2014年广州市一模数学试题答案(文科)

数学 文科 试题参考答案及评分标准 第 1 页 共 9 页 2014 年广州市普通高中毕业班综合测试 一 年广州市普通高中毕业班综合测试 一 数学 文科 试题参考答案及评分标准数学 文科 试题参考答案及评分标准 说明 说明 1 参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与参考答案不同 可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2 对解答题中的计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的得分 但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题考查基本知识和基本运算 共一 选择题 本大题考查基本知识和基本运算 共 1010 小题 每小题 满分小题 每小题 满分 5050 分 分 题号题号12345678910 答案答案CABACABDBC 二 填空题 本大题考查基本知识和基本运算 体现选择性 共二 填空题 本大题考查基本知识和基本运算 体现选择性 共 5 小题 每小题 满分小题 每小题 满分 20 分 其中分 其中 14 15 题是选做题 考生只能选做一题 题是选做题 考生只能选做一题 题号题号1112131415 答案答案7413或1 5 2 3 三 三 解答题 本大题共解答题 本大题共6小题 满分小题 满分80分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 本小题满分 本小题主要考查古典概型等基础知识 考查化归与转化的数学思想方法 以及数据处理能力与应用意 本小题主要考查古典概型等基础知识 考查化归与转化的数学思想方法 以及数据处理能力与应用意 识 识 1 解 解 记 从6瓶饮料中任意抽取1瓶 抽到没过保质期的饮料 为事件 A 从 6 瓶饮料中中任意抽取 1 瓶 共有 6 种不同的抽法 因为 6 瓶饮料中有 2 瓶已过保质期 所以事件包含 4 种情形 A 则 42 63 P A 所以从 6 瓶饮料中任意抽取 1 瓶 抽到没过保质期的饮料的概率为 2 3 2 解法解法 1 记 从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶 抽到已过保质期的饮料 为事件 B 随机抽取 2 瓶饮料 抽到的饮料分别记为 xy 则表示第一瓶抽到的是 第二瓶抽到的是 则是一个基本事件 yxxy yx 由于是随机抽取 所以抽取到的任何基本事件的概率相等 不妨设没过保质期的饮料为 数学 文科 试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 9 页 1 2 3 4 已过保质期的饮料为 ab 则从 6 瓶饮料中依次随机抽取 2 瓶的基本事件有 1 2 1 3 1 4 1 a 1 b 2 1 2 3 2 4 2 a 2 b 3 1 3 2 3 4 3 a 3 b 4 1 4 2 4 3 4 a 4 b 1a 2a 3a 4a a b 1b 2b 3b 4b b a 共 30 种基本事件 由于 2 瓶饮料中有 1 瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料 所以事件包含的基本事件有 B 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 b 4 a 4 b 1a 2a 3a 4a a b 1b 2b 3b 4b b a 共 18 种基本事件 则 183 305 P B 所以从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶 抽到已过保质期的饮料的概率为 3 5 解法解法 2 记 从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶 抽到已过保质期的饮料 为事件 B 随机抽取 2 瓶饮料 抽到的饮料分别记为 则是一个基本事件 xy yx 由于是随机抽取 所以抽取到的任何基本事件的概率相等 不妨设没过保质期的饮料为 1 2 3 4 已过保质期的饮料为 ab 则从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶的基本事件有 1 2 1 3 1 4 1 a 1 b 2 3 2 4 2 a 2 b 3 4 3 a 3 b 4 a 4 b