高中数学 2.2《直接证明与间接证明》综合测试 新人教A版选修2—2

用心 爱心 专心1 高中新课标选修 高中新课标选修 2 22 2 推理与证明综合测试题 推理与证明综合测试题 一 选择题 1 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻求使结论成立的 充分条件 必要条件 充要条件 等价条件 答案 2 结论为 nn xy 能被xy 整除 令12 3 4n 验证结论是否正确 得到此结论成立的条 件可以为 n N n N且3n n为正奇数 n为正偶数 答案 3 在ABC 中 sinsincoscosACAC 则ABC 一定是 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 不确定 答案 4 在等差数列 n a中 若0 n a 公差0d 则有 4637 a aa a 类经上述性质 在等比 数列 n b中 若01 n bq 则 4578 bbbb 的一个不等关系是 4857 bbbb 5748 bbbb 4758 bbbb 4578 bbbb 答案 5 1 已知 33 2pq 求证2pq 用反证法证明时 可假设2pq 2 已知ab R 1ab 求证方程 2 0 xaxb 的两根的绝对值都小于 1 用反 证法证明时可假设方程有一根 1 x的绝对值大于或等于 1 即假设 1 1x 以下结论正确的 是 1 与 2 的假设都错误 1 与 2 的假设都正确 1 的假设正确 2 的假设错误 用心 爱心 专心2 1 的假设错误 2 的假设正确 答案 6 观察式子 2 13 1 22 22 115 1 233 222 1117 1 2344 则可归纳出式子为 222 1111 1 2 2321 n nn 222 1111 1 2 2321 n nn 222 11121 1 2 23 n n nn 222 1112 1 2 2321 n n nn 答案 7 如图 在梯形ABCD中 ABDCABaCDb ab 若 EFAB EF到CD与AB的距离之比为 m n 则可推算出 mamb EF mm 试用类比的方法 推想出下述问题的结果 在上 面的梯形ABCD中 延长梯形两腰ADBC 相交于O点 设 OAB OCD 的面积分别为 12 SS EFAB 且EF到CD与AB的距离之比为 m n 则OEF 的面积 0 S与 12 SS 的关系是 12 0 mSnS S mn 12 0 nSmS S mn 12 0 m Sn S S mn 12 0 n Sm S S mn 答案 8 已知ab R 且2abab 则 22 1 2 ab ab 22 1 2 ab ab 22 1 2 ab ab 22 1 2 ab ab 用心 爱心 专心3 答案 9 用反证法证明命题 若整系数一元二次方程 2 0 0 axbxca 有有理根 那么 abc 中至少有一个是偶数时 下列假设中正确的是 假设abc 都是偶数 假设abc 都不是偶数 假设abc 至多有一个是偶数 假设abc 至多有两个是偶数 答案 10 用数学归纳法证明 1 2 2 1 3 21 n nnnnn 从k到1k 左边需要增 乘的代数式为 21k 2 21 k 21 1 k k 23 1 k k 答案 11 类比 两角和与差的正余弦公式 的形式 对于给定的两个函数 2 xx aa S x 2 xx aa C x 其中0a 且1a 下面正确的运算公式是 S xyS x C yC x S y S xyS x C yC x S y C xyC x C yS x S y C xyC x C yS x S y 答案 12 正整数按下表的规律排列 1251017 4361118 9871219 1615141320 2524232221 用心 爱心 专心4 则上起第 2005 行 左起第 2006 列的数应为 2 2005 2 2006 20052006 20052006 答案 二 填空题 13 写出用三段论证明 3 sin f xxx x R为奇函数的步骤是 答案 满足 fxf x 的函数是奇函数 大前提 333 sin sin sin fxxxxxxxf x 小前提 所以 3 sinf xxx 是奇函数 结论 14 已知 111 1 23 f nn n N 用数学归纳法证明 2 2 n n f 时 1 2 2 kk ff 等于 答案 1 111 21222 kkk 15 由三角形的性质通过类比推理 得到四面体的如下性质 四面体的六个二面角的平分 面交于一点 且这个点是四面体内切球的球心 那么原来三角形的性质为 答案 三角形内角平分线交于一点 且这个点是三角形内切圆的圆心 16 下面是按照一定规律画出的一列 树型 图 用心 爱心 专心5 设第n个图有 n a个树枝 则 1n a 与 2 n a n 之间的关系是 