二次函数之一小综(讲)

1 二次函数之一小综合 1 二次函数 y ax2 bx c a 0 的部分图象如图所示 图象过点 1 0 对称轴为直线 x 2 下列 结论 1 4a b 0 2 9a c 3b 3 8a 7b 2c 0 4 若点 A 3 y1 点 B y2 点 C y3 在该函数图象上 则 y1 y3 y2 5 若方程 a x 1 x 5 3 的两根为 x1和 x2 且 x1 x2 则 x1 1 5 x2 其中正确的结论有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 2 函数 y ax2 bx c 图象的大致位置如右图所示 则 ab bc 2a b a c 2 b2 a b 2 c2 b2 a2 等代数式的值中 正数有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 3 若抛物线的顶点在轴的下方 则的取值范围是 2 2yxxa xa 1a 1a 1a 1a 4 已知二次函数的图象如图所示 有以下结论 2 yaxbxc 0abc 1abc 其中所有正确结论的序号是 0abc 420abc 1ca A B C D 1 1 1 O x y 补充 a b m ma b 其中 m 1 5 若二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象的顶点在第一象限 且过点 0 1 和 1 0 则 S a b c 的值的变化范围是 6 Rt ABC 的三个顶点 A B C 均在抛物线 y x2上 并且斜边 AB 平行于 x 轴 若斜边上的高为 h 则 A h 1 B h 1 C 1 h2 2 7 二次函数 y ax2 bx c a 0 和正比例函数 y x 的图象如图所示 则方程 ax2 b x c 0 a 0 的两根之和 A 大于 0 B 等于 0 C 小于 0 D 不能确定 8 已知抛物线 y ax2 bx c 的图象如图所示 则 a b c 2a b A a b B a 2b C a b D 3a 9 抛物线 2 28yxxm 与x轴只有一个公共点 则m的值为 10 已知函数 y x2 x 12 的图象与 x 轴交于相异两点 A B 另一抛物线 y ax2 bx c 过点 A B 顶点 为 P 且 APB 是等腰直角三角形 求 a b c 11 已知二次函数 y x2 2 m 1 x m 1 1 随着 m 的变化 该二次函数图象的顶点 P 是否都在某条抛物线上 如果是 请求出该抛物线的 函数表达式 如果不是 请说明理由 2 如果直线 y x 1 经过二次函数 y x2 2 m 1 x m 1 图象的顶点 P 求此时 m 的值 练习 1 已知二次函数y ax2 bx 2 a 0 的图象的顶点在第四象限 且过点 1 0 当 a b 为整数时 ab 的值为 A 或 1 B 或 1 C 或 D 或 2 如图 抛物线 y x2 bx c 与 y 轴交于 A 点 与 x 轴正半轴交于 B C 两点 且 BC 3 S ABC 6 则 b 的值是 A b 5 B b 5 C b 5 C b 4 3 3 如图 二次函数 y ax2 bx c a 0 图象的顶点为 D 其图象与 x 轴的交点 A B 的横坐标分别为 1 和 3 则下列结论正确的是 A 2a b 0 B a b c 0 C 3a c 0 D 当 a 时 ABD 是等腰直角三角形 4 已知 二次函数 y x2 bx c 与 x 轴相交于 A x1 0 B x2 0 两点 其顶点坐标为 P AB x1 x2 若 S APB 1 则 b 与 c 的关系式是 2 4 24 bcb A b2 4c 1 0 B b2 4c 1 0 C b2 4c 4 0 D b2 4c 4 0 5 已知二次函数 y ax2 bx 的图象经过点 A 1 1 则 ab 有 A 最小值 0 B 最大值 1 C 最大值 2 D 有最小值 1 4 6 抛物线 y ax2 bx c 的图象如图 OA OC 则 A ac 1 b B ab 1 c C bc 1 a D 以上都不是 7 如果抛物线 y x2 6x c 2 的顶点到 x 轴的距离是 3 那么 c 的值等于 A 8 B 14 C 8 或 14 D 8 或 14 8 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴为直线 x 1 与 x 轴的一个交点为 x1 0 且 0 x10 b c 3a c 0 其中正确结论两个数有 9 二次函数 y ax2 c c 不为零 当 x 取 x1 x2 x1 x2 时 函数值相等 则 x1与 x2的关系是 10 以 x 为自变量的二次函数 y x2 2 b 2 x b2 1 的图象不经过第三象限 则实数 b 的取值范围是 A b B b 1 或 b 1 C b 2 D 1 b 2 4 11 2016 陕西 3 分 已知抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A B 两点 将这条抛物线的顶点记为 C 连接 AC BC 则 tan CAB 的值为 A B C D 2 12 