a b 共 15 种基本事件 由于 2 瓶饮料中有 1 瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料 所以事件包含的基本事件有 B 1 a 1 b 2 a 2 b 3 a 3 b 4 a 4 b a b 共 9 种基本事件 则 93 155 P B 所以从 6 瓶饮料中随机抽取 2 瓶 抽到已过保质期的饮料的概率为 3 5 数学 文科 试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 9 页 17 本小题满分 本小题满分 本小题主要考查三角函数图象的周期性与单调性 同角三角函数的基本关系 三角函数的化简等知识 本小题主要考查三角函数图象的周期性与单调性 同角三角函数的基本关系 三角函数的化简等知识 考查化归与转化的数学思想方法 以及运算求解能力 考查化归与转化的数学思想方法 以及运算求解能力 解 解 1 因为函数的图象经过点 sincosf xxax 0 3 所以 0 3 f 即 sincos0 33 a 即 3 0 22 a 解得 3a 2 由 1 得 sin3cosf xxx 13 2sincos 22 xx 2 sin coscos sin 33 xx 2sin 3 x 所以函数的最小正周期为 xf2 因为函数的单调递增区间为 sinyx 2 2 22 kk k Z 所以当时 函数单调递增 2 2 232 kxk k Z xf 即时 函数单调递增 5 2 2 66 kxk k Z xf 所以函数的单调递增区间为 xf 5 2 2 66 kk k Z 数学 文科 试题参考答案及评分标准 第 4 页 共 9 页 18 本小题满分 本小题满分 本小题主要考查空间线面关系 几何体的体积等知识 考查数形结合 化归与转化的数学思想方法 本小题主要考查空间线面关系 几何体的体积等知识 考查数形结合 化归与转化的数学思想方法 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 以及空间想象能力 推理论证能力和运算求解能力 1 证明 证明 连结 11 B DBD 因为四边形是正方形 所以 1111 ABC D 1111 ACB D 在正方体中 平面 1111 ABCDABC D 1 DD 1111 ABC D 平面 所以 11 AC 1111 ABC D 111 ACDD 因为 平面 1111 B DDDD 11 B D 1 DD 11 BB D D 所以平面 11 AC 11 BB D D 因为平面 所以 EF 11 BB D D 11 EFAC 2 解 解 取的中点 连结 则 1 C CHBHBHAEA 在平面中 过点作 则 11 BBC CFFGBHAFGAEA 连结 则 四点共面 EGAEGF 因为 1 11 22 CHC Ca 1 11 33 HGBFC Ca 所以 1 C G 1 1 6 C CCHHGa 故当时 四点共面 1 C G 1 6 a AEGF 3 解 解 因为四边形是直角梯形 EFBD 所以几何体为四棱锥 ABFEDAEFBD 因为 2 11 2 5 232 2212 EFBD aaa BFDE BD Sa 点到平面的距离为 AEFBD 12 22 hACa 所以 23 115 225 3312236 A EFBDEFBD VShaaa 故几何体的体积为 ABFED 3 5 36 a 1 D A B CD E F 1 A 1 B 1 C 1 D A B CD E F 1 A 1 B 1 C G H 数学 文科 试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 9 页 19 本小题满分 本小题满分 本小题主要考查等差数列 分组求和等知识 考查化归与转化的数学思想方法 以及运算求解能力和 本小题主要考查等差数列 分组求和等知识 考查化归与转化的数学思想方法 以及运算求解能力和 创新意识 创新意识 解 解 1 因为等差数列的首项为 10 公差为 2 n a 所以 1012 n an 即 28 n an 所以 6 2 nn n ban 2 2nn 2 由 1 知 2 228 nn bannn 2 482 3222 3nnnn 因为 所以当时 当时 522 36 5n nn ab 5n nn ba 所以 max nnn ca b 2 28 5 2 5 nn nnn 当时 5n 123nn Scccc 123n aaaa 10 12 1428n 1028 2 n n 2 9nn 当时 5n 123nn Scccc 12567n