大学物理课后习题答案第六章

文档鉴赏 第第 6 6 章章 真空中的静电场真空中的静电场 习题及答案习题及答案 1 电荷为和的两个点电荷分别置于m 和m 处 一试验电荷置于q q2 1 x1 x 轴上何处 它受到的合力等于零 x 解 根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定 只有试验电荷位 0 q 于点电荷的右侧 它受到的合力才可能为 所以q 0 2 0 0 2 0 0 1 4 1 4 2 x qq x qq 故 223 x 2 电量都是的三个点电荷 分别放在正三角形的三个顶点 试问 1 在这三角形q 的中心放一个什么样的电荷 就可以使这四个电荷都达到平衡 即每个电荷受其他三个电荷 的库仑力之和都为零 2 这种平衡与三角形的边长有无关系 解 1 以处点电荷为研究对象 由力平衡知 为负电荷 所以A q 20 2 2 0 3 3 4 1 30cos 4 1 2 a qq a q 故qq 3 3 2 与三角形边长无关 3 如图所示 半径为 电荷线密度为的一个均匀带电圆环 在其轴线上放一长R 1 为 电荷线密度为的均匀带电直线段 该线段的一端处于圆环中心处 求该直线段受l 2 到的电场力 解 先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强 在带电圆环上取 在带dldq 1 dq 电圆环轴线上处产生的场强大小为x 4 22 0 Rx dq dE 根据电荷分布的对称性知 0 zy EE 2 3 22 0 4 1 cos Rx xdq dEdEx 式中 为到场点的连线与轴负向的夹角 dqx R O 1 2 l x y z 文档鉴赏 2 3 22 0 4 dq Rx x Ex 2 3 22 1 0 2 4 Rx Rx 2 3 22 0 1 2 Rx xR 下面求直线段受到的电场力 在直线段上取 受到的电场力大小为dxdq 2 dq dqEdF x dx Rx xR 2 3 22 0 21 2 方向沿轴正方向 x 直线段受到的电场力大小为 dFFdx Rx xR l 0 2 3 22 0 21 2 2 1 22 0 21 11 Rl R R 2 方向沿轴正方向 x 4 一个半径为的均匀带电半圆环 电荷线密度为 求 R 1 圆心处点的场强 O 2 将此带电半圆环弯成一个整圆后 圆心处点场强 O 解 1 在半圆环上取 它在点产生场强大小为 Rdldq dO 方向沿半径向外 2 0 4R dq dE d R 0 4 根据电荷分布的对称性知 0 y E d R dEdExsin 4 sin 0 R d R Ex 00 0 2 sin 4 故 方向沿轴正向 R EE x 0 2 x 2 当将此带电半圆环弯成一个整圆后 由电荷分布的对称性可知 圆心处电场强度 为零 5 如图所示 真空中一长为的均匀带电细直杆 总电量为 试求在直杆延长线上Lq 距杆的一端距离为的点的电场强度 dP 文档鉴赏 解 建立图示坐标系 在均匀带电细直杆上取 在点产生的场dx L q dxdq dqP 强大小为 方向沿轴负方向 2 0 2 0 44x dx x dq dE x 故 点场强大小为P Ld d P x dx dEE 2 0 4 Ldd q 0 4 方向沿轴负方向 x 6 一半径为的均匀带电半球面 其电荷面密度为 求球心处电场强度的大小 R 解 建立图示坐标系 将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环 应用场强叠加原 理求解 在半球面上取宽度为的细圆环 其带电量 dlrdldSdq 2 dR sin2 2 在点产生场dqO 强大小为 参见教 材中均匀带电圆环 轴线上的场强公式 2 3 22 0 4rx xdq dE 方向沿轴负方向x 利用几何关系 统一积分变量 得 cosRx sinRr 2 3 