24.3正多边形和圆

24 3 正多边形和圆 麻城集美学校 曹绪鹍 教学目标 知识与技能 了解正多边形和圆的有关概念 理解并掌握正多边形半径和边长 边心距 中心角之间的关系 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形 过程与方法 通过对正多边形的学习 掌握正多边形半径 中心角 边心距的计算方法 情感态度与价值观 通过应用正多边形和圆的有关知识画正多边形 培养学生的审美情趣 激发学生的学习热情 教学重点 正多边形和圆内接正多边形半径 中心角 弦心距 边长之间的关系 教学难点 正多边形半径 中心角 弦心距 边长之间的关系 教学时数 四课时 教学过程 第一课时 一 课前预习 学生预习教材 P104 106 二 复习引入 请同学们口答下面两个问题 1 什么叫正多边形 2 从你身边举出两三个正多边形的实例 正多边形具有轴对称 中心对 称吗 其对称轴有几条 对称中心是哪一点 老师点评 1 各边相等 各角也相等的多边形是正多边形 2 正多边形是轴对称图形 对称轴有无数多条 正多边形是中心对称图 形 其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点 三 探索新知 如果我们以正多边形的对应顶点的交点作为圆心 过点到 顶点的连线为半径 能够作一个圆 很明显 这个正多边形的 各个顶点都在这个圆上 如图 正六边形 ABCDEF 连结 AD CF 交于一点 以 O 为圆心 OA 为半径作圆 那么肯定 B C D E F 都在这个圆上 因此 正多边形和圆的关系十分密切 只要把一个圆分成相等的一些弧 就 可以作出这个圆的内接正多边形 这个圆就是这个正多边形的外接圆 我们以圆内接正六边形为例证明 如图所示的圆 把 O 分成相等的 6 段弧 依次连接各分点得到六边 ABCDEF 下面证明 它是正六边形 AB BC CD DE EF AB BC CD DE EF 又 A BCF BC CD DE EF 2BC 1 2 1 2 B CDA CD DE EF FA 2CD 1 2 1 2 A B 同理可证 B C D E F A 又六边形 ABCDEF 的顶点都在 O 上 根据正多边形的定义 各边相等 各角相等 六边形 ABCDEF 是 O 的 内接正六边形 O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边 形的中心 外接圆的半径叫做正多边形的半径半径 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边 形的中心角 中心角 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边 形的边心距 边心距 四 知识应用 例 有一个亭子 它的地基半径为 4m 的正六边形 求地基 的周长和面积 精确到 0 1m2 解 如图由于 ABCDEF 是正六边形 所以它的中心角等 于 60 6 360 OBC 是等边三角形 从而正六边形的边长等于它的 半径 因此 亭子地基的周长 l 4 6 24 m 在 Rt OPC 中 OC 4 PC 2 2 4 2 BC 利用勾股定理 可得边心距 亭子地基的面积 补充例题 例 1 已知正六边形 ABCDEF 如图所示 其外接圆的半径是 a 求正六边形 的周长和面积 分析 要求正六边形的周长 只要求 AB 的长 已知条件是外接圆半径 因 此自然而然 边长应与半径挂上钩 很自然应连接 OA 过 O 点作 OM AB 垂 于 M 在 Rt AOM 中便可求得 AM 又应用垂径定理 可求得 AB 的长 正六边形的面积是由六块正三角形面 积组成的 解 如图所示 由于 ABCDEF 是正六边形 所以它 的中心角等于 60 OBC 是等边三角形 从 360 6 而正六边形的边长等于它的半径 因此 所求的正六边形的周长为 6a 在 Rt OAM 中 OA a AM AB a 1 2 1 2 利用勾股定理 可得边心距 OM a 22 1 2 aa 1 2 3 所求正六边形的面积 6 AB OM 6 a a a2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 F DE C BA O M E F C D 中心角 半径半径半径半径R R R R 边心距r A AB B O A B C D E F R P r 22 422 3 r 2 11 24 2 341 6 m 22 Slr 第二课时 一 探究新知 由于正多边形在生产 