《数字信号处理》第三版课后习题答案

文档鉴赏 数字信号处理课后答案数字信号处理课后答案 1 21 2 教材第一章习题解答教材第一章习题解答 1 用单位脉冲序列用单位脉冲序列及其加权和表示及其加权和表示题题 1 图图所示的序列 所示的序列 n 解 解 4 2 2 1 2 1 2 2 4 3 0 5 4 2 6 x nnnnnnnn nn 2 给定信号 给定信号 25 41 6 04 0 nn x nn 其它 1 画出 画出序列的波形 标上各序列的值 序列的波形 标上各序列的值 x n 2 试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列 序列 x n 3 令 令 试画出 试画出波形 波形 1 2 2 x nx n 1 x n 4 令 令 试画出 试画出波形 波形 2 2 2 x nx n 2 x n 5 令 令 试画出 试画出波形 波形 3 2 2 x nxn 3 x n 解 解 1 x n 的波形如的波形如题题 2 解图 一 解图 一 所示 所示 2 3 4 3 2 3 1 6 6 1 6 2 6 3 6 4 x nnnnnn nnnn 3 的波形是的波形是 x n 的波形右移的波形右移 2 位 在乘以位 在乘以 2 画出图形如 画出图形如 1 x n 题题 2 解图 二 解图 二 所示 所示 文档鉴赏 4 的波形是的波形是 x n 的波形左移的波形左移 2 位 在乘以位 在乘以 2 画出图形如 画出图形如 2 x n 题题 2 解图 三 解图 三 所示 所示 5 画 画时 先画时 先画 x n 的波形 然后再右移的波形 然后再右移 2 位 位 波形如波形如 3 x n 3 x n 题题 2 解图 四 解图 四 所示 所示 3 判断下面的序列是否是周期的 若是周期的 确定其周期 判断下面的序列是否是周期的 若是周期的 确定其周期 1 A 是常数 是常数 3 cos 78 x nAn 2 1 8 jn x ne 解 解 1 这是有理数 因此是周期序列 周期是 这是有理数 因此是周期序列 周期是 T 14 3214 73 w w 2 这是无理数 因此是非周期序列 这是无理数 因此是非周期序列 1 2 16 8 w w 5 设系统分别用下面的差分方程描述 设系统分别用下面的差分方程描述 与与分别表示系统输入分别表示系统输入 x n y n 和输出 判断系统是否是线性非时变的 和输出 判断系统是否是线性非时变的 1 2 1 3 2 y nx nx nx n 3 为整常数 为整常数 0 y nx nn 0 n 5 2 y nxn 7 0 n m y nx m 解 解 1 令 输入为 令 输入为 输出为 输出为 0 x nn 000 0000 2 1 3 2 2 1 3 2 y nx nnx nnx nn y nnx nnx nnx nny n 故该系统是时不变系统 故该系统是时不变系统 文档鉴赏 12 121212 2 1 1 3 2 2 y nT ax nbx n ax nbx nax nbx nax nbx n 1111 2 1 3 2 T ax nax nax nax n 2222 2 1 3 2 T bx nbx nbx nbx n 1212 T ax nbx naT x nbT x n 故该系统是线性系统 故该系统是线性系统 3 这是一个延时器 延时器是一个线性时不变系统 下面予以证 这是一个延时器 延时器是一个线性时不变系统 下面予以证 明 明 令输入为令输入为 输出为 输出为 因为 因为 1 x nn 10 y nx nnn 110 y nnx nnny n 故延时器是一个时不变系统 又因为故延时器是一个时不变系统 又因为 12102012 T ax nbx nax nnbx nnaT x nbT x n 故延时器是线性系统 故延时器是线性系统 5 2 y nxn 令 输入为令 输入为 输出为 输出为 因为 因为 0 x nn 2 0 y nxnn 2 00 y nnxnny n 故系统是时不变系统 又因为故系统是时不变系统 又因为 2 1212 12 22 12 T ax nbx nax nbx n aT x nbT x n axnbxn 因此系统是非线性系统 因此系统是非线性系统 7 0 n m y nx m 文档鉴赏 令 输入为令 输入为 输出为 输出为 因为 因为 0 x nn 0 0 n m y nx mn 0 0 0 n n m y nnx my n 故该系统是时变系统 又因为故该系统是时变系统 又因为 121212 0 n m T ax nbx nax mbx maT x nbT x n 故系统是线性系统 故系统是线性系统 6 给定下述系统的差分方程 试判断系统是否是因果稳定系统 并说给定下述系统的差分方程 试判断系统是否是因果稳定系统 并说 明理由 明理由 1 1 0 1 N k y nx nk N 3 0 0 n n k n n y nx k 5 x n y ne 解 解 1 只要 只要 该系统就是因果系统 因为输出只与 该系统就是因果系统 因为输出只与 n 时刻的和时刻的和 n1N 时刻以前的输入有关 如果时刻以前的输入有关 如果 则 则 因此系统是稳定 因此系统是稳定 x nM y nM 系统 系统 3 如果 如果 因此系统是稳定的 因此系统是稳定的 x nM 0 0 0 21 n n k n n y nx knM 系统是非因果的 因为输出还和系统是非因果的 因为输出还和 x n 的将来值有关的将来值有关 5 系统是因果系统 因为系统的输出不取决于 系统是因果系统 因为系统的输出不取决于 x n 的未来值 如的未来值 如 果果 则 则 