全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅱ)及答案(分析解答)

文档鉴赏 2007 年全国统一高考数学试卷 理科 年全国统一高考数学试卷 理科 全国卷 全国卷 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 60 分 分 1 5 分 求值 sin210 A B C D 2 5 分 函数 y sinx 的一个单调增区间是 A B C D 3 5 分 设复数 z 满足 i 则 z A 2 i B 2 iC 2 iD 2 i 4 5 分 以下四个数中的最大者是 A ln2 2B ln ln2 C lnD ln2 5 5 分 在 ABC 中 已知 D 是 AB 边上一点 若 2 则 A B C D 6 5 分 不等式的解集是 A 2 B 2 1 2 C 2 1 D 2 1 7 5 分 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 则 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于 A B C D 8 5 分 已知曲线的一条切线的斜率为 则切点的横坐标为 A 3B 2C 1D 文档鉴赏 9 5 分 把函数 y ex的图象按向量 2 3 平移 得到 y f x 的图象 则 f x A ex 3 2B ex 3 2C ex 2 3D ex 2 3 10 5 分 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五 星期六 星期日参加公益活动 每人一天 要求星期五有 2 人参加 星期六 星期日各有 1 人参加 则不同的选 派方法共有 A 40 种B 60 种C 100 种D 120 种 11 5 分 设 F1 F2分别是双曲线的左 右焦点 若双曲线上存在点 A 使 F1AF2 90 且 AF1 3 AF2 则双曲线离心率为 A B C D 12 5 分 设 F 为抛物线 y2 4x 的焦点 A B C 为该抛物线上三点 若 则的值为 A 3B 4C 6D 9 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 13 5 分 1 2x2 x 8的展开式中常数项为 14 5 分 在某项测量中 测量结果 服从正态分布 N 1 2 若 在 0 1 内取值的概率为 0 4 则 在 0 2 内取值的概率为 15 5 分 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上 如果正四棱 柱的底面边长为 1cm 那么该棱柱的表面积为 cm2 16 5 分 已知数列的通项 an 5n 2 其前 n 项和为 Sn 则 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 70 分 分 17 10 分 在 ABC 中 已知内角 A 边 BC 2 设内角 B x 周长为 y 1 求函数 y f x 的解析式和定义域 文档鉴赏 2 求 y 的最大值 18 12 分 从某批产品中 有放回地抽取产品二次 每次随机抽取 1 件 假设 事件 A 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品 的概率 P A 0 96 1 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p 2 若该批产品共 100 件 从中任意抽取 2 件 求事件 B 取出的 2 件产品中 至少有一件二等品 的概率 P B 19 12 分 如图 在四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 为正方形 侧棱 SD 底面 ABCD E F 分别是 AB SC 的中点 1 求证 EF 平面 SAD 2 设 SD 2CD 求二面角 A EF D 的大小 20 12 分 在直角坐标系 xOy 中 以 O 为圆心的圆与直线 x y 4 相切 1 求圆 O 的方程 2 圆 O 与 x 轴相交于 A B 两点 圆内的动点 P 使 PA PO PB 成等比 数列 求的取值范围 21 12 分 设数列 an 的首项 a1 0 1 an n 2 3 4 1 求 an 的通项公式 2 设 求证 bn bn 1 其中 n 为正整数 22 12 分 已知函数 f x x3 x 文档鉴赏 1 求曲线 y f x 在点 M t f t 处的切线方程 2 设 a 0 如果过点 a b 可作曲线 y f x 的三条切线 证明 a b f a 2007 年全国统一高考数学试卷 理科 年全国统一高考数学试卷 理科 全国卷 全国卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 60 分 分 1 5 分 2007 全国卷 求值 sin210 A B C D 分析 通过诱导公式得 sin 210 sin 210 180 sin30 得出答案 解答 解 sin 210 sin 