《概率论与数理统计》第三版--课后习题答案.-(1)

文档鉴赏 习题一 习题一 1 1 写出下列随机试验的样本空间 1 某篮球运动员投篮时 连续 5 次都命中 观察其投篮次数 解 连续 5 次都命中 至少要投 5 次以上 故 7 6 5 1 2 掷一颗匀称的骰子两次 观察前后两次出现的点数之和 解 12 11 4 3 2 2 3 观察某医院一天内前来就诊的人数 解 医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷 所以 2 1 0 3 4 从编号为 1 2 3 4 5 的 5 件产品中任意取出两件 观察取出哪两件产品 解 属于不放回抽样 故两件产品不会相同 编号必是一大一小 故 51 4 jiji 5 检查两件产品是否合格 解 用 0 表示合格 1 表示不合格 则 1 1 0 1 1 0 0 0 5 6 观察某地一天内的最高气温和最低气温 假设最低气温不低于 T1 最高气温不高于 T2 解 用表示最低气温 表示最高气温 考虑到这是一个二维的样本空间 故 xy 216 TyxTyx 7 在单位圆内任取两点 观察这两点的距离 解 20 7 xx 8 在长为 的线段上任取一点 该点将线段分成两段 观察两线段的长度 l 解 lyxyxyx 0 0 8 1 2 1 A 与 B 都发生 但 C 不发生 CAB 2 A 发生 且 B 与 C 至少有一个发生 CBA 文档鉴赏 3 A B C 中至少有一个发生 CBA 4 A B C 中恰有一个发生 CBACBACBA 5 A B C 中至少有两个发生 BCACAB 6 A B C 中至多有一个发生 CBCABA 7 A B C 中至多有两个发生 ABC 8 A B C 中恰有两个发生 CABCBABCA 注意 此类题目答案一般不唯一 有不同的表示方式 注意 此类题目答案一般不唯一 有不同的表示方式 1 3 设样本空间 事件 20 xxA 15 0 xx 6 18 0 xxB 具体写出下列各事件 1 2 3 4 ABBA BA BA 1 AB 18 0 xx 2 BA 8 05 0 xx 3 BA 28 05 00 xxx 4 BA 26 15 00 xxx 1 6 按从小到大次序排列 并说明理由 BPAPABPBAPAP 解 由于故 而由加法公式 有 BAAAAB BAPAPABP BPAPBAP 1 7 文档鉴赏 解 1 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为 175 0 WEPEPWPEWP 2 由于事件可以分解为互斥事件 昆虫出现残翅 但没有退化性眼睛对应事件 WEWWE 概率为 1 0 WEPWPEWP 3 昆虫未出现残翅 也无退化性眼睛的概率为 825 0 1 EWPEWP 1 8 解 1 由于 故显然当时 P AB BABAAB BPABPAPABP BA 取到最大值 最大值是 0 6 2 由于 显然当时 P AB 取到最小 BAPBPAPABP 1 BAP 值 最小值是 0 4 1 9 解 因为 P AB 0 故 P ABC 0 至少有一个发生的概率为 CBA 7 0 ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP 1 10 解 1 通过作图 可以知道 3 0 BPBAPBAP 2 6 0 1 1 BAPAPABPABP 7 0 1 1 1 1 3 APBP ABPBPAP ABPBPAPBAPBAPABP由于 1 11 文档鉴赏 解 用表示事件 杯中球的最大个数为 个 1 2 3 三只球放入四只杯中 放法有 i Aii 种 每种放法等可能 4 4 464 对事件 必须三球放入三杯中 每杯只放一球 放法 4 3 2 种 故 1 A 8 3 1 AP 选排列 好比 3 个球在 4 个位置做排列 对事件 必须三球都放入一杯中 放法有 4 种 只需从 4 个杯中选 1 个杯子 放入此 3 3 A 个球 选法有 4 种 故 16 1 3 AP 16 9 16 1 8 3 1 2 AP 1 12 解 此题为典型的古典概型 掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为 36 出现点数和为 3 对应两个基本事件 1 2 2 1 故前后两次出现的点数之和为 3 的概率为 18 1 同理可以求得前后两次出现的点数之和为 4 5 的概率各是 9 1 12 1 1 1 13 解 从 10 个数中任取三个数 共有种取法 亦即基本事件总数为 120 120 3 10 C 1 若要三个数中最小的一个是 5 先要保证取得 5 再从大于 5 的四个数里取两个 