-解析几何全国卷高考真题

文档鉴赏 2015 2017 解析几何全国卷高考真题解析几何全国卷高考真题 1 2015 年年 1 卷卷 5 题 题 已知 M 是双曲线 C 上的一点 是 C 上 00 xy 2 2 1 2 x y 12 F F 的两个焦点 若 则的取值范围是 12 0MFMF 0 y A B 3 3 3 3 3 6 3 6 C D 2 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 3 答案 A 解析 由题知 所以 12 3 0 3 0 FF 2 2 0 0 1 2 x y 12 MFMF 解得 故选 0000 3 3 xyxy 222 000 3310 xyy 0 33 33 y A 考点 双曲线的标准方程 向量数量积坐标表示 一元二次不等式解法 2 2015 年年 1 卷卷 14 题 题 一个圆经过椭圆的三个顶点 且圆心在 x 轴的正半轴上 22 1 164 xy 则该圆的标准方程为 答案 22 325 24 xy 解析 设圆心为 0 则半径为 则 解得 故圆的方a4a 222 4 2aa 3 2 a 程为 22 325 24 xy 考点 椭圆的几何性质 圆的标准方程 3 2015 年年 1 卷卷 20 题 题 在直角坐标系中 曲线 C y 与直线 0 交xoy 2 4 x ykxa a 与 M N 两点 当 k 0 时 分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程 y 轴上是否存在点 P 使得当 k 变动时 总有 OPM OPN 说明理由 答案 或 存在0axya 0axya 解析 文档鉴赏 试题分析 先求出 M N 的坐标 再利用导数求出 M N 先作出判定 再利用设而 不求思想即将代入曲线 C 的方程整理成关于的一元二次方程 设出 M N 的坐标ykxa x 和 P 点坐标 利用设而不求思想 将直线 PM PN 的斜率之和用表示出来 利用直线a PM PN 的斜率为 0 即可求出关系 从而找出适合条件的 P 点坐标 a b 试题解析 由题设可得 或 2 Ma a 2 2 Na 2 2 Ma 2 Na a 故在 处的到数值为 C 在处的切线方程为 1 2 yx 2 4 x y x2 2aa 2 2 a a 即 2 yaa xa 0axya 故在 处的到数值为 C 在处的切线方程为 2 4 x y x2 2aa 2 2 a a 即 2 yaa xa 0axya 故所求切线方程为或 0axya 0axya 存在符合题意的点 证明如下 设 P 0 b 为复合题意得点 直线 PM PN 的斜率分别为 11 M x y 22 N xy 12 k k 将代入 C 得方程整理得 ykxa 2 440 xkxa 1212 4 4xxk x xa 12 12 12 ybyb kk xx 1212 12 2 kx xab xx x x k ab a 当时 有 0 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补 ba 12 kk 故 OPM OPN 所以符合题意 0 Pa 考点 抛物线的切线 直线与抛物线位置关系 探索新问题 运算求解能力 4 2015 年年 2 卷卷 7 题 题 过三点 的圆交 y 轴于 M N 两点 则 1 3 A 4 2 B 1 7 C MN A 2 B 8 C 4 D 1066 解析 由已知得 所以 所以 321 143 AB k 27 3 4 1 CB k 1 ABCB kk 文档鉴赏 即为直角三角形 其外接圆圆心为 半径为 所以外接圆方程ABCB ABC 1 2 5 为 令 得 所以 故选 C 22 1 2 25xy 0 x 2 62y 4 6MN 考点 圆的方程 5 2015 年年 2 卷卷 11 题 题 已知 A B 为双曲线 E 的左 右顶点 点 M 在 E 上 ABM 为等腰三 角形 且顶角为 120 则 E 的离心率为 A B C D 5232 解析 设双曲线方程为 如图所示 22 22 1 0 0 xy ab ab ABBM 过点作轴 垂足为 在中 0 120ABM MMNx NRt BMN BNa 故点的坐标为 代入双曲线方程得 即3MNa M 2 3 Maa 2222 abac 所以 故选 D 22 2ca 2e 考点 双曲线的标准方程和简单几何性质 6 2015 年年 2 卷卷 20 题 题 本题满分 