答案 1 22 nn aa 三 解答题 17 如图 1 在三角形ABC中 ABAC 若ADBC 则 2 ABBD BC 若类比该 命题 如图 2 三棱锥ABCD 中 AD 面ABC 若A点在三角形BCD所在平面内的 射影为M 则有什么结论 命题是否是真命题 解 命题是 三棱锥ABCD 中 AD 面ABC 若A点在三角形BCD所在平面内的射影 为M 则有 2 ABCBCMBCD SSS 是一个真命题 证明如下 在图 2 中 连结DM 并延长交BC于E 连结AE 则有DEBC 因为AD 面ABC 所以ADAE 又AMDE 所以 2 AEEM ED 于是 2 2 111 222 ABCBCMBCD SBC AEBC EMBC EDSS 18 如图 已知PA 矩形ABCD所在平面 MN 分别是ABPC 的中点 求证 1 MN 平面PAD 2 MNCD 证明 1 取PD的中点E 连结AENE NE 分别为PCPD 的中点 EN 为PCD 的中位线 1 2 ENCD 1 2 AMAB 而ABCD为矩形 CDAB 且CDAB ENAM 且ENAM AENM 为平行四边形 MNAE 而MN 平面PAC AE 平面PAD MN 平面PAD 2 PA 矩形ABCD所在平面 用心 爱心 专心6 CDPA 而CDAD PA与AD是平面PAD内的两条直交直线 CD 平面PAD 而AE 平面PAD AECD 又MNAE MNCD 19 求证 当一个圆和一个正方形的周长相等时 圆的面积比正方形的面积大 证明 分析法 设圆和正方形的周长为l 依题意 圆的面积为 2 2 l 正方形的面积为 2 4 l 因此本题只需证明 22 2 4 ll 要证明上式 只需证明 22 2 4 16 ll 两边同乘以正数 2 4 l 得 11 4 因此 只需证明4 上式是成立的 所以 22 2 4 ll 这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等 那么圆的面积比正方形的面积最大 20 已知实数abcd 满足1abcd 1acbd 求证abcd 中至少有一个 是负数 证明 假设abcd 都是非负实数 因为1abcd 所以abcd 01 所以 2 ac acac 2 bc bdbd 所以1 22 acbd acbd 这与已知1acbd 相矛盾 所以原假设不成立 即证得abcd 中至少有一个是负 数 21 设 2 xx aa f x 2 xx aa g x 其中0a 且1a 1 523 请你推测 5 g能否用 2 3 2 3 ffgg 来表示 用心 爱心 专心7 2 如果 1 中获得了一个结论 请你推测能否将其推广 解 1 由 3332332255 3 2 3 2 22221 aaaaaaaaaa fggf 又 55 5 2 aa g 因此 5 3 2 3 2 gfggf 2 由 5 3 2 3 2 gfggf 即 23 3 2 3 2 gfggf 于是推测 g xyf x g yg x f y 证明 因为 2 xx aa f x 2 xx aa g x 大前提 所以 2 xyxy aa g xy 2 yy aa g y 2 yy aa f y 小前提及结论 所以 22222 xxyyxxyyxyxy aaaaaaaaaa f x g yg x f yg xy 22 若不等式 111 123124 a nnn 对一切正整数n都成立 求正整数a的最大值 并证明结论 解 当1n 时 111 1 1123124 a 即 26 2424 a 所以26a 而a是正整数 所以取25a 下面用数学归纳法证明 11125 123124nnn 1 当1n 时 已证 2 假设当nk 时 不等式成立 即 11125 123124kkk 则当1nk 时 有 111 1 1 1 23 1 1kkk 1111111 12313233341kkkkkkk 25112 2432343 1 kkk 因为 2 116 1 2 323491883 1 k kkkkk 所以 2 116 1 2 323491883 1 k kkkkk 用心 爱心 专心8 所以 112 0 32343 1 kkk 所以当1nk 时不等式也成立 由 1 2 知 对一切正整数n 都有 11125 123124nnn 所以a的最大值等于 25 高中新课标选修 高中新课标选修 2 22 2 推理与证明综合测试题 推理与证明综合测试题 一 选择题 1 下面使用的类比推理中恰当的是 若22mn 则mn 类比得出 若00mn 则mn ab cacbc 类比得出 a b cac bc ab cacbc 类比得出 0 abab c ccc n nn pqp q 类比得出 n nn pqpq 答案 2 图 1 是一个水平摆放的小正方体木块 图 2 