取法有 种 故所求概率为 6 2 4 C 20 1 2 若要三个数中最大的一个是 5 先要保证取得 5 再从小于 5 的五个数里取两个 取法有 种 故所求概率为 10 2 5 C 12 1 1 14 解 分别用表示事件 321 AAA 文档鉴赏 1 取到两只黄球 2 取到两只白球 3 取到一只白球 一只黄球 则 11 1 66 6 33 14 66 28 2 12 2 4 2 2 12 2 8 1 C C AP C C AP 33 16 1 213 APAPAP 1 15 解 BP BBABP BP BBAP BBAP 由于 故0 BBP5 0 BP BAPAP BP ABP BBAP 1 16 1 2 BAP BAP 解 1 8 05 04 01 1 BAPBPABPBPAPBAP 2 6 05 04 01 1 BAPBPBAPBPAPBAP 注意 因为 所以 5 0 BAP5 0 1 BAPBAP 1 17 解 用表示事件 第 次取到的是正品 则表示事件 第 次取到的是 i Ai3 2 1 i i Ai 次品 3 2 1 i 112121 15331421 20441938 P AP A AP A P A A 1 事件 在第一 第二次取到正品的条件下 第三次取到次品 的概率为 312 5 18 P A A A 2 事件 第三次才取到次品 的概率为 123121312 1514535 201918228 P A A AP A P A A P A A A 文档鉴赏 3 事件 第三次取到次品 的概率为 4 1 此题要注意区分事件 1 2 的区别 一个是求条件概率 一个是一般的概率 再例如 设有两个产品 一个为正品 一个为次品 用表示事件 第 次取到的是正品 i Ai 2 1 i 则事件 在第一次取到正品的条件下 第二次取到次品 的概率为 而事件1 12 AAP 第二次才取到次品 的概率为 区别是显然的 2 1 12121 AAPAPAAP 1 18 解 用表示事件 在第一箱中取出两件产品的次品数 用表示事件 从 2 1 0 iAiiB 第二箱中取到的是次品 则 2112 121222 012 222 141414 66241 919191 CCCC P AP AP A CCC 0 1 12 P B A 1 2 12 P B A 2 3 12 P B A 根据全概率公式 有 28 3 221100 ABPAPABPAPABPAPBP 1 19 解 设表示事件 所用小麦种子为 等种子 3 2 1 iAii 表示事件 种子所结的穗有 50 颗以上麦粒 B 则 123 0 92 0 05 0 03 P AP AP A 1 0 5P B A 2 0 15P B A 根据全概率公式 有 3 0 1P B A 文档鉴赏 4705 0 332211 ABPAPABPAPABPAPBP 1 20 解 用表示色盲 表示男性 则表示女性 由已知条件 显然有 BAA 因此 025 0 05 0 49 0 51 0 ABPABPAPAP 根据贝叶斯公式 所求概率为 151 102 ABPAPABPAP ABPAP BAPABP ABP BP ABP BAP 1 21 解 用表示对试验呈阳性反应 表示癌症患者 则表示非癌症患者 显然有 BAA 01 0 95 0 995 0 005 0 ABPABPAPAP 因此根据贝叶斯公式 所求概率为 294 95 ABPAPABPAP ABPAP BAPABP ABP BP ABP BAP 1 22 1 求该批产品的合格率 2 从该 10 箱中任取一箱 再从这箱中任取一件 若此件产品为合格品 问此件产品由甲 乙 丙三厂生产的概率各是多少 解 设 321 产品为丙厂生产产品为乙厂生产产品为甲厂生产 BBB 则 产品为合格品 A 文档鉴赏 1 根据全概率公式 该批产94 0 332211 BAPBPBAPBPBAPBPAP 品的合格率为 0 94 2 根据贝叶斯公式 94 19 332211 11 1 BAPBPBAPBPBAPBP BAPBP ABP 同理可以求得 因此 从该 10 箱中任取一箱 再从这箱中任取 47 24 94 27 32 ABPABP 一件 若此件产品为合格品 此件产品由甲 乙 丙三厂生产的概率分别为 47 24 94 27 94 19 1 23 解 记 目标被击中 则A994 0 7 01 8 01 9 01 1 1 APAP 1 24 解 记 四次独立试验 事件 A 至少发生一次 四次独立试验 事件 A 一次也不 4 A 4 A 发生 而 因此 所以5904 0 4 AP4096 0 1 4 44 APAAAAPAPAP 2 08 01 8 0 1 APAP 三次独立试验中 事件 A 发生一次的概率为 