初二数学压轴几何证明题(含答案)

文档鉴赏 1 四边形 ABCD 是正方形 BEF 是等腰直角三角形 BEF 90 BE EF 连接 DF G 为 DF 的中点 连接 EG CG EC 1 如图 1 若点 E 在 CB 边的延长线上 直接写出 EG 与 GC 的位置关系及的值 2 将图 1 中的 BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 2 所示位置 请问 1 中所得的结论是否仍然 成立 若成立 请写出证明过程 若不成立 请说明理由 3 将图 1 中的 BEF 绕点 B 顺时针旋转 0 90 若 BE 1 AB 当 E F D 三点共线时 求 DF 的长及 tan ABF 的值 解 1 EG CG 理由是 过 G 作 GH EC 于 H FEB DCB 90 EF GH DC G 为 DF 中点 H 为 EC 中点 EG GC GH EF DC EB BC 即 GH EH HC EGC 90 即 EGC 是等腰直角三角形 文档鉴赏 2 解 结论还成立 理由是 如图 2 延长 EG 到 H 使 EG GH 连接 CH EC 过 E 作 BC 的垂线 EM 延长 CD 在 EFG 和 HDG 中 EFG HDG SAS DH EF BE FEG DHG EF DH 1 2 90 3 4 EBC 180 4 180 1 HDC 在 EBC 和 HDC 中 EBC HDC CE CH BCE DCH ECH DCH ECD BCE ECD BCD 90 ECH 是等腰直角三角形 G 为 EH 的中点 EG GC 即 1 中的结论仍然成立 3 解 连接 BD 文档鉴赏 AB 正方形 ABCD BD 2 cos DBE DBE 60 ABE DBE ABD 15 ABF 45 15 30 tan ABF DE BE DF DE EF 1 解析 1 过 G 作 GH EC 于 H 推出 EF GH DC 求出 H 为 EC 中点 根据梯形的中位线求出 EG GC GH EF DC EB BC 推出 GH EH BC 根据直角三角形的判定推出 EGC 是等腰直角三角形即可 2 延长 EG 到 H 使 EG GH 连接 CH EC 过 E 作 BC 的垂线 EM 延长 CD 证 EFG HDG 推出 DH EF BE FEG DHG 求出 EBC HDC 证出 EBC HDC 推出 CE CH BCE DCH 求出 ECH 是等腰直角三角形 即可得出答案 3 连接 BD 求出 cos DBE 推出 DBE 60 求出 ABF 30 解直角三 角形求出即可 2 已知正方形 ABCD 和等腰直角三角形 BEF BE EF BEF 90 按图 1 放置 使点 E 在 BC 上 取 DF 的中点 G 连接 EG CG 1 延长 EG 交 DC 于 H 试说明 DH BE 2 将图 1 中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45 连接 DF 取 DF 中点 G 如图 2 莎莎同学发 现 EG CG 且 EG CG 在设法证明时他发现 若连接 BD 则 D E B 三点共线 你能写出 结论 EG CG 且 EG CG 的完整理由吗 请写出来 3 将图 1 中 BEF 绕 B 点转动任意角度 0 90 再连接 DF 取 DF 的中点 G 如 图 3 第 2 问中的结论是否成立 若成立 试说明你的结论 若不成立 也请说明理由 1 证明 BEF 90 EF DH EFG GDH 而 EGF DGH GF GD GEF GHD EF DH 文档鉴赏 而 BE EF DH BE 2 连接 DB 如图 BEF 为等腰直角三角形 EBF 45 而四边形 ABCD 为正方形 DBC 45 D E B 三点共线 而 BEF 90 FED 为直角三角形 而 G 为 DF 的中点 EG GD GC EGC 2 EDC 90 EG CG 且 EG CG 3 第 2 问中的结论成立 理由如下 连接 AC BD 相交于点 O 取 BF 的中点 M 连接 OG EM MG 如图 G 为 DF 的中点 O 为 BD 的中点 M 为 BF 的中点 OG BF GM OB 四边形 OGMB 为平行四边形 OG BM GM OB 而 EM BM OC OB EM OG MG OC DOG GMF 而 DOC EMF 90 EMG GOC MEG OGC EG CG EGM OCG 又 MGF BDF FGC GDC GCD EGC EGM MGF FGC BDF GDC GCD OCG 45 45 90 EG CG 且 EG CG 文档鉴赏 解析 1 由 BEF 90 得到 EF DH 而 GF GD 易证得 GEF GHD 得 EF DH 而 BE EF 即可得到结论 2 连接 DB 如图 2 由 BEF 为等腰直角三角形 得 EBF 45 而四边形 ABCD 为正 方形 得 DBC 45 得到 D E B 三点共线 而 G 为 DF 的中点 根据直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半得到 EG GD GC 于是 EGC 2 EDC 90 即得到结论 3 连接 AC BD 相交于点 O 取 BF 的中点 M 连接 OG EM MG 由 G 为 DF 的中点 O 为 BD 的中点 M 为 BF 的中点 根据三角形中位线的性质得 OG BF GM OB 得到 OG BM GM OB 而 EM