图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成的 按照这样的规律放下去 至第七个叠放的图形中 小正方体木块总数就是 25 66 91 120 答案 3 推理 正方形是平行四边形 梯形不是平行四边形 所以梯形不是正方形 中的 小前提是 和 答案 用心 爱心 专心9 4 用数学归纳法证明等式 3 4 123 3 2 nn nn N 时 第一步验证 1n 时 左边应取的项是 1 12 123 1234 答案 5 在证明命题 对于任意角 44 cossincos2 的过程 44222222 cossin cossin cossin cossincos2 中应用了 分析法 综合法 分析法和综合法综合使用 间接证法 答案 6 要使 333 abab 成立 则ab 应满足的条件是 0ab 且ab 0ab 且ab 0ab 且ab 0ab 且ab 或0ab 且ab 答案 7 下列给出的平面图形中 与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是 三角形 梯形 平行四边形 矩形 答案 8 命题 三角形中最多只有一个内角是钝角 的结论的否定是 有两个内角是钝角 有三个内角是钝角 至少有两个内角是钝角 没有一个内角是钝角 答案 9 用数学归纳法证明 4121 35 nn n N能被 8 整除时 当1nk 时 对于 4 1 12 1 1 35 kk 可变形为 414121 56 325 35 kkk 44122 3 35 5 kk 4121 35 kk 4121 25 35 kk 答案 10 已知扇形的弧长为l 所在圆的半径为r 类比三角形的面积公式 1 2 S 底 高 用心 爱心 专心10 可得扇形的面积公式为 2 1 2 r 2 1 2 l 1 2 rl 不可类比 答案 11 已知1m 1amm 1bmm 则以下结论正确的是 ab ab ab a b大小不定 答案 12 观察下列各式 2 11 2 2343 2 345675 2 456789107 可以得出的一般结论是 2 1 2 32 nnnnn 2 1 2 32 21 nnnnn 2 1 2 31 nnnnn 2 1 2 31 21 nnnnn 答案 二 填空题 13 已知 2 1111 12 f n nnnn 则 f n中共有 项 答案 2 1nn 14 已知经过计算和验证有下列正确的不等式 3172 10 7 512 52 10 821222 10 根据以上不等式的规律 请写出对正实数mn 成立的条件不 等式 答案 当20mn 时 有2 10mn 15 在数列 n a中 1 2a 1 31 n n n a an a N 可以猜测数列通项 n a的表达式为 用心 爱心 专心11 答案 2 65 n a n 16 若三角形内切圆的半径为r 三边长为abc 则三角形的面积等于 1 2 Sr abc 根据类比推理的方法 若一个四面体的内切球的半径为R 四个面的面 积分别是 1234 SSSS 则四面体的体积V 答案 1234 1 3 R SSSS 三 解答题 17 已知a是整数 2 a是偶数 求证 a也是偶数 证明 反证法 假设a不是偶数 即a是奇数 设21 ann Z 则 22 441ann 2 4 nn 是偶数 2 441nn 是奇数 这与已知 2 a是偶数矛盾 由上述矛盾可知 a一定是偶数 18 已知命题 若数列 n a是等比数列 且0 n a 则数列 12 n nn ba aan N 也是 等比数列 类比这一性质 你能得到关于等差数列的一个什么性质 并证明你的结论 解 类比等比数列的性质 可以得到等差数列的一个性质是 若数列 n a是等差数列 则 数列 12n n aaa b n 也是等差数列 证明如下 设等差数列 n a的公差为d 则 12n n aaa b n 1 1 1 2 1 2 n nd na d an n 所以数列 n b是以 1 a为首项 2 d 为公差的等差数列 19 已知abc 且0abc 求证 2 3 bac a 用心 爱心 专心12 证明 因为abc 且0abc 所以0a 0c 要证明原不等式成立 只需证明 2 3baca r 即证 22 3baca 从而只需证明 22 3acaca 即 2 0acac 因为0ac 20acacaab 所以 2 0acac 成立 故原不等式成立 20 用三段论方法证明 222222 2 abbccaabc 证明 因为 22 2abab 所以 2222 2 2ababab 此处省略了大前提 所以 22 22 22 ababab 两次省略了大前提 小前提 同理 22 2 2 bcbc 22 2 2 caca 三式相加得 222222 2 abbccaabc 省略了大前提 小前提 21 由下列不等式 1 1 2 11 11 23 1113 1 2372 111 12 231