阅读与思考九连环

放缩法是指要证明不等式 A B 成立 有时可以将它的一边放大或缩小 寻找一个中间 量 如将 A 放大成 C 即 A C 后证 C B 这种证法便是放缩法 是不等式的证明里的 一种方法 其他还有比较作差法 分析法 反证法 代换法 函数法 数学归纳法等 常见技巧与方法 本文分析 一 舍掉 或加进 一些项 基本上是常数或一次项 常见是分母分子 一 舍掉 或加进 一些项 基本上是常数或一次项 常见是分母分子 二 应用函数的单调性进行放缩 对数和一次 指数和一次函数 二 应用函数的单调性进行放缩 对数和一次 指数和一次函数 三 根据题目条件数列单调性放缩进行放缩 在第一题已经证明单调性或者第一问三 根据题目条件数列单调性放缩进行放缩 在第一题已经证明单调性或者第一问 已经数学归纳法已经证明例如嘉兴市基础测试题 已经数学归纳法已经证明例如嘉兴市基础测试题 四 构造四 构造等比数列等比数列进行放缩 类等比放缩 常见于结果是指数形式 进行放缩 类等比放缩 常见于结果是指数形式 五 五 构造裂项条件进行放缩 利用构造裂项条件进行放缩 利用裂项法裂项法进行放缩 对常见三种裂项铭记于心 进行放缩 对常见三种裂项铭记于心 六 应用六 应用基本不等式基本不等式放缩放缩 例如例如均值不等式均值不等式 七 在分式中放大或缩小分子或分母 姐妹不等式 七 在分式中放大或缩小分子或分母 姐妹不等式 一 一 构造裂项条件进行放缩 利用构造裂项条件进行放缩 利用裂项法裂项法进行放缩 对常见三种裂项铭记于心 进行放缩 对常见三种裂项铭记于心 主要针对幂函数形式主要针对幂函数形式 例题例题 1 求证 求证 求证求证 放缩的方向要一致 放与缩要适度缩要适度 3 51 1 2 n k k 2 1 1 2 n k k 解析解析 1 因为因为 所以所以 12 1 12 1 12 12 2 14 2 2 nnnnn12 2 12 1 1 14 2 1 2 n n nk n k 2 因为因为 所以所以 12 1 12 1 2 14 4 4 1 11 2 2 2 nnn n n 3 5 3 2 1 12 1 12 1 5 1 3 1 21 1 1 2 nnk n k 技巧积累技巧积累 1 最佳放缩 12 1 12 1 2 14 4 4 41 222 nnnnn 一 一 根式放缩 常见公式 根式放缩 常见公式 2 nn n 2 2 1 3 1 2 1 1 2 nn n nn 见 见 eg1 1 2 2 2 2 1 2 1 4 2 1 2 1 2 1212 22 1212 2 1 nn nn nn n 5 11 1 1 1 1 1 1 1 111 23 nnnnnnnnn nnn 1 1 1 1 2 11 1 1 1 1 nnn nn nn 6 2 1 1 1 nnn nn 二 指数形式二 指数形式 7 nnnn 2 1 12 1 12 2 1 8 nnn nnnn2 32 1 2 12 1 2 1 32 1 12 2 1 9 knnkknnnkknknk1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10 3 2 12 1 3 2 122 12 332 13 222 1 n n n nnnnnn 11 见下面 见下面 2 12 1 12 1 12 12 2 22 12 2 12 12 2 12 2 11 1 2 n nnnn n nn n nn n n n 例题 例题 三 阶乘三 阶乘放放缩缩 11 1 1 1 1 1 1 21 21 1 nnnnnnnCC nn 12 见 见 eg2 若 bn 求 2 1 1 1 1 1 11 1 1 r rrrrrnrnr n n CT rr r nr 2 n c 证 2 3 1 n n n c c 13 2 5 1 1 23 1 12 1 11 1 1 nnn n 14 1 1 1 1 nnn n 例例 2 1 求证求证 2 12 2 1 6 7 12 1 5 1 3 1 1 222 n nn 2 求证求证 nn4 1 2 1 4 1 36 1 16 1 4 1 2 3 求证求证 112 2642 12 531 642 531 42 31 2 1 n n n 4 求证 求证 112 2 1 3 1 2 1 1 11 2 n n n 解析解析 1 因为因为 所以所以 12 1 12 1 2 1 12 12 1 12 1 2 nnnnn 12 1 3 1 2 1 1 12 1 3 1 2 1 1 12 1 1 2 nni n i 2 1 11 4 1 1 2 1 1 4 1 4 1 36 1 16 1 4 1 222 nnn 3 先运用分式先运用分式 放缩法证明出放缩法证明出 再结合再结合进行裂进行裂 12 1 2642 12 531 nn n nn n 2 2 1 项项 最后就可以得到答案最后就可以得到答案 