210 180 sin30 故答案为 D 2 5 分 2007 全国卷 函数 y sinx 的一个单调增区间是 A B C D 分析 画出 y sinx 的图象即可得到答案 解答 解 根据 y sinx 的图象 如图 函数 y sinx 的一个单调增区间是 故选 C 3 5 分 2007 全国卷 设复数 z 满足 i 则 z 文档鉴赏 A 2 i B 2 iC 2 iD 2 i 分析 将复数 z 设 a bi a b R 代入复数方程 利用复数相等的条件解出 复数 z 解答 解 设复数 z a bi a b R 满足 i 1 2i ai b z 2 i 故选 C 4 5 分 2007 全国卷 以下四个数中的最大者是 A ln2 2B ln ln2 C lnD ln2 分析 根据 lnx 是以 e 1 为底的单调递增的对数函数 且 e 2 可知 0 ln2 1 ln ln2 0 故可得答案 解答 解 0 ln2 1 ln ln2 0 ln2 2 ln2 而 ln ln2 ln2 最大的数是 ln2 故选 D 5 5 分 2007 全国卷 在 ABC 中 已知 D 是 AB 边上一点 若 2 则 A B C D 分析 本题要求字母系数 办法是把表示出来 表示时所用的基底要和题目 中所给的一致 即用和表示 画图观察 从要求向量的起点出发 沿着三角 形的边走到终点 把求出的结果和给的条件比较 写出 解答 解 在 ABC 中 已知 D 是 AB 边上一点 2 故选 A 文档鉴赏 6 5 分 2007 全国卷 不等式的解集是 A 2 B 2 1 2 C 2 1 D 2 1 分析 首先不等式的分母可化为 x 2 x 2 不等式的分子和分母 共由 3 个一次因式构成 要使得原不等式大于 0 可等同于 3 个因式的乘积大于 0 再可根据串线法直接求解 解答 解 依题意 原不等式可化为 等同于 x 2 x 1 x 2 0 可根据串线法直接解得 2 x 1 或 x 2 故答案应选 B 7 5 分 2007 全国卷 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 则 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于 A B C D 分析 根据正三棱柱及线面角的定义知 取 A1C1的中点 D1 B1AD1是所求的 角 再由已知求出正弦值 解答 解 取 A1C1的中点 D1 连接 B1D1 AD1 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 B1D1 面 ACC1A1 则 B1AD1是 AB1与侧面 ACC1A1所成的角 正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 文档鉴赏 故选 A 8 5 分 2007 全国卷 已知曲线的一条切线的斜率为 则切 点的横坐标为 A 3B 2C 1D 分析 根据斜率 对已知函数求导 解出横坐标 要注意自变量的取值区间 解答 解 设切点的横坐标为 x0 y0 曲线的一条切线的斜率为 y 解得 x0 3 或 x0 2 舍去 不符合题意 即切点的横坐标为 3 故选 A 9 5 分 2007 全国卷 把函数 y ex的图象按向量 2 3 平移 得到 y f x 的图象 则 f x A ex 3 2B ex 3 2C ex 2 3D ex 2 3 分析 平移向量 h k 就是将函数的图象向右平移 h 个单位 再向上平移 k 个单位 解答 解 把函数 y ex的图象按向量 2 3 平移 即向右平移 2 个单位 再向上平移 3 个单位 平移后得到 y f x 的图象 f x ex 2 3 故选 C 10 5 分 2009 湖北 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五 星期六 星期日 参加公益活动 每人一天 要求星期五有 2 人参加 星期六 星期日各有 1 人参 加 则不同的选派方法共有 A 40 种B 60 种C 100 种D 120 种 分析 分 2 步进行 首先从 5 人中抽出两人在星期五参加活动 再从剩下的 3 文档鉴赏 人中 抽取两人安排在星期六 星期日参加活动 分别计算其情况数目 由分步 计数原理计算可得答案 解答 解 根据题意 首先从 5 人中抽出两人在星期五参加活动 有 C52种情 况 再从剩下的 3 人中 抽取两人安排在星期六 星期日参加活动 有 A32种情况 则由分步计数原理 可得不同的选派方法共有 C52A32 60 种 故选 B 11 5 分 2007 全国卷 设 F1 F2分别是双曲线的左 右焦 点 若双曲线上存在点 A 使 F1AF2 90 且 AF1 3 AF2 则双曲线离心率为 A B C D 分析 由题设条件设 AF2 1 AF1 3 双曲线中 2a AF1 AF2 2 由此可以求出双曲线的离心率 解答 解 设 F1 F2分别是双曲线的左 右焦点 若双曲线上存在点 A 使 F1AF2 90 且 AF1 3 AF2 设 AF2 t AF1 3t t 0 双曲线中 2a AF1 AF2 2t t 离心率 故选 B 12 5 分 