384 064 0 2 03 1 21 3 APAPC 二 第一章定义 定理 公式 公理小结及补充 二 第一章定义 定理 公式 公理小结及补充 10 加法公 式 P A B P A P B P AB 当 P AB 0 时 P A B P A P B 11 减法公 式 P A B P A P AB 当 BA 时 P A B P A P B 当 A 时 P 1 P B B 文档鉴赏 12 条件概 率 定义 设 A B 是两个事件 且 P A 0 则称为事件 A 发生条件下 AP ABP 事件 B 发生的条件概率 记为 ABP AP ABP 16 贝叶斯 公式 i 1 2 n n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 此公式即为贝叶斯公式 第二章第二章 随机变量随机变量 2 1 X23456789101112 P1 361 181 121 95 361 65 361 91 121 181 36 2 2 解 根据解 根据 得 得 即 即 1 0 k kXP1 0 k k ae1 1 1 1 e ae 故故 1 ea 2 3 解 用解 用 X 表示甲在两次投篮中所投中的次数 表示甲在两次投篮中所投中的次数 X B 2 0 7 用用 Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数表示乙在两次投篮中所投中的次数 Y B 2 0 4 1 两人投中的次数相同两人投中的次数相同 P X Y P X 0 Y 0 P X 1 Y 1 P X 2 Y 2 001122 020211112020 222222 0 7 0 30 4 0 60 7 0 30 4 0 60 7 0 30 4 0 60 3124 CCCCCC 2 甲比乙投中的次数多甲比乙投中的次数多 文档鉴赏 P X Y P X 1 Y 0 P X 2 Y 0 P X 2 Y 1 102021 110220022011 222222 0 7 0 30 4 0 60 7 0 30 4 0 60 7 0 30 4 0 60 5628 CCCCCC 2 4 解解 1 P 1 1 X 3 3 P X 1 P X 2 P X 3 1232 1515155 2 P 0 5 X 2 5 P X 1 P X 2 121 15155 2 5 解 解 1 P X 2 4 6 2462 1111 2222 k 11 1 1 44 1 3 1 4 k k lim 2 2 P X 3X 3 1 P X X0 y0 3 设 设 FY y 分别为随机变量分别为随机变量 Y 的分布函数和概率密度函数 则的分布函数和概率密度函数 则 Y fy 当当时 时 y0 2 0 Y FyP YyP XyP 当当时 时 y 0 2 2 2 1 2 x y Y y FyP YyP XyPyXyedx 文档鉴赏 对对求关于求关于 y 的导数 得的导数 得 Y Fy 222 ln 222 111 222 0 yyy Y eyeye fy y y 0 y0 2 23 XU 0 1 0 X fx 0 x 其它 1 2lny 当时 2 2ln ln 0 Y FyP YyPXyPXyP 2lny 当时 2 22 0 1 2ln ln y e yy Y FyP YyPXyPXyP XeP Xedx 对对求关于求关于 y 的导数 得到的导数 得到 Y Fy 22 11 2 0 yy Y ee fy 2ln 2ln y y 2 当y1或 y 1时 cos 0 Y FyP YyPXyP 11y 当时 arccos 1 cos arccos Y y FyP YyPXyP Xydx 对对求关于求关于 y 的导数 得到的导数 得到 Y Fy 文档鉴赏 2 11 arccos 1 0 Y y fyy 11y 其它 3 当y1或 y0时 sin 0 Y FyP YyPXyP 01y 当时 arcsin 0arcsin sin 0arcsin arcsin 11 Y y y FyP YyPXyPXyPyX dxdx 对对求关于求关于 y 的导数 得到的导数 得到 Y Fy 2 112 arcsin arcsin 1 0 Y yy fyy 01y 其它 第三章第三章 随机向量随机向量 3 1 P 1 X2 3 Y5 F 2 5 F 1 3 F 1 5 F 2 3 3 128 3 2 Y X 1 2 文档鉴赏 20 22 32 4 5 c c c 3 5 3 31 32 4 5 c c c 2 5 0 3 4 1 a 1 9 2 5 12 3 1111 2 0000 111 6 6 992 yy PX YDdyxy dxy xxdy 11 