12 分 已知椭圆 直线 不过原 222 9 0 Cxym m l 点且不平行于坐标轴 与有两个交点 线段的中点为 OlCABABM 证明 直线的斜率与 的斜率的乘积为定值 OMl 若 过点 延长线段与交于点 四边形能否为平行四边形 l 3 m mOMCPOAPB 若能 求此时 的斜率 若不能 说明理由 l 解析 设直线 l ykxb 0 0 kb 11 A x y 22 B xy MM M xy 文档鉴赏 将代入得 故ykxb 222 9xym 2222 9 20kxkbxbm 12 2 29 M xxkb x k 于是直线的斜率 即 所以直 2 9 9 MM b ykxb k OM 9 M OM M y k xk 9 OM kk 线的斜率与 的斜率的乘积为定值 OMl 四边形能为平行四边形 OAPB 因为直线 过点 所以 不过原点且与有两个交点的充要条件是 l 3 m mlC0k 3k 由 得的方程为 设点的横坐标为 由得OM 9 yx k P P x 222 9 9 yx k xym 即 将点的坐标代入直线 的方程得 22 2 2 981 P k m x k 2 39 P km x k 3 m ml 3 3 mk b 因此 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分 2 3 3 9 M mk k x k OAPBABOP 即 于是2 PM xx 2 39 km k 解得 因为 所以当 2 3 2 3 9 mk k k 1 47k 2 47k 0 3 ii kk 1i 2 的斜率为l 或时 四边形为平行四边形 47 47 OAPB 考点 1 弦的中点问题 2 直线和椭圆的位置关系 7 2016 年年 1 卷卷 5 题 题 5 已知方程表示双曲线 且该双曲线两焦点间 22 22 1 3 xy mnmn 的距离为 4 则 n 的取值范围是 A B C D 1 3 1 3 0 3 0 3 答案 A 文档鉴赏 考点 双曲线的性质 名师点睛 双曲线知识一般作为客观题学生出现 主要考查双曲线几何性质 属于基础题 注 意双曲线的焦距是 2c 不是 c 这一点易出错 8 2016 年年 1 卷卷 10 题 题 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A B 两点 交 C 的准线于 D E 两点 已知 AB DE 则 C 的焦点到准线的距离为4 22 5 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 考点 抛物线的性质 名师点睛 本题主要考查抛物线的性质及运算 注意解析几何问题中最容易出现运算错误 文档鉴赏 所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性 基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好 的主要原因 9 2016 年年 1 卷卷 20 题 题 本小题满分 12 分 设圆的圆心为 A 直线 l 过 22 2150 xyx 点 B 1 0 且与 x 轴不重合 l 交圆 A 于 C D 两点 过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E I 证明为定值 并写出点 E 的轨迹方程 EAEB II 设点 E 的轨迹为曲线 C1 直线 l 交 C1于 M N 两点 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P Q 两点 求四边形 MPNQ 面积的取值范围 答案 II 1 34 22 yx 0 y 38 12 试题解析 因为 故 ACAD ACEB ADCACDEBD 所以 故 EDEB ADEDEAEBEA 又圆的标准方程为 从而 所以 A16 1 22 yx4 AD4 EBEA 由题设得 由椭圆定义可得点的轨迹方程为 0 1 A 0 1 B2 ABE 1 34 22 yx 0 y 当 与轴不垂直时 设 的方程为 lxl 0 1 kxky 11 yxM 22 yxN 由得 1 34 1 22 yx xky 01248 34 2222 kxkxk 则 34 8 2 2 21 k k xx 34 124 2 2 21 k k xx 文档鉴赏 所以 34 1 12 1 2 2 21 2 k k xxkMN 