书法与数学学科的融合

第一章第一章 书法与数学学科的融合书法与数学学科的融合 第第一一节节 黄黄金金分分割割的的由由来来与与审审美美 教学目的 教学目的 1 理解数学上的黄金分割的由来与发展 2 体会黄金分割与审美 设计意图 设计意图 学生通过对数学上的黄金分割的研究 欣赏生活中的美 体会黄金分割具 有严格的比例性 和谐性 丰富的美学价值 感悟黄金分割与书法的关系 尝 试把黄金分割比应用到书法的学习与创作中 教学过程 教学过程 审美引入审美引入 世界上有无数的艺术瑰宝 尽管历尽沧桑 在今天却仍然拥有神奇 的魔力来吸引世界各国的人前来参观拜访 例如希腊的帕特农神庙 美神维纳 斯的断臂雕像 蒙娜丽莎意味深长的微笑以及神秘古老的紫禁城 这些世界 上的杰作 究竟为何有着这样大的魅力 并且可以经久不衰地将这种魅力延续 下去呢 科学家们经过仔细考究后发现 它们之中有一个共同特点 就是都运用到 了黄金分割比 既然黄金分割比在这么多艺术作品中可见 那么 什么是黄金 分割比呢 一 一 黄金分割比的介绍黄金分割比的介绍 1 定义 定义 把任一线段分割成两段 使 这样的分割叫黄金分割 这样的比值叫黄金比 可以有两个分割点 2 求黄金比求黄金比 解 设黄金比为 x 不妨设全段长为 1 则大段 x 小段 1 x 故有 解得 其正根为 A B 1 x x 黄金分割是一种数学上的比例关系 黄金分割具有严格的比例性 和谐性 蕴藏着丰富的美学价值 3 3 斐波那契数列斐波那契数列 与黄金分割相关的一个例子就是斐波那契数列 l l 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 有趣的是 这样一个 完全是自然数的数列 通项公式却是用无理数来表达的 而且当 n 趋向于无穷 大时 后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割比 0 618 斐波 那契数列具有以下一些特点 1 数列中任一数字都是由前两个数字之和构成 2 数列中前一数字与后一数字之比例 趋近于一固定常数 即 0 618 后一 数字与前一数字之比例 趋近于 1 618 3 1 618 与 0 618 互为倒数 其乘积 则约等于 l 4 4 黄金分割的发展黄金分割的发展 黄金分割比历史悠久 由于公元前 6 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过 正五边形和正十边形的作图 因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经 触及甚至掌握了黄金分割 大段小段 全段大段 1 1 xx x 2 10 xx 15 2 x 51 0 61803390 618 2 x 公元前 4 世纪 古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题 并 建立起比例理论 公元前 300 年前后欧几里得撰写 几何原本 时吸收了欧多克索斯的研究 成果 进一步系统论述了黄金分割 成为最早的有关黄金分割的论著 中世纪后 黄金分割被披上神秘的外衣 意大利数家帕乔利称中末比为神 圣比例 并专门为此著书立说 德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割 到 19 世纪黄金分割这一名称才逐渐通行 黄金分割数有许多有趣的性质 人类对它的实际应用也很广泛 最著名的例子是优选学中的黄金分割法或 0 618 法 是由美国数学家基弗于 1953 年首先提出的 70 年代在中国推广 二 黄金分割与审美 黄金比二 黄金分割与审美 黄金比 0 618 黄金分割之所以称为 黄金 分割 是比喻这一 分割 如黄金一样珍贵 黄 金比 是工艺美术 建筑 摄影等许多艺术门类中审美的因素之一 它表现了 恰到好处的 和谐 1 0 6180 618 与与人体人体 近年来 在研究黄金分割与人体关系时 发现了人体结构中有 14 个 黄金点 如 1 肚脐 头顶 足底之分割点 2 咽喉 头顶 肚脐之分割点 3 膝关节 肚脐 足底之分割点 4 肘关节 肩关节 中指尖之分割点 0 6180 618 与高跟鞋与高跟鞋 高跟鞋是许多爱美女性的珍宝 对于广大女士来说 比起漂亮的脸蛋和新 潮的服饰 拥有一双适合自己而又出众的高跟鞋更能衬托出自己的气质 吸引 人们的眼球 可是 黄金分割比跟挑选高跟鞋又有什么关系呢 其实 女性穿高跟鞋的目的就是为了让身材看起来更匀称 而这 匀称 之中就符合了黄金分割比的规律 对于人体来说 躯干 