22 0 4rx xdq dE dR R R sin2 cos 4 1 2 3 0 dcossin 2 0 因为所有的细圆环在在点产生的场强方向均沿为轴负方向 所以球心处电场强度的大Ox 小为 dEE dcossin 2 2 0 0 0 4 L d q P x O O R x dl r 文档鉴赏 方向沿轴负方向 x 7 一 无限大 平面 中部有一半径为的圆孔 设平面上均匀带电 电荷面密度为R 如图所示 试求通过小孔中心并与平面垂直的直线上各点的场强 O 解 应用补偿法和场强叠加原理求解 若把半径为的圆孔看作由等量的正 负电荷重叠而成 挖去圆孔的带电平面等效为R 一个完整的 无限大 带电平面和一个电荷面密度为的半径为的带电圆盘 由 R 场强叠加原理知 点的场强等效于 无限大 带电平面和带电圆盘在该处产生的场强的P 矢量和 无限大 带电平面在点产生的场强大小为P 方向沿轴正方向 0 1 2 Ex 半径为 电荷面密度的圆盘在点产生的场强大小为 参见教材中均匀带电圆R P 盘轴线上的场强公式 方向沿轴负方向 0 2 2 E 1 22 xR x x 故点的场强大小为P 22 0 21 2xR x EEE 方向沿轴正方向 x 8 1 点电荷位于一边长为的立方体中心 试求在该点电荷电场中穿过立方体的qa 一个面的电场强度通量 2 如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上 这时穿过立 方体各面的电场强度通量是多少 解 1 由高斯定理求解 立方体六个面 当在立方体中心时 每个 0 d q SE s q 面上电通量相等 所以通过各面电通量为 0 6 q e 2 电荷在顶点时 将立方体延伸为边长的立方体 使处于边长的立方体中a2qa2 心 则通过边长的正方形各面的电通量a2 0 6 q e 对于边长的正方形 如果它不包含所在的顶点 则 如果它包含所aq 0 24 q e q 在顶点 则 0 e 9 两个无限大的平行平面都均匀带电 电荷的面密度分别为 和 试求空间各处场强 1 2 O R x P x 1 E 2 E 2 1 文档鉴赏 解 如图所示 电荷面密度为的平面产生的场强大小为 1 方向垂直于该平面指向外侧 0 1 2 E 电荷面密度为的平面产生的场强大小为 2 方向垂直于该平面指向外侧 0 2 2 E 由场强叠加原理得 两面之间 方向垂直于平面向右 2 1 21 0 21 EEE 面左侧 方向垂直于平面向左 1 2 1 21 0 21 EEE 面右侧 方向垂直于平面向右 2 2 1 21 0 21 EEE 10 如图所示 一球壳体的内外半径分别为和 电荷均匀地分布在壳体内 电 1 R 2 R 荷体密度为 试求各区域的电场强度分布 0 解 电场具有球对称分布 以为半径作同心球面为高斯面 由高斯定理r 得 i S qSdE 0 1 i qrE 0 2 1 4 当时 所以 1 Rr 0 i q 0 E 当时 所以 21 RrR 3 4 3 4 3 1 3 Rrqi 2 0 3 1 3 3 r Rr E 当时 所以 2 Rr 3 4 3 4 3 1 3 2 RRqi 2 0 3 1 3 2 3 r RR E 文档鉴赏 11 有两个均匀带电的同心带电球面 半径分别为和 若大球面的 1 R 2 R 12 RR 面电荷密度为 且大球面外的电场强度为零 求 1 小球面上的面电荷密度 2 大球面内各点的电场强度 解 1 电场具有球对称分布 以为半径作同心球面为高斯面 由高斯定理r 得 i S qSdE 0 1 i qrE 0 2 1 4 当时 所以 2 Rr 0 E044 2 1 2 2 RRqi 2 1 2 R R 2 当时 所以 1 Rr 0 i q 0 E 当时 所以 21 RrR 2 2 2 1 44RRqi 0 22 r R E 负号表示场强方向沿径向指向球心 12 一厚度为的无限大的带电平板 平板内均匀带电 