过点且与 垂直的直线 到的距离为 所以 0 1 Blm 1 1 x k yAm 1 2 2 k 故四边形的面积 1 34 4 1 2 42 2 2 2 2 2 k k k PQMPNQ 34 1 112 2 1 2 k PQMNS 可得当 与轴不垂直时 四边形面积的取值范围为 lxMPNQ 38 12 当 与轴垂直时 其方程为 四边形的面积为 12 lx1 x3 MN8 PQMPNQ 综上 四边形面积的取值范围为 MPNQ 38 12 考点 圆锥曲线综合问题 名师点睛 高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位 置关系是一个很宽泛的考试内容 主要由求值 求方程 求定值 最值 求参数取值范围等几 部分组成 其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线 解决这类问题要重视方程思想 函数思 想及化归思想的应用 10 2016 年年 2 卷卷 4 题 题 圆的圆心到直线的距离为 1 22 28130 xyxy 10axy 则 a A B C D 2 4 3 3 4 3 解析 A 圆 22 28130 xyxy 化为标准方程为 22 144xy 故圆心为 14 2 41 1 1 a d a 解得 4 3 a 故选 A 11 2016 年年 2 卷卷 11 题 题 已知 是双曲线 E 的左 右焦点 点 M 在 E 上 1 F 2 F 22 22 1 xy ab 文档鉴赏 与轴垂直 sin 则 E 的离心率为 1 MF x 21 1 3 MF F A B C D 2 2 3 23 解析 A 离心率 12 21 FF e MFMF 由正弦定理得 12 2112 2 2 sin 3 2 1 sinsin 1 3 FFM e MFMFFF 12 2016 年年 2 卷卷 20 题 题 本小题满分 12 分 已知椭圆 E 的焦点在轴上 A 是 E 的左顶点 斜率为的直线交 E 22 1 3 xy t x 0 k k 于 A M 两点 点 N 在 E 上 MA NA I 当 时 求 AMN 的面积 4t AMAN II 当时 求 k 的取值范围 2 AMAN 解析 当 4t 时 椭圆 E 的方程为 22 1 43 xy A 点坐标为 20 则直线 AM 的方程为 2yk x 联立 22 1 43 2 xy yk x 并整理得 2222 341616120kxk xk 解得 2x 或 2 2 86 34 k x k 则 2 22 22 8612 121 3434 k AMkk kk 因为AM AN 所以 2 2 2 11212 11 4 1 3 341 ANk k k k k 因为 AMAN 0k 所以 22 2 1212 11 4 34 3 kk k k k 整理得 2 1 440kkk 2 440kk 无实根 所以 1k 文档鉴赏 所以 AMN 的面积为 2 21112144 1 1 223449 AM 直线 AM 的方程为 yk xt 联立 22 1 3 xy t yk xt 并整理得 22222 3230tkxt tk xt kt 解得x t 或 2 2 3 3 t tkt x tk 所以 2 22 22 36 11 33 t tktt AMktk tktk 所以 2 6 1 3 t ANk t k k 因为 2 AMAN 所以 22 2 66 211 3 3 tt kk t tk k k 整理得 2 3 63 2 kk t k 因为椭圆 E 的焦点在 x 轴 所以 3t 即 2 3 63 3 2 kk k 整理得 2 3 12 0 2 kk k 解得 3 22k 13 2016 年年 3 卷卷 11 题 题 已知为坐标原点 是椭圆 的左焦 OFC 22 22 1 0 xy ab ab 点 分别为的左 右顶点 为上一点 且轴 过点的直线 与线段 A B CPCPFx Al 交于点 与轴交于点 若直线经过的中点 则的离心率为 PFM y EBMOEC A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 答案 A 文档鉴赏 考点 椭圆方程与几何性质 思路点拨 求解椭圆的离心率问题主要有三种方法 1 直接求得的值 进而求得 a c 的值 2 建立的齐次等式 求得或转化为关于的等式求解 3 通过特殊值或 e a b c b ae 特殊位置 求出 e 14 2016 年年 