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 且P 2a b 3b 2c Q 2a b 3b 2c 则 P Q的大小关系是 课堂练习 1 已知 y 32 2 xx 1 在对称轴上找一点 P 使得 PB PC 的和最小 求出 P 点坐标 在对称轴上找一点 P 使得 PB PC 的差最大 求出 P 点坐标 2 连接 AC 在第四象限的抛物线上找一点 P 使得面积最大 求出 P 坐标ACP 3 连接 AC 在对称轴上找一点 P 使得为直角三角形 求出 P 坐标或者在抛物线上求点P ACP 使 ACP是以AC为直角边的直角三角形 2 如图 在平面直角坐标系中 点A C的坐标分别为 3 0 0 3 点B在x轴上 已知某二次函数 的图象经过A B C三点 且它的对称轴为直线x 1 点P为直线BC 上方的二次函数图象上的一个动 点 点P与B C不重合 1 求该二次函数的解析式 2 若设点P的横坐标为m 试用含m的代数式表示线段PF的长 3 求 PBC面积的最大值 并求此时点P的坐标 4 连接 AC 在对称轴上找一点 P 使得为等腰三角形 求出 P 坐标ACP 5 点E在抛物线的对称轴上 点F在抛物线上 且以B A F E四点为顶点的四边形为平行四边形 求点F的坐标 6 把 C 0 3 改成 C 2 3 连接 BC 在 x 轴上找一个点 F 抛物线上找一点 P 使得以 B C F P 为顶点的四边形构成平行四边形 3 已知 m n 是方程 x2 6x 5 0 的两个实数根 且 m n 抛物线 y x2 bx c 的图像经过点 A m 0 B 0 n 5 1 求这个抛物线的解析式 2 设 1 中抛物线与x轴的另一交点为 C 抛物线的顶点为 D 试求出点 C D 的坐标和 BCD 的面 积 3 P 是线段 OC 上的一点 过点 P 作 PH x 轴 与抛物线交于 H 点 若直线 BC 把 PCH 分成面积之比 为 2 3 的两部分 请求出 P 点的坐标 4 在平面直角坐标系中 已知抛物线经过A 4 0 B 0 4 C 2 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 若点M为第三象限内抛物线上一动点 点M的横坐标为m AMB的面积为S 求S关于m的函数关 系式 并求出S的最大值 5 2016 湖北武汉 12 分 抛物线y ax2 c与x轴交于A B两点 顶点为C 点P在抛物线上 且 位于x轴下方 1 如图 1 若P 1 3 B 4 0 求该抛物线的解析式 若D是抛物线上一点 满足 DPO POB 求点D的坐标 2 如图 2 已知直线PA PB与y轴分别交于E F两点 当点P运动时 是否为定值 若是 OC OFOE 试求出该定值 若不是 请说明理由 xx yy P F E AB C OO C BA 6 2016 吉林 10 分 如图 1 在平面直角坐标系中 点 B 在 x 轴正半轴上 OB 的长度为 2m 以 OB 为边向上作等边三角形 AOB 抛物线 l y ax2 bx c 经过点 O A B 三点 1 当 m 2 时 a 当 m 3 时 a 2 根据 1 中的结果 猜想 a 与 m 的关系 并证明你的结论 3 如图 2 在图 1 的基础上 作 x 轴的平行线交抛物线 l 于 P Q 两点 PQ 的长度为 2n 当 APQ 为等腰直角三角形时 a 和 n 的关系式为 a 4 利用 2 3 中的结论 求 AOB 与 APQ 的面积比 6 课下练习 1 二次函数36 2 xkxy的图象与x轴有交点 则k的取值范围是 A 3 k B 03 kk且 C 3 k D 03 kk且 2 已知反比例函数 y k x 的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 则二次函数 y 2kx2 x k2的图象大 致为如图 2 中的 3 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图 3 则点 b c a 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 4 若二次函数 y ax2 bx c 当 x 取 x1 x2 x1 x2 时 函数值相等 则当 x 取 x1 x2 时 函数值为 A a c B a c C c D c 5 不论 m 为何实数 抛物线 y x2 mx m 2 A 在 x 轴上方 B 与 x 轴只有一个交点 C 与 x 轴有两个交点 D 在 x 轴下方 6 若二次函数 y x2 x 与 y x2 k 的图象的顶点重合 则下列结论不正确的是 A 这两个函数图象有相同的对称轴 B 这两个函数图象的开口方向相反 C 方程 x2 k 0 没有实数根 D 二次函数 y x2 k 的最大值为 1 2 7 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 与一次函数 y kx m k 0 的图象 相交于点 A 2 4 B 8 2 如图 4 所示 能使 y1 y2成立的 x 取值范围是 8 平移抛物线 y x2 2x 8 使它经过原点 写出平移后抛物线的一个解析式 