232 00 1111 11188 65 35 9229 629327 yydyyyy 3 5 解 解 1 2 222 00 0000 22 1 1 yxyx u vvuvyuxyx F x yedudve dvedueeee 2 2 22 0 00000 22323 00 00 222 221 2 1 22 1 333 xx x yxvxyx xxxxxx P YXedxdyedxe dyeedx eedxeedxee 3 6 解 解 222 2 222 22222 00 1 1 1 a xya r P xyaddr xyr 2 2 2 22222 000 11111 1 21 1 2 1 11 aa a ddr rraa 3 7 参见课本后面参见课本后面 P227 的答案的答案 文档鉴赏 3 8 3 111 2 000 33 2232 X yx fxf x y dyxy dyx 222 2222 000 331 3 222 y fyf x y dxxy dxyxy 2 0 X x fx 02x 其它 2 3 0 Y y fy 01y 其它 3 9 解 解 X 的边缘概率密度函数的边缘概率密度函数为 为 X fx 当当时 时 10 xx 或 0f x y 0 X fx 11 22 22 00 111 4 8 2 4 8 2 4 8 12 222 10 01 4 8 2 2 4 2 2 4 2 Y yy xx X fyyx dxyxxyyy yy y fxyx dyyxxx 或 当当时 时 01x 22 00 4 8 2 2 4 2 2 4 2 xx X fxyx dyyxxx Y 的边缘概率密度函数的边缘概率密度函数为 为 Y fy 当当时 时 10yy 或 0f x y 0 Y fy 当当时 时 01y 11 22 111 4 8 2 4 8 2 4 8 12 222 Y yy fyyx dxyxxyyy 2 2 4 34 yyy 3 10 1 参见课本后面 参见课本后面 P227 的答案的答案 2 26 0 x x X dy fx 01x 其它 6 0 xx 1 01x 其它 文档鉴赏 6 0 y y Y dx fy 01y 其它 6 0 y y 01y 其它 3 11 参见课本后面参见课本后面 P228 的答案的答案 3 12 参见课本后面参见课本后面 P228 的答案的答案 3 13 1 2 2 0 3 0 X xy xdy fx 01x 其它 2 2 2 3 0 xx 01x 其它 1 2 0 3 0 Y xy xdx fy 02y 其它 1 3 6 0 y 02y 其它 对于对于时 时 02y 0 Y fy 所以所以 2 3 1 36 0 X Y Y xy x f x y y fx y fy 01x 其它 2 6 2 2 0 xxy y 01x 其它 对于对于时 时 01x 0 X fx 所以所以 2 2 3 2 2 3 0 Y X X xy x f x y x fy x x fx 02y 其它 3 62 0 xy x 02y 其它 文档鉴赏 111 222 000 11 33 1117 22 1 222540 62 2 Y X yy P YXfydydydy 3 14 X Y025X 的边缘分布的边缘分布 10 150 250 350 75 30 050 180 020 25 Y 的边缘分布的边缘分布0 20 430 371 由表格可知由表格可知 P X 1 Y 2 0 25 P X 1 P Y 2 0 3225 故故 P P yY xX yY xX i i i i P 所以所以 X 与与 Y 不独立不独立 3 15 X Y123X 的边缘分布的边缘分布 1 6 1 9 1 18 1 3 1 2 3 1ab a b 3 1 Y 的边缘分布的边缘分布 2 1 a 9 1 b 18 11 由独立的条件由独立的条件则则 P P yY xX yY xX i i i i P 2 2P X 2 2P X YPY 3 2P X 3 2P X YPY 1 P X i 文档鉴赏 可以列出方程可以列出方程 aaba 9 1 3 1 bbab 3 1 18 1 1 3 1 3 1 ba 0 0 ba 解得解得 9 1 9 2 ba 3 16 解 解 1 在 在 3 8 中中 2 0 X x fx 02x 其它 2 3 0 Y y fy 01y 其它 当当 时 时 02x 01y XY fx fy 2 3 2 xyf x y 当当或或时 当时 当或或时 时 2x 0 x 1y 0y XY fx fy0 f x y 所以 所以 X 与与 Y 之间相互独立 之间相互独立 2 在 在 3 9 中 中 2 2 4 2 0 X xx fx 01x 