3 卷卷 16 题 题 已知直线 与圆交于两 l 330mxym 22 12xy A B 点 过分别做 的垂线与轴交于两点 若 则 A B lx C D2 3AB CD 答案 4 考点 直线与圆的位置关系 技巧点拨 解决直线与圆的综合问题时 一方面 要注意运用解析几何的基本思想方法 即 几何问题代数化 把它转化为代数问题 另一方面 由于直线与圆和平面几何联系得非常紧 密 因此 准确地作出图形 并充分挖掘几何图形中所隐含的条件 利用几何知识使问题较 为简捷地得到解决 15 2016 年年 3 卷卷 20 题 题 已知抛物线 的焦点为 平行于轴的两条直线 C 2 2yx Fx 分别交于两点 交的准线于两点 12 l l C A B C PQ I 若在线段上 是的中点 证明 FABR PQARFQA 文档鉴赏 II 若的面积是的面积的两倍 求中点的轨迹方程 PQF ABF AB 答案 见解析 2 1yx 试题解析 由题设 设 则 且 0 2 1 F bylayl 210 ab 2 2 1 2 1 2 1 2 0 2 22 ba RbQaPb b B a A 记过两点的直线为 则 的方程为 3 分 BA ll 0 2 abybax 由于在线段上 故 FAB01 ab 记的斜率为 的斜率为 则 AR1 kFQ 2 k 2 22 1 1 1 kb a ab aaba ba a ba k 所以 5 分 ARFQA 设 与轴的交点为 lx 0 1 xD 则 2 2 1 2 1 2 1 1 ba SxabFDabS PQFABF 由题设可得 所以 舍去 22 1 2 1 1 ba xab 0 1 x1 1 x 设满足条件的的中点为 AB yxE 当与轴不垂直时 由可得 ABxDEAB kk 1 1 2 x x y ba 而 所以 y ba 2 1 1 2 xxy 文档鉴赏 当与轴垂直时 与重合 所以 所求轨迹方程为 12 分 ABxED 1 2 xy 考点 1 抛物线定义与几何性质 2 直线与抛物线位置关系 3 轨迹求法 方法归纳 1 解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为 利用向量证明 2 求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法 相关点法 利用 代入法求解时必须找准主动点与从动点 16 2017 年年 1 卷卷 15 题 题 已知双曲线 的右顶点为 以为 22 22 xy C ab 0a 0b AA 圆心 为半径作圆 圆与双曲线的一条渐近线交于 两点 若 bAACMN 则的离心率为 60MAN C 答案 2 3 3 解析 如图 OAa ANAMb 60MAN 3 2 APb 22 22 3 4 OPOAPAab 22 3 2 tan 3 4 b AP OP ab 又 解得 tan b a 22 3 2 3 4 b b a ab 22 3ab 2 2 12 3 11 33 b e a 17 2017 年年 1 卷卷 20 题 题 已知椭圆 四点 C 22 22 1 xy ab 0ab 1 1 1P 2 01P 中恰有三点在椭圆上 3 3 1 2 P 4 3 1 2 P C 1 求的方程 C 2 设直线 不经过点且与相交于 两点 若直线与直线的斜率的和为 l2 P CAB2 P A 2 P B 证明 过定点 1 l 文档鉴赏 解析 1 根据椭圆对称性 必过 3 P 4 P 又横坐标为 1 椭圆必不过 所以过三点 4 P 1 P 234 PPP 将代入椭圆方程得 23 3 011 2 PP 解得 2 22 1 1 3 1 4 1 b ab 2 4a 2 1b 椭圆的方程为 C 2 2 1 4 x y 2 当斜率不存在时 设 AA l xmA myB my 22 112 1 AA P AP B yy kk mmm 得 此时 过椭圆右顶点 不存在两个交点 故不满足 2m l 当斜率存在时 设 1lykxb b 1122 A xyB xy 联立 整理得 22 440 ykxb xy 222 148440kxkbxb 12 2 8 14 kb xx k 2 12 2 44 14 b xx k 则 22 12 12 11 P AP B yy kk xx 212121 12 xkxbxxkxbx x x 22 2 2 2 8888 14 44 14 kbkkbkb k b k 又 81 1 411 k b bb 1b 此时 