肚脐到脚底的长度 与身高的比越接近黄金分割数 0 618 时 就会给人一种美的感觉 很可惜 一 般人的躯干与身高比都低于 0 618 这个数值 大约只有 0 58 0 60 左右 而穿 上高跟鞋就可以增加躯干 从而改变这一比值 使得躯干与身高的比值更接近 黄金分割的标准 从而产生美的效应 如 某女孩的身高为 160 cm 她的原本 躯干与身高比为 0 60 那么当这位女孩穿上高度为 4cm 的高跟鞋时 其躯干与 身高的比值将被提高到 0 61 左右 当其高跟鞋高度为 7 5cm 时 可以使得这一 比值恰好接近 0 618 从而获到最佳美感 这同样可以解释为何古希腊维纳斯 女塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿 使之与身高的比值为 0 618 从而能够创造艺术美 另外 芭蕾舞演员总是以脚尖落地 这是因为当 芭蕾演员踮起脚尖起舞时 正是为了增加躯干的高度 从而展现符合 0 618 的 身段比例的最优美的艺术形象 所以以脚尖平衡为特色的芭蕾舞会给人一种美 的感觉 其艺术的魅力也是与黄金分割密切联系的 2 2 0 6180 618 与建筑艺术与建筑艺术 如 埃及的金字塔 高 137 米 与底边长 227 米 之比为 0 629 古希腊的巴特农神殿 塔高与工作厅高之比为 340 553 0 615 埃菲尔铁塔在距离地面 57 米 115 米和 276 米处 各有一个平台 计算表 明 300 115 300 0 617 所得比值与黄金比 0 618 相差甚微 由此可见 埃菲尔铁塔第二层平台的位置 非常接近于全塔高度的黄金分割点 从图中可 以看出 第二层平台正是埃菲尔铁塔张开的四条腿开始收拢的转折点 3 0 6180 618 与与美观矩形美观矩形 中国的国旗 生活中建筑物的门窗 画框 十字架 扑克牌和书籍等 他们 长和宽的比例都十分接近于 黄金分割率 五角星中线段的比率都符合黄金分割率 这使得它成为了黄金分割的首要代 表 正是因为这个原因 五角星总是被作为美丽与完美的象征 并与女神和神圣 的女性联系在一起 E D C B A E D C B A 4 0 6180 618 与摄影与摄影 风景照片中 地平线位置的安排 5 5 0 6180 618 与战略部署与战略部署 你有没有听说过 黄金分割比还与炮火连天 硝烟弥漫 血肉横飞的惨烈 残酷的战场也有着不解之缘 在军事上也显示出它巨大而神秘的力量 其实 在我国历史上很早发生的一些战争中 就无不遵循着 0 618 的规律 数百年来 人们对成吉思汗的蒙古骑兵 为什么能像飓风扫落叶般地席卷 欧亚大陆颇感费解 因为仅用游牧民族的彪悍勇猛 残忍诡谲 善于骑射以及 骑兵的机动性这些理由 都还不足以对此做出令人完全信服的解释 或许还有 别的更为重要的原因 经过研究发现 蒙古骑兵的战 斗队形与西方传统的方阵 大不相同 在他的五排制阵型中 重骑兵和轻骑兵为 2 3 人盔马甲的重骑兵 为 2 快捷灵活的轻骑兵为 3 两者在编配上恰巧符合黄金分割律 你不能不佩 服那位马背军事家的天才妙悟 被这样的天才统帅统领的大军 不纵横四海 所向披靡 那才怪呢 在海湾战争中 据军事专家估计 如果共和国卫队的装备和人员 经空中 轰炸损失达到或超过 30 就将基本丧失战斗力 为了使伊军的损耗达到这个 临界点 美英联军一再延长轰炸时间 持续 38 天 直到摧毁了伊拉克在战区内 0 618 AB AC 0 618 AB AD 0 618 AD D C 428 辆坦克中的 38 2280 辆装甲车中的 32 3100 门火炮中的 47 这时伊军 实力下降至 60 左右 这正是军队丧失战斗力的临界点 也就是将伊拉克军事 力量削弱到黄金分割点上后 美英联军才抽出 沙漠军刀 砍向萨达姆 在地 面作战只用了 100 个小时就达到了战争目的 这场战役也因此被誉为 沙漠风 暴 6 6 0 6180 618 与自然的巧合与自然的巧合 生活中能见到的植物常常有一种特殊的美感 比如说向日葵的花盘 菠萝 的外表皮以及枫叶的叶脉和叶子宽度的比例 仔细观察就会发现其中处处蕴涵 着一种特殊的关系 那就是黄金比例 葵花籽在向日葵的花盘上呈相反的弧线状排列 仔细观察 我们可以找到 一些曲线 通常顺时针旋转的有 89 条 而逆时针方向的则有 55 条 也有的向 日葵是 55 34 或者 144 89 的组合 这是由花盘的大小决定的 如果我们把每 一组的比值进行比较 就会发现他们越来越接近 1 618 大自然的鬼斧神工处 处都留下了黄金分割的痕迹 科学家们还发现 植物中像牡丹 月季 荷花 