其体电荷密度为 求板内d 外的场强 解 电场分布具有面对称性 取同轴闭合圆柱面为高斯面 圆柱面与平板垂直 设两 底面圆到平板中心的距离均为 底面圆的面积为 由高斯定理得xS i S qSdE 0 1 i qSESE 0 1 0 S SdE 当时 平板内部 所以 2 d x Sxqi 2 0 x E 当 平板外部 所以 2 d x Sdqi 0 2 d E 文档鉴赏 13 半径为的无限长直圆柱体均匀带电 体电荷密度为 求其场强分布 R 解 电场分布具有轴对称性 取同轴闭合圆柱面为高斯面 圆柱面高为 底面圆半l 径为 应用高斯定理求解 r i S qrlESE 0 1 2d 1 当时 所以Rr lrqi 2 0 2 r E 2 当时 所以Rr lRqi 2 r R E 0 2 2 14 一半径为的均匀带电圆盘 电荷面密度为 设无穷远处为电势零点 求圆盘中R 心点的电势 O 解 取半径为 的细圆环 则在点产生的电势为rdrrdrdSdq 2 dqO 00 24 dr r dq dV 圆盘中心点的电势为O drdVV R 0 0 2 0 2 R 15 真空中两个半径都为 R 的共轴圆环 相距为 两圆环均匀带电 电荷线密度分l 别是和 取两环的轴线为轴 坐标原点 O 离两环中心的距离均为 如图所示 x 2 l 求轴上任一点的电势 设无穷远处为电势零点 x 解 在右边带电圆环上取 它在轴上任一点产生的的电势为dqxP 22 0 2 4Rlx dq dV 右边带电圆环在产生的的电势为P dq Rlx dVV 22 0 2 4 1 22 0 2 2Rlx R 同理 左边带电圆环在 P 产生的电势为 文档鉴赏 22 0 2 2Rlx R V 由电势叠加原理知 的电势为P 0 2 R VVV 22 2 1 Rlx 2 1 22 Rlx 16 真空中一半径为的球形区域内均匀分布着体电荷密度为的正电荷 该区域内R 点离球心的距离为 点离球心的距离为 求 两点间的电势差aR 3 1 bR 3 2 ab ab U 解 电场分布具有轴对称性 以为球心 作半径为的同心球面为高斯面 由高斯Or 定理得 i S qSdE 0 1 当时 所以Rr 3 0 2 3 41 4rrE 0 3 r E 两点间的电势差为ab b a ab rdEU 0 2 0 3 2 3 183 R dr r R R 17 细长圆柱形电容器由同轴的内 外圆柱面构成 其半径分别为和 aa3 两圆柱面间为真空 电容器充电后内 外两圆柱面之间的电势差为 求 U 1 内圆柱面上单位长度所带的电量 2 在离轴线距离处的电场强度大小 ar2 解 1 电场分布具有轴对称性 取同轴闭合圆柱面为高斯面 圆柱面高为 底面l 圆半径为 应用高斯定理求解 r i S qrlESE 0 1 2d 内 外两圆柱面之间 所以lqi r E 0 2 内 外两圆柱面之间的电势差为 dr r rdEU a a a a 3 0 3 2 3ln 2 0 内圆柱面上单位长度所带的电量为 文档鉴赏 3ln 2 0U 2 将代人场强大小的表达式得 3lnr U E 在离轴线距离处的电场强度大小为ar2 3ln2a U E 18 如图所示 在 两点处放有电量分别为 的点电荷 间距离为 ABqqABR2 现将另一正试验点电荷从点经过半圆弧移到点 求移动过程中电场力作的功 0 qOC 解 点的电势为O R q VO 0 4 0 4 0 R q 点的电势为C R q VC 3 4 0 R q 0 4 R q 0 6 电场力作的功为 R qq VVqA o CO 0 0 6 19 如图所示 均匀带电的细圆环半径为 所带电量为 圆环的圆心RQ0 Q 为 一质量为 带电量为 的粒子位于圆环轴线上的点处 点离点Omq0 qPPO 的距离为 求 d 1 粒子所受的电场力的大小和方向 F 2 该带电粒子在电场力的作用下从点由静止开始沿轴线运动 当粒子运动到F P 无穷远