4 首先首先 所以容易经过裂项得到所以容易经过裂项得到 nn nn n 1 2 1 2 1 n n 1 3 1 2 1 1 11 2 再证再证而由均值不等式知道这是显然而由均值不等式知道这是显然 2 1 2 1 2 1212 22 1212 2 1 nn nn nn n 成立的 所以成立的 所以 112 2 1 3 1 2 1 1 n n 例例 3 求证求证 3 51 9 1 4 1 1 12 1 6 2 nnn n 解析解析 一方面一方面 因为因为 所以所以 12 1 12 1 2 14 4 4 1 11 2 2 2 nnn n n 3 5 3 2 1 12 1 12 1 5 1 3 1 21 1 1 2 nnk n k 另一方面另一方面 11 1 1 1 1 43 1 32 1 1 1 9 1 4 1 1 2 n n nnnn 当当时时 当当时时 3 n 12 1 6 1 nn n n n 1 n 2 1 9 1 4 1 1 12 1 6 nnn n 当当时时 所以综上有所以综上有2 n 2 1 9 1 4 1 1 12 1 6 nnn n 3 51 9 1 4 1 1 12 1 6 2 nnn n 例题 3 已知数列的前 n 项和为且 n a n S 3 2 2 nn n Sa nN 1 求证为等比数列 并求出数列的通项公式 1 2 n n a n a 2 设数列的前 n 项和为 是否存在正整数 对任意 1 n S n T 若存在 求出的最小值 若不存在 请说明理由 mn 0m nNTS 不等式恒成立 1 证明 2 分 3 2 2 nn n Sa 11 1 3 2n 2 nn n Sa 2 作差得 11 311 2 2 2 2 222 nnnn nnn aanaan 变形得 为首项为 1 公比为 2 等比数列 4 分 1 2 n n a 6 分 n 1 1 2 n 2 n n aN 2代入得 8 分 n 1 1 2 n 2 n n aN 3 2 2 nn n Sa 1 2 2 n n n S 11 1 1 111 2 2 2 0 222 nnn nn nnn S S n n 2n 12 b 21 n n S S 为递增数列 令 裂项放缩 裂项放缩 nn n 2nnn 22 b 212 12 1 嘉兴期末考试嘉兴期末考试 nn 1 n nnnn 1n 1n 2211 b 2 2 1222 1212 12 1 n 13 分 11212 n12n n 22414 1 b 2 b b 331515 241111 n3T b b b 315377 15 19119 15 2115 nTnT 当时 当时 当时 存在正整数 对任意 min 19 38 15 1 1 3 45 2 m n T S 存在 1 15 分 mn 0m nNTS 不等式恒成立 二二 构造 构造等比数列等比数列进行放缩 类等比放缩 常见于结果是指进行放缩 类等比放缩 常见于结果是指 数形式 数形式 例题例题 1 2017 浙江高考 已知数列 xn 满足 x1 1 xn xn 1 ln 1 xn 1 n N 证明 当 n N 时 0 xn 1 xn 2xn 1 xn xn 例题例题 2已知数列满足 n a 2 11 11 1 1 212 nn n aaa a 证明 数列为单调递增数列 1 2 nnn aanS 数列的前项和为 第一问做商法 1 1 12 1 211 2 n n n a a a 所以单调递减 第二问 12 111 1 1 326 n aaa 由 知当n2时 121 333 nn asuoyia 所以 21 1 26 2311 nn nnn aa aaa 1 121 6 11 n nn aaaa 21 6 1 225 11 6 153 1 11 n n Saa 例题例题 3 n 1 2 21 n n aS 证明 1 111 21222 n nnn a 降幂 1 1 21211 1 212 2 2 2 nn n n n n a a 21 1 121111 1111 2222 N n n n a aaaaaaa a 1 1 1 2 2 1 1 2 n n a S 例题例题 4 2014 新课标新课标 1 1a 1 12 1113 31 1 2 2 nnn n aaa aaa 求 证明 由 由 1 可知 可知 12 31 n n n b a 1 1 1 3111 1 3133 n N n n n n b b b 所以 12 1 1 33 13 3 1 22 32 1 3 n n n bbb 例题例题 5设数列满足 为的前项和 证明 对 n a 2 1 1 nnn aaan N n S n an 任意 n N I 当时 1 01a 01 n a II 当时 1 1a 1 11 1 n n aaa 证明 第一数学归纳法第二题 2 1 1 1 nnnnn aaaa an N 1 1 1 