菊花等观赏性花卉含苞欲 放时 花蕾呈直的椭圆形 且长短轴的比例大约接近于黄金分割 经过观察可 以发现 在有些植物的茎上 两张相邻的叶片的夹角是 137 28 这恰好是把 圆周分成 1 0 618 的两条半径的夹角 研究发现这种角度对植物通风和采光效 果最佳 第第 2 2 节节 黄黄金金分分割割与与书书法法 教学目的教学目的 1 感悟黄金分割与书法的关系 2 掌握黄金分割在书法上的应用 并创造性地发挥 应用到书法学习中 设计意图 设计意图 通过本节课的教学 要求学生领悟黄金分割与书法的关系 把黄金分割比 应用到书法的学习与创作中 开发学生的创新思维 提高学生的创造能力 教学过程 教学过程 黄金分割表现了恰到好处的 和谐 那么 0 618 对我们学习书法又有什么 启发呢 在书法练习纸的格子中 常见到的回宫格 九宫格都是按黄金分割原理画 出来的 做为练书法的参考线 在造字中更是大量地应用了黄金分割 1 1 书法黄金律是当代书法大师书法黄金律是当代书法大师 启功先生的一大发明 启功先生的一大发明 因为书法具有空间性和时间性两大特性 在我们解读书法黄金率的时候 必须符合汉字书写的要素 方块 亦即从方块的四边都做黄金分割 这样便 形成特有的黄金分割图形 如下图 图中中心部分的四个交叉点 可依次标为 ABCD 这 ABCD 四个交叉点即是 汉字结体的中心区 启功先生是一代宗师 他对欧 柳诸体书法有深入独到的 研究 他用简明易懂的语言对楷书 行书作出了 横不平 竖不直 有紧有松 的精辟概括 并告诉我们 行楷书体的中心不是在 ABCD 四个分割点上 而是在 其稍上稍左的位置 即如上图 依照行楷字的中心位置应在 ABCD 四个交叉点或 叫四个聚处并稍上稍左的位置上 从而克服了以往米字格 九宫格所造成的字 中心在正中的死板现象 使所写的字更灵活更生动 我们在以上图所标分割点都是按照方块的每边亦即上下左右四条线段的长 度按千位计算的 这在剖析方法上可以 在实际操作上则不可行 因为米字格 九宫格都是较少的数 或九格 或八十一格 操作容易 因 此 可以把图中每一边 线段 的三段数字 382 236 382 化简 即找出三个 数的最大公约数 三个数的近似最大公约数为 77 这样 382 简化成 5 236 简 化成 3 这样此条线段的三部分就成了 5 3 5 如图 因此 应用黄金分割的书法图格便是书法 13 格 图中四个点就是楷书行书 字的中心区 并稍上稍左的结字中心区 就是结字黄金率 具体应用方法 可 去看启功大师的论述 2 2 黄金分割与楷书传统间架结构法则黄金分割与楷书传统间架结构法则 黄自元 九十二法 中 对楷书左右结构的字有四个大的法则 左旁小者 齐其上 右旁小者齐其下 让左者左昂右低 让右者右伸左缩 其实际意义是 左边偏旁短小则左旁上靠 右边偏旁短小则右旁下靠 因为无论是左旁小还是 右旁小 都不可能真的一刀切成 齐其上 或者 齐其下 否则就不协调 怎 样才最协调呢 根据黄金分割原理 左旁小的字应该是左旁的视觉重心对准右 旁的上黄金分割点 右旁小的字右旁的视觉重心对准左旁的下黄金分割点 怎样确定偏旁的视觉重心呢 首先黄金分割点的位置可以凭我们的练习和 美感来把握 其次在书写过程中还能够通过偏旁视觉重心的调节来使一个字更 趋近于结构法则 比如右旁小的字 如果左旁已经完成 其下黄金点已确定 那么我们在写右旁的时候可以通过上下位置 笔画粗细的变化使其重心趋于与 左旁下黄金点对齐 上述的 左旁小 右旁小 其实是指小且短的偏旁 对小而不短的偏旁 如木和亻旁 则适合将字的左右旁所站位置按黄金比划分 同理 对上下 结构而上下不均的字也按上大或下大按黄金比例书写 即九十二法所谓的 中 分而稍加绕宜 如 十 字 竖笔的上下比例为 0 618 时最为美观 中 字的行草写法 如竖笔把左右两部分按 0 618 分割 整个字会显得潇洒有致 很多上下结构的字和左右结构的字也一样 如果其比例为 0 618 将会十分和 谐 3 3 黄金分割与钢笔横行书写的章法黄金分割与钢笔横行书写的章法 由于横行书写在人们日常应用中极为普遍 而汉字又大都是右下角收笔而 左上角起笔 因此横行书写的章法一直让人忌讳 这里的章法不敢含毛笔自右 而左的作品创作 而仅指日常应用的自左而右的章法 因此冠以 钢笔 限制 九十年代 一批钢笔书法专家对此展开了研讨 有的认为应齐上线 有的认为 应齐下线 还有的提出 中线贯通 之说 我想这个问题的解决 必须从美学 原理 民族审美心理上加以反复论证 并经得起实践检验 才能为人们工作 生活中的书写提供帮助 从根本上讲 汉字书法的美是建立在稳定和平衡的审 美心理基础上的 从人的