

1 代数第一 二章复习 2005 10 31 一 填空题 1 设 则中元素的代数余子式等于 11 311 174 736 AA 12 a 1 2 12 41 1 13 A 2 设是 3 阶方阵 且 则 A A 2 11 3 n A 3 1 3339 3 n AAAA 3 设 3 阶方阵 且 123 406 103 A 0 303 42 531 tB0 AB 则 7 t 4 设 且 4 1 则 A 333 222 111 cba cba cba 333 222 111 dba dba dba BAB 54 BA2 BA2 2 3333 2222 1111 3 233 233 233 dcba dcba dcba 3333 2222 1111 2 2 2 dcba dcba dcba 333 222 111 9 cba cba cba 111 222 333 2 929 42 1 54 2 abd abd abd 5 已知是秩为 2 的 4 阶矩阵 则 0 A Ar 00 AAij 6 设 其中 A nnnn n n bababa bababa bababa 21 22212 12111 0 i anibi 2 1 0 则 1 Ar 7 设 都是行列式等于 3 的 3 阶方阵 则行列式A BC 2 1 91 1 13 0 27 1 2 3 1 1 3 3 3 27 B D AC BA BABA 由于 8 已知 为三阶方阵 且 则A4 A8 2 EA 2 1 AA 9 设 则第 4 行各元素的代数余子式之和为 1121 0111 3011 1111 A 0 10 设 为阶可逆矩阵 是将中的第 行与第行元素对调后的AnBAij 矩阵 则 Pij 1 AB 11 设为 5 阶方阵 且 4 则行列式AA 6 4A A 12 如果 则 45 111213 212223 313233 3 aaa Daaa aaa 111213 1212223 313233 53 53 53 aaa Daaa aaa 13 如果 线性方程组 的解必 1112 2122 2 aa aa 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 是 14 已知行列式中元素 1 2 的代数余子式 13 40 564 x x 元素 2 1 的代数余子式的值 12 0 8 54 x A 21 A 15 已知阶方阵 且行列式 则 5为AaA 2 A 5 2 2Aa 二 选择题 1 如果 则 1 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 33323131 23222121 13121111 1 324 324 324 aaaa aaaa aaaa D 8 24 A B12 C D24 3 2 设为 4 阶方阵 已知 且 则 A3 A 1 A A 3 设 是阶方阵 且 为阶单位矩阵 则下列各A BCnEABC En 式中必成立的是 AEBCA BEACB CEBAC D ECBA 4 当时 bcad 1 dc ba A ab cd bcad 1 B ab cd bcad 1 C ac bd adbc 1 D ac bd bcad 1 5 下列矩阵中 不是初等矩阵的是 A 010 100 001 B 101 010 001 C 400 010 001 D 101 010 100 6 若 则 333231 232221 131211 aaa aaa aaa P 333231 232221 331332123111 333 aaa aaa aaaaaa P A 103 010 001 B 100 010 301 C 101 010 300 D 130 010 001 7 设 则 44 33 22 11 00 00 00 00 ab ab ba ba AA 4 A 43214321 bbbbaaaa B 43214321 bbbbaaaa C 41413232 bbaabbaa D 43432121 bbaabbaa 8 设阶方阵满足 其中是阶单位阵 则必有 nAEA2 2 En A 1 2 AA BEA2 CAA 2 1 1 D 1 A 9 设 都是阶非零矩阵 且 则和的秩 B ABn0 ABAB 必有一个等于零 都小于 A Bn 一个小于 一个等于 都等于 0 Cnn D 10 设阶矩阵满足 其中为阶单位矩阵 则必有 nA0 2 EAEn A B C D AE AE 1 AA1 A 11 设 且 均不为零 则 004 030 200 Aabc 1 A A 00 4 1 0 3 1 0 2 1 00 B 00 4 1 0 2 1 0 3 1 00 C 00 2 1 0 3 1 0 4 1 00 D 4 1 00 0 3 1 0 00 2 1 12 设 是阶方阵 且 则 ABn0AB 2r An A B C D 2r B 2r B 2r B 2r B 三 计算题 1 1 已知已知 求 102 324 171 231 102 BA T AB 解解 法一 101317 3140 102 324 171 231 102 AB 103 1314 170 101317 3140 T T AB 5 法二 103 1314 170 21 30 12 131 027 241 131 027 241 21 30 12 TT T TT ABAB BA 2 求行列式 1 2 3 3554 2433 1322 1211 xyyyy yxyyy yyxyy yyyxy yyyyx mxxx xmxx xxmx n n n 21 21 21 4 n 11 121 111 3 设 已知 求矩阵 101 020 101 AXAEAX 2 X 4 已知矩阵 则 110 111 101 A 1 A 111 211 112 3 1 解 由于 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 100 010 001 100 010 001 110 111 101 1 A EA 6 5 设是阶矩阵 满足 求行列式的值AnEAAT 0 AEA 6 设 3 阶方阵的伴随矩阵为 且 求 A A 2 1 A AA2 4 1 7 如果可逆矩阵的各行元素之和为 计算的各行元素之和等于什么 Aa 1 A 解 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 aAAAaA a a a A a a a a AaA 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 8 设实矩阵 满足条件 A 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 1 其中是的代数余子式 jiji Aa 3 2 1 ji ji A ji a 2 1 11 a 求行列式 A 9 设 求矩阵使其满足矩阵方程A 120 021 001 B 11 20 53 X AXB 1010 设 A B 为 5 阶方阵 A 1 B 2 求 1 2BAT BA 1 3 解解 16 151 22 BABA TT 2 1 1 25 BA 1 3 11 利用初等变换求矩阵 A 的秩 1 14011 31302 15120 12211 A 解解 7 00000 22200 15120 12211 22200 00000 15120 12211 22200 15120 15120 12211 14011 31302 15120 12211 A r A 3 2 3211 3111 1111 A 解解 2 0000 2100 1111 4200 2100 1111 2100 4200 1111 3211 3111 1111 2332 321 2 1 Ar A rrrr rrr 3 3620 1301 3112 0141 A 解解 3 0000 51600 1510 1301 51600 51600 1510 1301 3620 1440 1510 1301 3620 0141 3112 1301 3620 1301 3112 0141 Ar A 12 已知 求 11 01 A 19 A 解 由于 因此类似地 10 1n An 10 191 19 A 1 11 11 01 n BB n 1 01 1 01 na C a C n 8 11 解线性方程组 1234 134 123 134 2434 3 31 7733 xxxx xxx xxx xxx 解 将增广阵化为规范的阶梯阵 00000 61000 40210 30101 00000 61000 21210 31101 244000 122000 21210 31101 244000 103210 21210 31101 33707 10113 43412 31101 33707 10113 31101 43412 00 2 1 2 1 7 3 2 31 32 3 34 2 23 14 13 12 12 A rr rr r rr r rr rr rr rr rr 得同解方程组为 00 XA 移项添项即得 6 42 3 4 32 31 x xx xx 6 42 3 4 33 32 31 x xx xx xx 因此方程组通解为 是任意数 33 6 0 4 3 0 1 2 1 xxX 四 证明题 1 设方阵满足 试证明可逆 且A 4 0A EA 123 EAEAAA 23 23234 EA EAAA EAAAAAAA E AE 4 2 设为可逆矩阵 证明 AEAA 2 AA 证明 由于为可逆矩阵 且AEAAEAAA 2 又由已知 故两边左乘得 AAA2 1 A AA