1 n n n a aa a 例题例题 6 2012 年广东 由 年广东 由 1 的 的 求32 nn n a 12 1113 2 n aaa 求 证明 11 32 n nn n b a 1 11 321 323 nn n nn n b b 12 1 1 33 13 3 1 22 32 1 3 n n n bbb 三 函数放缩三 函数放缩 常见公式 常见公式 ln 1 xx 1ln xx 1 1 1 1 1 xxxxx exeex ex ex e x 111 ln1 ln1ln1xxxxxx xxx 令 ln 1 x x x 2017 浙江高考 已知数列 xn 满足 x1 1 xn xn 1 ln 1 xn 1 n N 证明 当 n N 时 0 xn 1 xn 2xn 1 xn xn 解答 解 用数学归纳法证明 xn 0 当 n 1 时 x1 1 0 成立 假设当 n k 时成立 则 xk 0 那么 n k 1 时 若 xk 1 0 则 0 xk xk 1 ln 1 xk 1 0 矛盾 故 xn 1 0 因此 xn 0 n N xn xn 1 ln 1 xn 1 xn 1 因此 0 xn 1 xn n N 由 xn xn 1 ln 1 xn 1 得 xnxn 1 4xn 1 2xn xn 12 2xn 1 xn 1 2 ln 1 xn 1 记函数 f x x2 2x x 2 ln 1 x x 0 f x ln 1 x 0 f x 在 0 上单调递增 f x f 0 0 因此 xn 12 2xn 1 xn 1 2 ln 1 xn 1 0 故 2xn 1 xn xn xn 1 ln 1 xn 1 xn 1 xn 1 2xn 1 xn 由 2xn 1 xn得 2 0 2 2n 1 2n 2 xn 例题 数列满足 证明 当时 n a 1 1a 1 21 1 nn aan nn N n N 1nn aa 2e 11 n nn a nn 用数学归纳法证明 0 n a 1 当时 1n 1 10a 2 假设当时 nk 0 k a 则时 1nk 1 2 1 1 0 kk aa kk 由 1 2 得 当时 n N0 n a 所以 5 分 1 2 1 1 nnn aaan nn N 注 直接给出不扣分 0 n a 用数学归纳法证明 2 1 n n a n 1 当时 1n 1 2 1 1 1 a 2 假设当时 nk 2 1 k k a k 则时 1nk 2 1 22 12 1 2 1 1 1 2 kk kkk aa kkkk 由 1 2 得 当时 10 n N 2 1 n n a n 分 由得 函数放缩函数放缩 1 2 1 1 nn aa nn 1 22 1111 lnlnln 1 1 nn aa nnnnnn 所以 所以 11e ln11ln 1 ln 1 n n a nnn e 1 n n a n 综上 当 n N时 2e 11 n nn a nn 解析 解析 xn xn 1 ln 1 xn 1 xn 1 xn 1 2xn 1 例例 求证 求证 6 65 3 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln Nn n n n n 解析解析 先构造函数有先构造函数有 从而从而 xx x xx 1 1 ln 1ln 3 1 3 1 2 1 13 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln n n n n 因为因为 nnnn 3 1 12 1 2 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 6 5 3 3 32 3 27 9 18 9 9 3 6 3 6 5 1 1 1 n n n n n 所以所以 6 65 3 6 5 13 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln nn nn n n 例题 浙江省 2017 年高考第 22 本小题满分 15 分 已知数列中 an 1 1a 11ln 1 nnnn aaaanN 求证 1 0 nn aa 求证 2 1 121 nnn n nn aaa a aa III 求证 12 1 n a nn 答案 证明 先证左边 用数学归纳法 当时 成立 1n 1 10a 假设时 nk 0 k a 当时 1nk 11ln 1 kkkk aaaa 因为 1 1 ln 1 0 kkk aaa ln 1 0 k a 所以有 2 分 1 0 k a 由 可知 对 都有 nN 0 n a 再证明右边 由得 11ln 1 nnnn aaaa 1 1 ln 1 n n n a a a 因为ln 1 0 n a 所以 即 1 1 ln 1 1 n n n a a a 1nn aa 所以 4 分 1 0 nn aa 