生活实际中有广泛的应用性 所以会画正多边形应是 学生必备能力之一 怎样画一个正多边形呢 问题 1 已知 O 的半径为 2cm 求作圆的内接正三角形 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形 例 2 利用你手中的工具画一个边长为 3cm 的正五边形 分析 要画正五边形 首先要画一个圆 然后对圆五等分 因此 应该先 求边长为 3 的正五边形的半径 解 正五边形的中心角 AOB 72 360 5 如图 AOC 30 OA AB sin36 1 5 sin36 2 55 cm 1 2 画法 1 以 O 为圆心 OA 2 55cm 为半径画圆 2 在 O 上顺次截取边长为 3cm 的 AB BC CD DE EA 3 分别连结 AB BC CD DE EA 则正五边形 ABCDE 就是所要画的正五边形 如图所示 二 巩固练习 教材 P115 练习 1 2 3 P116 探究题 练习 三 应用拓展 例 3 在直径为 AB 的半圆内 划出一块三角形区域 如图所示 使三角形 的一边为 AB 顶点 C 在半圆圆周上 其它两边分别为 6 和 8 现要建造一个内 接于 ABC 的矩形水池 DEFN 其中 D E 在 AB 上 如图 24 94 的设计方案 是使 AC 8 BC 6 1 求 ABC 的边 AB 上的高 h 2 设 DN x 且 当 x 取何值时 水池 DEFN 的面积最 hDNNF hAB 大 3 实际施工时 发现在 AB 上距 B 点 1 85 的 M 处有一棵大树 问 这 棵大树是否位于最大矩形水池的边上 如果在 为了保护大树 请设计出另外的 方案 使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树 h F DE C B A N G 分析 要求矩形的面积最大 先要列出面积表达式 再考虑最值的求法 初 中阶段 尤其现学的知识 应用配方法求最值 3 的设计要有新意 应用圆 用量角器度量 使 AOB BOC COA 120 用量角器或30 角的三角板 度量 使 BAO CAO 30 120 A O CB 的对称性就能圆满解决此题 解 1 由 AB CG AC BC 得 h 4 8 8 6 10 AC BC AB A 2 h 且 DN x hDNNF hAB NF 10 4 8 4 8 x 则 S四边形 DEFN x 4 8 x x2 10 x 10 4 8 25 12 x2 x 25 12 120 25 x 2 25 12 60 25 3600 625 x 2 4 2 12 25 x x 2 4 2 0 25 x x 2 4 2 12 12 且当 x 2 4 时 取等号 25 x 当 x 2 4 时 SDEFN最大 3 当 SDEFN最大时 x 2 4 此时 F 为 BC 中点 在 Rt FEB 中 EF 2 4 BF 3 BE 1 8 2222 32 4DEEF BM 1 85 BM EB 即大树必位于欲修建的水池边上 应重新设计方 案 当 x 2 4 时 DE 5 AD 3 2 由圆的对称性知满足条件的另一设计方案 如图所 示 此时 AC 6 BC 8 AD 1 8 BE 3 2 这样设 计既满足条件 又避开大树 四 归纳小结 1 正多边和圆的有关概念 2 正多边形的半径 正多边形的中心角 边长 正多边的边心距间的等量关 系 3 画正多边形的方法 4 运用以上的知识解决实际问题 五 布置作业 练习册 P49 52 教学反思 c F DE C BA G 第三课时 练习课 内容 练习册 P49 52 第四课时 讲评课 内容 练习册 P49 52 课时作业设计 一 选择题 1 如图 1 所示 正六边形 ABCDEF 内接于 O 则 ADB 的度数是 A 60 B 45 C 30 D 22 5 1 2 3 2 圆内接正五边形 ABCDE 中 对角线 AC 和 BD 相交于点 P 则 APB 的度数是 A 36 B 60 C 72 D 108 3 若半径为 5cm 的一段弧长等于半径为 2cm 的圆的周长 则这段弧所对的圆心角 为 A 18 B 36 C 72 D 144 二 填空题 1 已知正六边形边长为 a 则它的内切圆面积为 2 在 ABC 中 ACB 90 B 15 以 C 为圆心 CA 长为半径的圆交 AB 于 D 如图 2 所示 若 AC 6 则 AD 的长为 3 四边形 ABCD 为 O 的内接梯形 如图 3 所示 AB CD 且 CD 为直径 如果 O 的半径等于 r C 60 那图中 OAB 的边长 AB 是 OD