抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常见题型解法综述抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式 只给出了一些体现函数特征的 式子的一类函数 由于抽象函数表现形式的抽象性 使得这类问题成为函数内 容的难点之一 本文就抽象函数常见题型及解法评析如下 一 定义域问题 例 1 已知函数的定义域是 1 2 求 f x 的定义域 解 的定义域是 1 2 是指 所以中的满足 从而函数 f x 的定义域是 1 4 评析 一般地 已知函数的定义域是 A 求 f x 的定义域问题 相当于 已知中 x 的取值范围为 A 据此求的值域问题 例 2 已知函数的定义域是 求函数的定义域 解 的定义域是 意思是凡被 f 作用的对象都在中 由此可 得 所以函数的定义域是 评析 这类问题的一般形式是 已知函数 f x 的定义域是 A 求函数的 定义域 正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键 这类问 题实质上相当于已知的值域 B 且 据此求 x 的取值范围 例 2 和 例 1 形式上正相反 二 求值问题 例 3 已知定义域为的函数 f x 同时满足下列条件 求 f 3 f 9 的值 解 取 得 因为 所以 又取 得 评析 通过观察已知与未知的联系 巧妙地赋值 取 这样便把已 知条件与欲求的 f 3 沟通了起来 赋值法是解此类问题的常 用技巧 三 值域问题 例 4 设函数 f x 定义于实数集上 对于任意实数 x y 总成立 且存在 使得 求函数 的值域 解 令 得 即有或 若 则 对任意均成立 这与存在 实数 使得成立矛盾 故 必有 由于对任意均成立 因此 对任意 有 下面来证明 对任意 设存在 使得 则 这与上面已证的矛盾 因此 对任意 所以 评析 在处理抽象函数的问题时 往往需要对某些变量进行适当的赋值 这是 一般向特殊转化的必要手段 四 解析式问题 例 5 设对满足的所有实数 x 函数满足 求 f x 的解析式 解 在中以代换其中 x 得 再在 1 中以代换 x 得 化简得 评析 如果把 x 和分别看作两个变量 怎样实现由两个变量向一个变量的 转化是解题关键 通常情况下 给某些变量适当赋值 使之在关系中 消失 进而保留一个变量 是实现这种转化的重要策略 五 单调性问题 例 6 设 f x 定义于实数集上 当时 且对于任意实数 x y 有 求证 在 R 上为增函数 证明 在中取 得 若 令 则 与矛盾 所以 即有 当时 当时 而 所以 又当时 所以对任意 恒有 设 则 所以 所以在 R 上为增函数 评析 一般地 抽象函数所满足的关系式 应看作给定的运算法则 则变量的 赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果 相关联 六 奇偶性问题 例 7 已知函数对任意不等于零的实数都有 试判断函数 f x 的奇偶性 解 取得 所以 又取得 所以 再取则 即 因为为非零函数 所以为偶函数 七 对称性问题 例 8 已知函数满足 求的 值 解 已知式即在对称关系式中取 所以 函数的图象关于点 0 2002 对称 根据原函数与其反函数的关系 知函数的图象关于点 2002 0 对称 所以 将上式中的 x 用代换 得 评析 这是同一个函数图象关于点成中心对称问题 在解题中使用了下述命题 设 a b 均为常数 函数对一切实数 x 都满足 则函数的图象关于点 a b 成中心对称图形 八 网络综合问题 例 9 定义在 R 上的函数 f x 满足 对任意实数 m n 总有 且