因为 则 1 1 ln 1 n n n a a a 1 11 ln 1 1 nnn n nnn aaa a aaa 令 ln 1 f xxx 01 x 6 分 1 10 11 x fx xx 所以 在上为减函数 ln 1 f xxx 1 0 max 0 0f xf 则有在上恒成立 即ln 1 xx 0 1 ln 1 nn aa 所以 即 8 分 1 0 11 ln 1 1 nnn n nnn aaa a aaa 1 1 n n n a a a 另一方面 22 1 211 ln 1 21 nnnnn n nnn aaaaa a aaa 令 ln 1 1 x f xx x 01 x 9 分 222 1111 0 1 1 1 1 1 xxx fx xxxxx 所以 函数在上为增函数 ln 1 1 x f xx x 0 1 min 0 0f xf 则有在上恒成立 即ln 1 1 x x x 0 1 ln 1 1 n n n a a a 所以 即 22 1 0 211 ln 1 21 nnnnn n nnn aaaaa a aaa 2 1 21 nn n n aa a a 综上 11 分 2 1 121 nnn n nn aaa a aa III 由 2 可知 则 即 1 1 n n n a a a 1 11 n nn a aa 1 11 1 nn aa 当时 所以 2n 1 11 1 n n aa 1 n n a 1 n a n 12 分 另一方面 则 因为 2 1 21 nn n n aa a a 2 1 211 n nnn a aaa 01 n a 所以 2 1 2121 2 nn nnnn aa aaaa 例 求证 1 2 1 2 12ln 3 3ln 2 2ln 2 2 n n nn n n 解析 构造函数 得到 再进行裂项 求和后可 x x xf ln 2 2 lnln n n n n 1 1 1 1 1 ln 22 2 nnnn n 以得到答案 函数构造形式 1ln xx 2 1ln nn 例 求证 n n n 1 2 1 1 1ln 1 1 3 1 2 1 解析 提示 2ln 1 ln 1 ln 1 2 1 1 ln 1ln n n n n n n n n n 函数构造形式 x xxx 1 1ln ln 三 根据题目条件数列单调性放缩进行放缩 在第一题已经证明单调性或者第一问三 根据题目条件数列单调性放缩进行放缩 在第一题已经证明单调性或者第一问 已经数学归纳法已经证明例如嘉兴市基础测试题 以题证题 已经数学归纳法已经证明例如嘉兴市基础测试题 以题证题 例 1 已知数列满足 记 分别是数列 1 1 1 1 2 的前 项和 证明 当时 2 1 1 2 1 12 2 1 3 2 1 2 3 由 2 知 由 由 得 得 和首项 和首项 1 1 2 1 12 1 1 1 2 2 比较 比较 所以 当时 2 1 2 2 2 2 1 2 1 由此 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 又 故 1 1 2 1 综上 2 1 2 例题 设数列满足 证明 n a 1 1 3 a 2 1 2 n nn a aa n n N 求 数列为递增数列 23 a a n a 21 2121 n nn a nn n N 解 2 分 2 114 399 a 2 3 4240 9981 a 证明 1 时 1n 1 1 0 3 a 2 假设时 nk 0 k a 2 1 2 0 k kk a aa k 所以由 1 2 得 0 n a n N 所以 即 数列为递增数列 7 分 2 1 2 0 n nn a aa n 1nn aa n a 证明 由 单调性放缩 单调性放缩 2 1 1 22 nnn nn aa a aa nn 得 裂项 裂项 2 2 1 111111 111 422 nn aan nnn 所以 故 11 分 1 111 2 1 2 n aa n 21 21 n n a n 由得 所以 故 21 1 21 n n a n 2 1 22 nn nnn aa aaa nn 2 2 1 n n a n 2 1 1 22 1 nnn nn aa a aa nn 所以 22 1 111111 11 nn aannnnn 因此 故 15 分 1 111 1 n aan 21 n n a n 四 分式放缩四 分式放缩 姐妹不等式姐妹不等式 和和 记忆口诀记忆口诀 小者小者 0 0 mab ma mb a b 0 0 mba ma mb a b 小小 大者大大者大 解释解释 看看 b 若若 b 小小 则不等号是小于号则不等号是小于号 反之反之 例例 姐妹不等式姐妹不等式 和和也可也可 12 12 1 1 5 1 1 3 1 1 11 n n 12 1 2 1 1 6 1 1 4 1 1 2 1 1 n n 以表示成为以表示成