2007 全国卷 设 F 为抛物线 y2 4x 的焦点 A B C 为该抛物线 上三点 若 则的值为 A 3B 4C 6D 9 分析 先设 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 根据抛物线方程求得焦点坐 文档鉴赏 标和准线方程 再依据 0 判断点 F 是 ABC 重心 进而可求 x1 x2 x3 的值 最后根据抛物线的定义求得答案 解答 解 设 A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 抛物线焦点坐标 F 1 0 准线方程 x 1 点 F 是 ABC 重心 则 x1 x2 x3 3 y1 y2 y3 0 而 FA x1 1 x1 1 FB x2 1 x2 1 FC x3 1 x3 1 FA FB FC x1 1 x2 1 x3 1 x1 x2 x3 3 3 3 6 故选 C 二 填空题 共二 填空题 共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 13 5 分 2007 全国卷 1 2x2 x 8的展开式中常数项为 42 分析 将问题转化成的常数项及含 x 2的项 利用二项展开式的通项 公式求出第 r 1 项 令 x 的指数为 0 2 求出常数项及含 x 2的项 进而相加可得 答案 解答 解 先求的展开式中常数项以及含 x 2的项 由 8 2r 0 得 r 4 由 8 2r 2 得 r 5 即的展开式中常数项为 C84 文档鉴赏 含 x 2的项为 C85 1 5x 2 的展开式中常数项为 C84 2C85 42 故答案为 42 14 5 分 2007 全国卷 在某项测量中 测量结果 服从正态分布 N 1 2 若 在 0 1 内取值的概率为 0 4 则 在 0 2 内取值的概率 为 0 8 分析 根据 服从正态分布 N 1 2 得到正态分布图象的对称轴为 x 1 根据在 0 1 内取值的概率为 0 4 根据根据随机变量 在 1 2 内取值的概 率与 在 0 1 内取值的概率相同 得到随机变量 在 0 2 内取值的概 率 解答 解 测量结果 服从正态分布 N 1 2 正态分布图象的对称轴为 x 1 在 0 1 内取值的概率为 0 4 随机变量 在 1 2 内取值的概率与 在 0 1 内取值的概率相同 也为 0 4 随机变量 在 0 2 内取值的概率为 0 8 故答案为 0 8 15 5 分 2007 全国卷 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球 面上 如果正四棱柱的底面边长为 1cm 那么该棱柱的表面积为 2 4 cm2 分析 本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算 由一个正四棱柱的各个 顶点在一个直径为 2cm 的球面上 如果正四棱柱的底面边长为 1cm 我们根据球 的直径等于棱柱的对角线长 我们可以求出棱柱的各棱的长度 进而得到其表面 积 解答 解 由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上 正四棱柱的对角线的长为球的直径 文档鉴赏 现正四棱柱底面边长为 1cm 设正四棱柱的高为 h 2R 2 解得 h 那么该棱柱的表面积为 2 4cm2 故答案为 2 4 16 5 分 2007 全国卷 已知数列的通项 an 5n 2 其前 n 项和为 Sn 则 分析 由通项公式知该数列是等差数列 先求出首项和公差 然后求出其前 n 项和 由此能得到的值 解答 解 数列的通项 an 5n 2 a1 3 a2 8 d 5 其前 n 项和为 Sn 则 故答案为 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 70 分 分 17 10 分 2007 全国卷 在 ABC 中 已知内角 A 边 BC 2 设内 角 B x 周长为 y 1 求函数 y f x 的解析式和定义域 2 求 y 的最大值 分析 1 由内角 A 边 BC 2 设内角 B x 周长为 y 我们结合三角 文档鉴赏 形的性质 ABC 的内角和 A B C ABC 的周长 y AB BC AC 我们可以结合 正弦定理求出函数的解析式 及自变量的取值范围 2 要求三角函数的最值 我们要利用辅助角公式 将函数的解析式 化为正 弦型函数的形式 再根据正弦型函数的最值的求法进行求解 解答 解 1 ABC 的内角和 A B C 由得 应用正弦定理 知 因为 y AB BC AC 所以 2 所以 当 即时 y 取得最大值 18 12 分 2007 全国卷 从某批产品中 有放回地抽取产品二次 每次随 机抽取 1 件 假设事件 A 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品 的概率 P A 0 96 1 求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p 2 若该批产品共 100 件 从中任意抽取 2 件 求事件 B 取出的 2 件产品中 至少有一件二等品 