BM OC OB 得到 EM OG MG OC 又 DOG GMF 而 DOC EMF 90 得 EMG GOC 则 MEG OGC 得到 EG CG EGM OCG 而 MGF BDF FGC GDC GCD 所以有 EGC EGM MGF FGC BDF GDC GCD OCG 45 45 90 3 已知正方形 ABCD 和等腰 Rt BEF BE EF BEF 90 按图 放置 使点 F 在 BC 上 取 DF 的中点 G 连接 EG CG 1 探索 EG CG 的数量关系和位置关系并证明 2 将图 中 BEF 绕 B 点顺时针旋转 45 再连接 DF 取 DF 中点 G 如图 问 1 中的 结论是否仍然成立 证明你的结论 3 将图 中 BEF 绕 B 点转动任意角度 旋转角在 0 到 90 之间 再连接 DF 取 DF 的 中点 G 如图 问 1 中的结论是否仍然成立 证明你的结论 解 1 EG CG 且 EG CG 证明如下 如图 连接 BD 正方形 ABCD 和等腰 Rt BEF EBF DBC 45 B E D 三点共线 DEF 90 G 为 DF 的中点 DCB 90 EG DG GF CG EGF 2 EDG CGF 2 CDG EGF CGF 2 EDC 90 即 EGC 90 EG CG 文档鉴赏 2 仍然成立 证明如下 如图 延长 EG 交 CD 于点 H BE EF EF CD 1 2 又 3 4 FG DG FEG DHG EF DH EG GH BEF 为等腰直角三角形 BE EF BE DH CD BC CE CH ECH 为等腰直角三角形 又 EG GH EG CG 且 EG CG 3 仍然成立 证明如下 如图 延长 CG 至 H 使 GH CG 连接 HF 交 BC 于 M 连接 EH EC GF GD HGF CGD HG CG HFG CDG HF CD GHF GCD HF CD 正方形 ABCD HF BC HF BC BEF 是等腰直角三角形 BE EF EBC HFE BEC FEH HE EC BEC FEH BEF HEC 90 ECH 为等腰直角三角形 又 CG GH EG CG 且 EG CG 解析 1 首先证明 B E D 三点共线 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 即可证 明 EG DG GF CG 得到 EGF 2 EDG CGF 2 CDG 从而证得 EGC 90 2 首先证明 FEG DHG 然后证明 ECH 为等腰直角三角形 可以证得 EG CG 且 EG CG 文档鉴赏 3 首先证明 BEC FEH 即可证得 ECH 为等腰直角三角形 从而得到 EG CG 且 EG CG 已知 正方形 ABCD 中 BEF 为等腰直角三角形 且 BF 为底 取 DF 的中点 G 连接 EG CG 1 如图 1 若 BEF 的底边 BF 在 BC 上 猜想 EG 和 CG 的数量关系为 2 如图 2 若 BEF 的直角边 BE 在 BC 上 则 1 中的结论是否还成立 请说明理 由 3 如图 3 若 BEF 的直角边 BE 在 DBC 内 则 1 中的结论是否还成立 说 明理由 解 1 GC EG 1 分 理由如下 BEF 为等腰直角三角形 DEF 90 又 G 为斜边 DF 的中点 EG DF ABCD 为正方形 BCD 90 又 G 为斜边 DF 的中点 CG DF GC EG 2 成立 如图 延长 EG 交 CD 于 M BEF FEC BCD 90 EF CD EFG MDG 又 EGF DGM DG FG GEF GMD EG MG 即 G 为 EM 的中点 CG 为直角 ECM 的斜边上的中线 CG GE EM 1 2 1 2 1 2 文档鉴赏 3 成立 取 BF 的中点 H 连接 EH GH 取 BD 的中点 O 连接 OG OC CB CD DCB 90 CO BD DG GF GH BD 且 GH BD OG BF 且 OG BF CO GH BEF 为等腰直角三角形 EH BF EH OG 四边形 OBHG 为平行四边形 BOG BHG BOC BHE 90 GOC EHG GOC EHG EG GC 此题考查了正方形的性质 以及全等三角形的判定与性质 要求学生掌握直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半 掌握这些性质 熟练运 用全等知识是解本题的关键 解析 1 EG CG 理由为 根据三角形 BEF 为等腰直角三角形 得到 DEF 为直角 又 G 为 DF 中点 根据在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 得到 EG 为 DF 的一半 同理在 直角三角形 DCF 中 得到 CG 也等于 DF 的一半 利用等量代换得证 2 成立 理由为 延长 EG 交 CD 于 M 如图所示 根据 ASA 得到三角形 EFG 与三角形 GDM 全等 由全等三角形的对应边相等得到 EG 与 MG 相等 即 G 为 EM 中点 根据直角三角形 1 2 1 2 1 2 1 2 文档鉴赏 斜边上的中线等于斜边的一半得到 EG 与 CG 相等都等于斜边 EM 的一半 得证 3 成立 理由为 取 BF 的中点 H 连接 EH GH 取 BD 的中点 O 连接 OG OC 如图所示 因为直角三角形 DCB 中 O 为斜边 BD 的中点 根据斜边上的中线等于斜边的一半得到 OC 等