其它 2 2 4 34 0 Y yyy fy 01y 其它 当当 时 时 01x 01y XY fx fy 2222 2 4 2 2 4 34 5 76 2 34 xxyyyxx yyy 所以 所以 X 与与 Y 之间不相互独立 之间不相互独立 f x y 3 17 解 解 文档鉴赏 xe y xe f xx x dydyyxfx 0 2 1 1 1 1 2 0 2 11 yy xe f dxdyyxfy x y 1 1 2 yxfyx y xe ff x yx 故故 X 与与 Y 相互独立相互独立 3 18 参见课本后面参见课本后面 P228 的答案的答案 第四章第四章 数字特征数字特征 4 1 解 解 1 ii i E Xx p 0 9 ii i E Yy p 甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数 又甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数 又 两台机床的总的产量相同两台机床的总的产量相同 乙机床生产的零件的质量较好 乙机床生产的零件的质量较好 4 2 解 解 X 的所有可能取值为 的所有可能取值为 3 4 5 3 5 1 3 0 1P X C 2 3 3 5 4 0 3P X C C 2 4 3 5 5 0 6P X C C 3 0 14 0 35 0 64 5 ii i E Xx p 4 3 参见课本参见课本 230 页参考答案页参考答案 文档鉴赏 4 4 解 解 1 1 1 2 3 n P Xnppn 1 2 1 1 1 1 1 n ii in p E Xx pnpp pp 4 6 参考课本参考课本 230 页参考答案页参考答案 4 7 解 设途中遇到红灯次数为解 设途中遇到红灯次数为 X 则 则 3 0 4 XB 4 0 31 2E Xnp 4 8 解解 xdxxfXE xdxxdx x 3000 1 3000 1500 2 1500 0 2 2 15001500 500 1000 1500 4 9 参见课本后面参见课本后面 230 页参考答案页参考答案 4 10 参见课本后面参见课本后面 231 页参考答案页参考答案 4 11 解解 设均值为设均值为 方差为方差为 则则 X N 根据题意有根据题意有 2 2 96 1 96 XPXP 7296 1 X P 1t 3 2 文档鉴赏 解得解得 t 2 即即 12997 0 t 所以成绩在所以成绩在 60 到到 84 的概率为的概率为 12 72 84 X 12 72 60 P 84 XP 60 1 1 1 1 2 1 0 84132 0 6826 4 12 2222 0 0 4 10 320 230 12E X 2222 54 4 0 4 5 14 0 3 5 24 0 2 5 34 0 114EX 4 13 解 解 0000 0 2 22 2 2 2 xxxx x E YEXxe dxxdexee dx e 2233 000 11 33 Xxxxx E YE eee dxedxe 4 14 解 解 3 4 3 R V 设球的直径为设球的直径为 X 则 则 1 0 f xba axb 其它 3 33422 4 111 2 3666424 bb aa X E VEEXxdxxba ba baba 4 15 参看课本后面参看课本后面 231 页答案页答案 4 16 解解 文档鉴赏 x yf dydyyxfx x x 4 12 3 0 2 yyyf dxdyyxfy yy 121212 3212 5 4 1 0 4 4 dxxdxxXE x f x 5 3 1 0 43 1212 dyydyxYE yyf y 1 00 3 10 3 10 2 1 1212 x xyxy dydxxdxdyxxydxdyyxfXYE yy 3 2 1 0 522 4 dxdxxfE xxX 5 2 1 0 542 2 1212 dydyyfE yyy Y 15 16 2222 YXYX EEE 4 17 7 解解 X X 与与 Y Y 相互独立 相互独立 11 535 0055 2 2 3 yy E XYE X E Yx xdxyedyxyde 555 555 222 5 5 1 4 333 yyy yeedye 4 18 4 19 4 20 参看课本后面参看课本后面 231 232 页答案页答案 4 21 设设 X 表示表示 10 颗骰子出现的点数之和 颗骰子出现的点数之和 表示第表示第 颗骰子出现的点数 颗骰子出现的点数 i X 1 2 10 i i 则则 且 且是是 10 1 i i XX 1210 XXX 独立同分布的 又独立同分布的 又 11121 