aaabbb 22222 59 562 672 782 82nn 2222 706782 678nn 222222222 65 70123123452 2 nn n 121 705565 6 n nn nn 数学 文科 试题参考答案及评分标准 第 6 页 共 9 页 32 115 45 326 nnn 综上可知 n S 2 32 9 5 115 45 5 326 nnn nnnn 20 本小题满分 本小题满分 本小题主要考查函数的极值 函数的导数 函数的零点与单调性等知识 考查数形结合 化归与转化 本小题主要考查函数的极值 函数的导数 函数的零点与单调性等知识 考查数形结合 化归与转化 分类与讨论的数学思想方法 以及运算求解能力 抽象概括能力与创新意识 分类与讨论的数学思想方法 以及运算求解能力 抽象概括能力与创新意识 解 解 1 因为 32 693f xxxx 所以 2 3129fxxx 313xx 令 0fx 可得1x 或3x 则 fxf x在上的变化情况为 R x 1 1 1 33 3 fx 0 0 f x增函数1减函数3 增函数 所以当时 函数有极大值为 1 当时 函数有极小值为 1x f x3x f x3 2 假设函数在上存在 域同区间 f x 3 s t 3st 由 1 知函数在上单调递增 f x 3 所以即 f ss f tt 32 32 693 693 ssss tttt 也就是方程有两个大于 3 的相异实根 32 693xxxx 设 32 683g xxxx 3x 则 2 3128g xxx 令 解得 gx 0 1 2 233 3 x 2 2 233 3 x 当时 当时 2 3xx gx 0 2 xx gx 0 所以函数在区间上单调递减 在区间上单调递增 g x 2 3 x 2 x 数学 文科 试题参考答案及评分标准 第 7 页 共 9 页 因为 3 60g 2 30g xg 5120g 所以函数在区间上只有一个零点 g x 3 这与方程有两个大于 3 的相异实根相矛盾 所以假设不成立 32 693xxxx 所以函数在上不存在 域同区间 f x 3 21 本小题满分 本小题满分 本小题主要考查直线的斜率 双曲线的方程 直线与圆锥曲线的位置关系等知识 考查数形结合 化 本小题主要考查直线的斜率 双曲线的方程 直线与圆锥曲线的位置关系等知识 考查数形结合 化 归与转化 函数与方程的数学思想方法 以及推理论证能力和运算求解能力 归与转化 函数与方程的数学思想方法 以及推理论证能力和运算求解能力 1 解 解 设双曲线的半焦距为 Ec 由题意可得 22 3 5 5 4 c a ca 解得 5a 2 证明 证明 由 1 可知 直线 点 设点 2 5 33 a x 2 3 0F 5 3 Pt 00 Q xy 因为 所以 22 0PF QF A 00 5 3 3 0 3 txy A 所以 00 4 3 3 tyx 因为点在双曲线上 所以 即 00 Q xyE 22 00 1 54 xy 22 00 4 5 5 yx 所以 2 0000 2 0 000 55 33 PQOQ ytyyty kk x xxx 2 00 2 00 44 53 4 53 5 5 3 xx xx 所以直线与直线的斜率之积是定值 PQOQ 4 5 数学 文科 试题参考答案及评分标准 第 8 页 共 9 页 3 证法证法 1 1 设点 且过点的直线 与双曲线的右支交于不同两点 H x y 5 1 3 P lE 11 M xy 由 2 知 22 N xy 22 11 4 5 5 yx 22 22 4 5 5 yx 设 则 PMMH PNHN PMPN MHHN 即 1122 1122 55 1 1 33 xyxy xxyyxx yy 整理 得 12 12 12 12 5 1 3 1 1 1 xx yy xxx yyy 由 得 2222 12 2222 12 5 1 3 1 xxx yyy 将 代入 得 22 11 4 5 5 yx 22 22 4 5 5 yx 222 12 2 4 4 51 xx y 将 代入 得 4 4 3 yx 所以点恒在定直线上 H43120 xy 证法证法 2 依题意 直线 的斜率存在 lk 设直线 的方程为 l 5 1 3 yk x 由 22 5 1 3 1 54 yk x xy 消去得 y 2222 9 4530 5325 5690kxkk xkk 因为直线 与双曲线的右支交于不同两点 lE 11 M xy 22 N xy 数学 文科 试题参考答案及评分标准 第 9 页 共 9 页 则有 2 222 2 12 2 2 12 2 900 53900 455690 3