9 抛物线 y ax2 bx c 中 已知 a b c l 2 3 最小值为 6 则此抛物线的解析式为 10 函数 2 yaxbyaxbxc 和在同一直角坐标系内的图象大致是 图 4 图 2图 3 图 1 7 11 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 2 所示 给出以下结论 a b c 0 a b c 0 b 2a 0 abc 0 其中所有正确结论的序号是 A B C D 14 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图 3 所示 若 M 4a 2b c N a b c P 4a 2b 则 A M 0 N 0 P 0 B M 0 N 0 P 0 C M 0 N 0 P 0 D M 0 N 0 P 0 15 如果反比例函数 y k x 的图象如图 4 所示 那么二次函数 y kx2 k2x 1 的图象大致为 16 如图 6 小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳 函数 h 3 5t 4 9t2 t 的单位 s h 的 单位 m 可以描述他跳跃时重心高度的变化 则他起跳后到重心最高时所用的时间是 A 0 71s B 0 70s C 0 63s D 0 36s 17 现有 A B 两枚均匀的小立方体 立方体的每个面上分别标有数字 1 2 3 4 5 6 用小莉掷 A 立方体朝上的数字为 x 小明掷 B 立方体朝上的数字为 y 来确定点 P x y 那么它们各掷一次所 确定的点 P 落在已知抛物线 y x2 4x 上的概率为 图 3图 图 y xO 图 4 y xO A y xO B y xO C y xO D 图 5 x 11 y O 图 2 图 8 图 6 O y x 图 7 8 18 已知抛物线 y x2 6x 5 的部分图象如图 8 则抛物线的对称轴为直线 x 满足 y 0 的 x 的取 值范围是 19 已知二次函数的图象经过点 A 3 0 B 0 3 C 2 5 且另与 x 轴交于 D 点 1 试确定此二次函数的解析式 2 判断点 P 2 3 是否在这个二次函数的图象上 如果在 请求出 PAD 的面积 如果不在 试说明理由 20 已知二次函数的图象如图所示 它与 x 轴的一个交点坐标为 1 0 与 y 轴的cbxxy 2 交点坐标为 0 3 1 求此二次函数的解析式 2 根据图象 写出函数值 y 为正数时 自变量 x 的取值范围 21 已知二次函数的图象经过 A 2 0 B 0 6 两点 cbxxy 2 2 1 1 求这个二次函数的解析式 2 设该二次函数的对称轴与轴交于点 C 连结 BA BC 求 ABC 的面积 x 22 如图 抛物线cbxxy 2 与 x 轴交与 A 1 0 B 3 0 两点 1 求该抛物线的解析式 2 设 1 中的抛物线交 y 轴与 C 点 在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q 使得 QAC 的周长最小 若存在 求出 Q 点的坐标 若不存在 请说明理由 23 已知二次函数 y x2 bx c 1 的图象过点 P 2 1 1 求证 c 2b 4 3 若二次函数的图象与 x 轴交于点 A x1 0 B x2 0 ABP 的面积是 求 b 的值 3 4 24 抛物线 y x 4x 3 交 x 轴于 A B 两点 交 y 轴于点 C 抛物线的对称轴交 x 轴于点 E 1 求抛物线的对称轴及点 A 的坐标 2 在平面直角坐标系 xoy 中是否存在点 P 与 A B C 三点构成一个平行四边形 若存在 请写出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 25 已知二次函数过点A 0 2 B 1 0 C 5 9 4 8 1 求此二次函数的解析式 2 判断点M 1 1 2 是否在直线AC上 26 如图 已知二次函数 2 4yaxxc 的图像经过点A和点B x y O3 9 1 1 A B O D B C AEO D B C AE O 3 1x y 9 1 求该二次函数的表达式 2 写出该抛物线的对称轴及顶点坐标 3 点P m m 与点Q均在该函数图像上 其中m 0 且这两点关于抛物线的对称轴对称 求m的值及 点Q 到x轴的距离 竞赛题欣赏 1 已知一次函数 二次函数 是否存在二次函数 其图象经过点 5 2 且对于任 1 2yx 2 2 1yx cbxaxy 2 3 意实数 x 的同一个值 这三个函数所对应的函数值 都有成立 若存在 求出函数的解析式 若不存 12 y y 3 y 123 yyy 3 y 在 请说明理由 解 存在满足条件的二次函数 因为 所以 当自变量 x 取任意实数时 均成立 222 12 2 1 21 1 0yyxxxxx 12 yy 由已知 二次函数的图象经过点 5 2 得cbxaxy 2 3 25 52abc 当时 有 1x 12 2yy 3 yabc 由于对于自变量取任实数时 均成立 所以有 2 2 x 132 yyy abc 故 2abc 由 得 所以 5 分4ba 25ca 2 3 4 25 yax