126 6666 i E X 文档鉴赏 所以所以 1010 11 21 1035 6 ii ii E XEXE X 4 22 参看课本后面参看课本后面 232 页答案页答案 4 23 2222 0 0 4 10 320 230 12E X 222 2 11D XE XE X 2222 0 0 3 10 520 2301 3E Y 222 1 30 90 49D YE YE Y 4 24 2424 222443 0202 111111114 1 1 441616333 E Xxxdxxxdxxxx 22 142 4 33 D XE XE X 4 25 1 1 1 4 0 X xydy fx 11x 其它 1 2 0 11x 其它 11 2222 11 11 22 Var XE XE Xx dxxdx 11 32 11 11111 23223 xx 1 1 1 4 0 Y xydx fy 11y 其它 1 2 0 11y 其它 11 2222 11 11 22 Var YE YE Yy dyydy 11 32 11 11111 23223 yy 文档鉴赏 4 26 因为因为 X N 0 4 Y U 0 4 所以有所以有 Var X 4 Var Y 3 4 故 故 Var X Y Var X Var Y 4 3 4 3 16 Var 2X 3Y 4Var X 9Var Y 28 3 4 944 4 27 参看课本后面参看课本后面 232 页答案页答案 4 28 1212 nn XXXXXX E ZEEEE nnnn 12 1111 n E XE XE Xn nnnn 1212 nn XXXXXX D ZDDDD nnnn 2 2 12 2222 1111 n E XE XE Xn nnnnn 后面后面 4 题不作详解题不作详解 第五章第五章 极限理极限理 5 3 解 用解 用表示每包大米的重量 则表示每包大米的重量 则 i X 10 i E X 2 0 1 i D X 100 2 1 100 10 100 0 1 i i XN nnN 100100100 111 2 100 101000 0 1 100 0 110 iii iii XnXX ZN n 文档鉴赏 100 100 1 1 1000 990 10001010 1000 9901010 101010 i i i i X PXP 1010 10001010 1000 10 10 1010 2 10 10 9986 5 4 解 因为解 因为 服从区间服从区间 0 10 上的均匀分布 上的均匀分布 i V 0 10 5 2 i E V 2 10100 1212 i D V 202020 111 100 20 5 20 12 iii iii VNE VD VN 20202020 1111 20 1 20 5100 0 1 10010 15 20 123 iiii iiii i i VE VVV ZN D V 20 20 1 1 100 105 100 105 1 105 1 105 1 10 1510 15 33 i i i i V P VP VPVP 105 100 1 1 0 387 0 348 10 15 3 5 5 解 方法解 方法 1 用 用表示每个部件的情况 则表示每个部件的情况 则 i X 1 0 i X 正常工作 损坏 1 0 9 i XB 0 9 i E Xp 1 0 9 0 1 i D Xpp 100 1 1 100 0 9 100 0 9 0 1 i i XN np nppN 文档鉴赏 100100100 111 100 0 990 0 1 3 1 100 0 9 0 1 iii iii XnpXX ZN npp 100 100100 1 11 90 8590 85 1 85 1 33 i i ii ii X PXPXP 55 1 0 9525 33 方法方法 2 用 用 X 表示表示 100 个部件中正常工作的部件数 则个部件中正常工作的部件数 则 100 0 9 XB 100 0 990E Xnp 1 100 0 9 0 19D Xnpp 1 90 9 XN np nppN 90 0 1 3 1 XnpX ZN npp 90 0 1 3 1 XnpX ZN npp 908590 85 1 85 1 33 55 1 0 9525 33 X P XP XP 5 6 略略 第六章样本与统计第六章样本与统计 6 1 6 3 1 证明证明 由由 b 可得 对等式两边求和再除以可得 对等式两边求和再除以 n 有有 文档鉴赏 n ba n n i i n i iXY 11 由于由于 n i iY n Y 1 1 n i iX n X 1 1 所以由所以由 可得可得 Y