的概率 P B 分析 1 有放回地抽取产品二次 每次随机抽取 1 件 取出的 2 件产品中至 文档鉴赏 多有 1 件是二等品包括无二等品和恰有一件是二等品两种情况 设出概率 列出 等式 解出结果 2 由上面可以知道其中二等品有 100 0 2 20 件取出的 2 件产品中至少有一件 二等品的对立事件是没有二等品 用组合数列出结果 解答 解 1 记 A0表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 A1表示事件 取 出的 2 件产品中恰有 1 件二等品 则 A0 A1互斥 且 A A0 A1 故 P A P A0 A1 P A0 P A1 1 p 2 C21p 1 p 1 p2 于是 0 96 1 p2 解得 p1 0 2 p2 0 2 舍去 2 记 B0表示事件 取出的 2 件产品中无二等品 则 若该批产品共 100 件 由 1 知其中二等品有 100 0 2 20 件 故 19 12 分 2007 全国卷 如图 在四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 为正方形 侧棱 SD 底面 ABCD E F 分别是 AB SC 的中点 1 求证 EF 平面 SAD 2 设 SD 2CD 求二面角 A EF D 的大小 文档鉴赏 分析 法一 1 作 FG DC 交 SD 于点 G 则 G 为 SD 的中点 要证 EF 平面 SAD 只需证明 EF 平行平面 SAD 内的直线 AG 即可 2 取 AG 中点 H 连接 DH 说明 DMH 为二面角 A EF D 的平面角 解三角形 求二面角 A EF D 的大小 法二 建立空间直角坐标系 平面 SAD 即可证明 1 2 求出向量和 利用 即可解答本题 解答 解 法一 1 作 FG DC 交 SD 于点 G 则 G 为 SD 的中点 连接 又 故为平行四边形 EF AG 又 AG 平面 SAD EF 平面 SAD 所以 EF 平面 SAD 2 不妨设 DC 2 则 SD 4 DG 2 ADG 为等 腰直角三角形 取 AG 中点 H 连接 DH 则 DH AG 又 AB 平面 SAD 所以 AB DH 而 AB AG A 所以 DH 面 AEF 取 EF 中点 M 连接 MH 则 HM EF 连接 DM 则 DM EF 文档鉴赏 故 DMH 为二面角 A EF D 的平面角 所以二面角 A EF D 的大小为 法二 1 如图 建立空间直角坐标系 D xyz 设 A a 0 0 S 0 0 b 则 B a a 0 C 0 a 0 取 SD 的中点 则 平面 SAD EF 平面 SAD 所以 EF 平面 SAD 2 不妨设 A 1 0 0 则 B 1 1 0 C 0 1 0 S 0 0 2 EF 中点 又 所以向量和的夹角等于二面角 A EF D 的平面角 所以二面角 A EF D 的大小为 文档鉴赏 20 12 分 2007 全国卷 在直角坐标系 xOy 中 以 O 为圆心的圆与直线 x y 4 相切 1 求圆 O 的方程 2 圆 O 与 x 轴相交于 A B 两点 圆内的动点 P 使 PA PO PB 成等比 数列 求的取值范围 分析 首先分析到题目 1 中圆是圆心在原点的标准方程 由切线可直接求 得半径 即得到圆的方程 对于 2 根据圆内的动点 P 使 PA PO PB 成 等比数列 列出方程 再根据点 P 在圆内求出取值范围 解答 解 1 依题设 圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线的距离 文档鉴赏 即 得圆 O 的方程为 x2 y2 4 2 不妨设 A x1 0 B x2 0 x1 x2 由 x2 4 即得 A 2 0 B 2 0 设 P x y 由 PA PO PB 成等比数列 得 两边平方 可得 x2 y2 4 2 16x2 x2 y2 2 化简整理可得 x2 y2 2 x2 4 y2 2 y2 1 由于点 P 在圆 O 内 故 由此得 y2 1 所以的取值范围为 2 0 21 12 分 2007 全国卷 设数列 an 的首项 a1 0 1 an n 2 3 4 1 求 an 的通项公式 2 设 求证 bn bn 1 其中 n 为正整数 分析 1 由题条件知 所以 1 an 是首项为 1 a1 公 比为的等比数列 由此可知 2 方法一 由题设条件知 故 bn 0 那么 bn 12 bn2 an 12 3 2an 1 an2 3 2an 由此可知 bn bn 1 n 为正 整数 文档鉴赏 方法二 由题设条件知 所以 由此可知 bn bn 1 n 为正整数 解答 解 1 由 整理得 又 1 a1 0 所以 1 an 是首项为 1 a1 公比为的等比数列 得 2 方法一 由 1 可知 故 bn 0 那么 bn 12 bn2 an 12 3 2an 1 an2 3 2an 又由 1 知 an 0 且 an 1 故 bn 12 bn2 0 因此 bn bn 1 n 为正整数 方法二 由 1 可知 因为 所以 由 an 1 可得 文档鉴赏 即 两边开平方得 即 bn bn 1 n 为正整数 22 12 分 2007 全国