存在 使得成立 21bk 64k k0 直线 的方程为 l 21ykxk 当时 2x 1y 所以 过定点 l 21 18 2017 年年 2 卷卷 9 题 题 若双曲线 的一条渐近线被圆C 22 22 1 xy ab 0a 0b 所截得的弦长为 2 则的离心率为 2 2 24xy C A 2 B C D 32 2 3 3 文档鉴赏 命题意图命题意图 主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系 意在考查考生的转化与化归思想 解析解析 解法一 常规解法解法一 常规解法 根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为 根据直线与圆的位置关系可求得圆心到 b yx a 渐进线的距离为 圆心到渐近线的距离为 即 解得 3 2 2 1 b a b a 2 2 3 1 b a b a 2e 解法二 待定系数法解法二 待定系数法 设渐进线的方程为 根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为 ykx 3 圆心到渐近线的距离为 即 解得 由于渐近线的斜率与离心率 2 2 1 k k 2 2 3 1 k k 2 3k 关系为 解得 22 1ke 2e 19 2017 年年 2 卷卷 16 题 题 已知是抛物线的焦点 是上一点 的延长FC 2 8yx CF 线交轴于点 若为的中点 则 y F F 命题意图命题意图 本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系 意在考查考生的转化与 化归思想运算求解的能力 解析解析 解法一 几何法解法一 几何法 文档鉴赏 点为线段的中点MNF 1 M x 23 M MFx 26NFMF 知识拓展知识拓展 本题从抛物线定义入手 定比分点求坐标 这是基础概念题 课本习题常有练 习 20 2017 年年 2 卷卷 20 题 题 设 O 为坐标原点 动点 M 在椭圆 C 上 过 M 做 x 轴的垂线 垂足为 N 点 P 2 2 1 2 x y 满足 2NPNM 1 求点 P 的轨迹方程 2 设点 Q 在直线 x 3 上 且 证明 过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点1OP PQ F 命题意图 椭圆 定值问题的探索 运算求解能力 基本解法 解法一 相关点法求轨迹 设 则 00 M xy 0 0 N x P x y 0 NPxxy 0 0 NMy 又 所以 则 2NPNM 00 2 0 xxyy 00 2xxyy 又在椭圆 C 上 所以 00 M xy 2 2 0 0 1 2 x y 所以 22 2xy 解法二 椭圆 C 的参数方程为 为参数 2cos sin x y 设 2cos sinM 2cos 0N P x y 文档鉴赏 则 2cos NPxy 0 sinNM 又 所以 则 2NPNM 2cos 2 0 sinxy 2cos 2sinxy 则 22 2xy 解法一 设 则 2cos 2sinP 1 3 Qy 1 0F 2cos 2sinOP 1 3 OQy 1 32cos y2sinPQ 12cos 2sinPF 又 所以 1OP PQ 22 11 2cos 2sin32cos y2sin3 2cos2cos2sin2sin1y 即 1 3 2cos2sin3y 那么 1 12cos 2sin3 y33 2cos2 sin0PF OQy 所以 PFOQ 即过垂直于的直线 过椭圆 C 的左焦点 POQlF 解法二 设 则 11 P x y 2 3 Qy 1 0F 11 OPx y 2 3 OQy 121 3 PQx yy 11 1 PFxy 又 所以 1OP PQ 22 1112111121 3 31x yx yyxxy yy 又在上 所以 11 P x y 22 2xy 112 33xy y 又 112112 1 3 330PF OQxyyxy y 所以 PFOQ 即过垂直于的直线 过椭圆 C 的左焦点 POQlF 21 2017年年3卷卷5题 题 已知双曲线 的一条渐近线方程为 22 22 1 xy C ab 0a 0b 文档鉴赏 且与椭圆有公共焦点 则的方程为 5 2 yx 22 1 123 xy C A B C D 22 1 810 xy 22 1 45 xy 22 1 54 xy 22