n nb n a n i iX 1 bXa 6 3 2 因为因为 YY Y Y n ii n i n i 2 1 2 1 2 b X ab X a i n i n i 2 1 2 2 2 22222 1 2 nbXnanbXa XnabXnab i n i n i ii n i XXaXnaXa 1 222222 1 2 n i i XX XXa i 1 2 22 2 n i X Xa i 1 2 2 Sa X n 22 1 SY n 2 1 文档鉴赏 所以有所以有 SaS XY 222 6 2 证明 证明 n n E n XE n iX 1 1i n n VarXVar n X n n i 2 2 2 1i 2 1 6 3 1 2 1n 1 1 2 1i 2 1 2 2 XXX X X S X n i i n i n i 2 1n 12 1i1i 2 XnXX n i n i X 2 1n 12 1i 2 XnX XnX n i 1n 12 1i 2 XnX n i 2 由于 由于 2 2 XE XX i EVar ii 所以有所以有 2 2 2 2 X XE Xii Var i E n XVarE XE X 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n n nn i E n i XX 文档鉴赏 两边同时除以 两边同时除以 n 1 可得 可得 即即 2 1 2 1 n i E n i XX 22 S E 6 4 同例同例 6 3 3 可知可知 0 951 n 0 321 n0 3 20 3 XP 得得 查表可知查表可知 1 96 又又 根据题意可知根据题意可知 n 430 975 n 0 3 n0 3Zn 6 5 解 解 1 记这 记这 25 个电阻的电阻值分别为个电阻的电阻值分别为 它们来自均值为它们来自均值为 200 欧姆 标准欧姆 标准 差为差为 10 欧姆的正态分布的样本则根据题意有 欧姆的正态分布的样本则根据题意有 2510 200202 n X 2510 200199 202X199 PP 1 n X 5 0 P 5 0 1 5328 0 2 根据题意有根据题意有 5100X52P 5100P 25 1i iX 2 n X P 2 9772 0 6 6 解 解 1 记一个月 记一个月 30 天 中每天的停机时间分别为天 中每天的停机时间分别为 它们是来自均值 它们是来自均值 为为 4 小时 标准差为小时 标准差为 0 8 小时的总体的样本 小时的总体的样本 根据题意有 根据题意有 308 0 45 n X 308 0 41 5X1 PP 文档鉴赏 846 6 n X 54 20 P 54 20 846 6 1 注 注 当当时 时 的值趋近于的值趋近于 1 相反当 相反当时 其值趋近于时 其值趋近于 0 u 6 u u 6 u 2 根据题意有 根据题意有 115X03P 115P 30 1i iX 14 1 n X P 14 1 14 1 1 1271 0 6 7 证明 因为证明 因为 T 则 随机变量 则 随机变量的密度函数为的密度函数为 nY X T 显然显然 则 则为偶函数 则为偶函数 则 t n n n tf n t n 2 2 2 1 1 2 1 tftf tf 0 00000 0 tdttftdttftdttfdtttftdttftdttftdttfTE 6 8 解 记解 记 则 则 X N n 25 故故50 1 25 2 2525 150 147 5 n X 2525 150 140 P 147 5 XP 140 5 0 n X P 2 2 0 5 0 5 2 文档鉴赏 0 2857 6 9 解 记这解 记这 100 人的年均收入为人的年均收入为 它们是来自均值为 它们是来自均值为万元 标准差为万元 标准差为5 1 万元的总体的样本 万元的总体的样本 n 100 则根据题意有 则根据题意有 5 0 1 1 6 XP 11 6 XP 1000 5 1 5 1 6 n X P 1 2 n X P 1 2 1 9772 0 1 0228 0 2 3 1000 5 1 5 1 3 n X P 1 3 XP 4 n X P 4 4 1 11 0 1000 5 1 5 1 6 n X 1000 5 1 5 1 2 P 1 6 XP 1 2 6 2 09772 0 9772 0 6 10 解 根据题意可知此样本是来自均值为解 根据题意可知此样本是来自均值为 标准差为 标准差为的总体 样本容量为的总体 样本容量为12 2 n 5 文档鉴赏 1 依题意有 依题意有 1314 0 8686 0 1 12 1 1 12 1 n X P 1 52 12 13 n X P 1 31XP 1 31XP 2 要求样本的最小值小于 要求样本的最小值小于 10 概率 即概率 即 5 个数中至少有一个小于个数中至少有一个小于 10 的概率 首先计算每的概率 首先计算每 个样本小于个样本小于 10 的概率 的概率 0 15870 8413 1 1 1 1 2 12 10 X P 10 P X p 设设 X 是是 5 个样本中小于个样本中小于 10 的样本个数则的样本个数则 X 服从二项分布服从二项分布 B 5 0 1587 故有故有 5785 0 111 10 P X 11 X 1587 0 1 1 CP 550 0 5B pp 即样本的最小值小于即样本的最小值小于 10 的概率是的概率是 0 5785 3 同 同 2 要求样本的最大值大于 要求样本的最大值大于 15 的概率 即的概率 即 5 个数中至少有一个大于个数中至少有一个大于 15 的概率 首的概率 首 先计算每个样本大于先计算每个样本大于 15 的概率 的概率 0668 00 9332 1 1 5 1 2 12 15 X P 115 P X 115 P X p 设设 X 是是 5 个样本中大于个样本中大于 15 的样本个数则的样本个数则 X 服从二项分布服从二项分布 B 5 0 0668 故有故有 2923 0 111 10 P X 11 X 0668 0 1 1 CP 550 0 5B pp 即样本的最大值大于即样本的最大值大于 15 的概率是的概率是 0 2923 第七章参数估计第七章参数估计 7 1 解因为解因为 是抽自二项分布是抽自二项分布 B m p 的样本 故都独立同分布所以有 的样本 故都独立同分布所以有 用样本均值用样本均值代替总体均值 则代替总体均值 则 p 的矩估计为的矩估计为mpXE X m X p 文档鉴赏 7 2 解 解 用样本均值用样本均值代替总体均值 则代替总体均值 则的矩估计为的矩估计为 1 0 xdxxE e x x xxE 1 1 由概率密度函数可知联合密度分布函数为 由概率密度函数可知联合密度分布函数为 对它们两边求对数可得对它们两边求对数可得 eee xxx L n 21 e n i ix n 1 对对求导并令其为求导并令其为 0 得得 n i i n xe n x L n i i 1 ln ln ln 1 即可得即可得的似然估计值为的似然估计值为0 ln 1 n i ix nL x n n i ix 1 1 1 1 7 3 解解 记随机变量记随机变量 x 服从总体为服从总体为 0 上的均匀分布 则上的均匀分布 则 故故 的矩估计为的矩估计为 22 0 XEX2 X 的密度函数为的密度函数为故它的是似然函数为故它的是似然函数为 1 xp 要使要使达到最大 首先一点是示性函数的取值应达到最大 首先一点是示性函数的取值应 II XX L ni n n i n 1 0 11 L 该为该为 1 其次是 其次是尽可能大 由于尽可能大 由于是是 的单调减函数 所以的单调减函数 所以 的取值应该尽可能小 的取值应该尽可能小 n 1 n 1 但示性函数为但示性函数为 1 决定了决定了 不能小于不能小于 因此给出因此给出 的最大似然估计的最大似然估计 示性函数 示性函数 I min max 7 4 解解 记随机变量记随机变量 x 服从总体为服从总体为 上的均匀分布 则上的均匀分布 则 所以所以 的矩估计为的矩估计为 2 3 2 2 XEX 3 2 文档鉴赏 X 的密度函数为的密度函数为故它的是似然函数为故它的是似然函数为 1 xp III n ni nn n i n X L 2 2 1 2 x x 1 xx 11 1 1 要使要使达到最大 首先一点是示性函数的取值应该为达到最大 首先一点是示性函数的取值应该为 1 其次是 其次是尽可能大 由于尽可能大 由于 L n 1 是是 的单调减函数 所以的单调减函数 所以 的取值应该尽可能小 但示性函数为的取值应该尽可能小 但示性函数为 1 决定了决定了 不能小于不能小于 n 1 因此给出因此给出 的最大似然估计的最大似然估计 7 5 解解 似然函数为似然函数为 ee n i i i n 1 2 22 2 X 2 X 2 1 L 2 1 2 2 n 1i 2 2 它的对数为它的对数为 n i i nn L 1 2 2 22 X 2 1 ln 2 2ln 2 ln 对对求偏导并令它等于零有求偏导并令它等于零有 2 0 2 1 2 ln 1 2 422 2 X n i i nL 解得解得的似然估计值为的似然估计值为 2 n i i n1 2 2 X 1 7 6 解解 根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知根据所给的