因此系统是稳定的 因此系统是稳定的 x nM x nx nM y neee 文档鉴赏 7 设线性时不变系统的单位脉冲响应设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列和输入序列如题如题 7 图所图所 h n x n 示 要求画出输出输出示 要求画出输出输出的波形 的波形 y n 解 解 解法 解法 1 采用图解法采用图解法 0 m y nx nh nx m h nm 图解法的过程如图解法的过程如题题 7 解图解图所示 所示 解法 解法 2 采用解析法 按照采用解析法 按照题题 7 图图写出写出 x n 和和 h n 的表达式的表达式 2 1 2 3 1 2 1 2 2 x nnnn h nnnn 因为因为 x nnx n x nAnkAx nk 所以所以 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 y nx nnnn x nx nx n 将将 x n 的表达式代入上式 得到的表达式代入上式 得到 2 2 1 0 5 2 1 2 4 5 3 2 4 5 y nnnnnn nnn 8 设线性时不变系统的单位取样响应设线性时不变系统的单位取样响应和输入和输入分别有以下三种分别有以下三种 h n x n 情况 分别求出输出情况 分别求出输出 y n 1 45 h nR n x nR n 2 4 2 2 h nR n x nnn 3 5 0 5 n n h nu n xR n 文档鉴赏 解 解 1 45 m y nx nh nR m R nm 先确定求和域 由先确定求和域 由和和确定对于确定对于 m 的非零区间如下 的非零区间如下 4 R m 5 R nm 03 4mnmn 根据非零区间 将根据非零区间 将 n 分成四种情况求解 分成四种情况求解 0 0ny n 0 03 11 n m ny nn 3 4 47 18 m n ny nn 7 0n y n 最后结果为最后结果为 0 0 7 1 03 8 47 nn y nnn nn y n 的波形如的波形如题题 8 解图 一 解图 一 所示 所示 2 444 2 2 2 2 2 2 1 4 5 y nR nnnR nR n nnnn y n 的波形如的波形如题题 8 解图 二 解图 二 所示所示 3 55 0 5 0 5 0 5 n mnm mm y nx nh n R mu nmR mu nm 文档鉴赏 y n 对于对于 m 的非零区间为的非零区间为 04 mmn 0 0ny n 1 1 1 0 1 0 5 04 0 50 50 5 1 0 5 0 520 5 1 0 5 n n nmnnnn m ny n 5 4 1 0 1 0 5 5 0 50 50 531 0 5 1 0 5 nmnn m n y n 最后写成统一表达式 最后写成统一表达式 5 20 5 31 0 5 5 nn y nR nu n 11 设系统由下面差分方程描述 设系统由下面差分方程描述 11 1 1 22 y ny nx nx n 设系统是因果的 利用递推法求系统的单位取样响应 设系统是因果的 利用递推法求系统的单位取样响应 解 解 令 令 x nn 11 1 1 22 h nh nnn 2 11 0 0 1 0 1 1 22 11 1 1 0 1 0 1 22 11 2 2 1 22 11 3 3 2 22 nhh nhh nhh nhh 归纳起来 结果为归纳起来 结果为 1 1 1 2 n h nu nn 12 有一连续信号有一连续信号式中 式中 cos 2 a x tft 20 2 fHz 1 求出 求出的周期 的周期 a x t 文档鉴赏 2 用采样间隔 用采样间隔对对进行采样 试写出采样信号进行采样 试写出采样信号的表的表0 02Ts a x t a x t 达式 达式 3 画出对应 画出对应的时域离散信号的时域离散信号 序列序列 的波形 并求出的波形 并求出的的 a x t x n x n 周期 周期 第二章第二章 教材第二章习题解答教材第二章习题解答 1 设设和和分别是分别是和和的傅里叶变换 试求下面序列的的傅里叶变换 试求下面序列的 jw X e jw Y e x n y n 傅里叶变换 傅里叶变换 1 0 x nn 2 xn 3 x n y n 4 2 xn 解 解 1 00 jwn n FT x nnx nn e 令令 则 则 00 nnn nnn 00 0 jw nnjwnjw n FT x nnx n eeX e 2 jwn jwnjw nn FT x nx n ex n eXe 文档鉴赏 3 jwn n FT xnxn e 令令 则 则 nn jwn jw n FT xnx n eX e 4 jwjw FT x ny nX eY e 证明 证明 m x ny nx m y nm jwn nm FT x ny nx m y nm e 令令 k n m 则 则 jwkjwn km jwkjwn km jwjw FT x ny nx m y k ee y k ex m e X eY e 2 已知已知 0 0 1 0 jw ww X e ww 求求的傅里叶反变换的傅里叶反变换 jw X e x n 解 解 0 0 0 sin1 2 w jwn w w n x nedw n 3 线性时不变系统的频率响应线性时不变系统的频率响应 传输函数传输函数 如果单位如果单位 jwjwjw H eH ee 脉冲响应脉冲响应为实序列 试证明输入为实序列 试证明输入的稳态响应为的稳态响应为 h n 0 cos x nAw n 00 cos jw y nA H ew nw 解 解 假设输入信号假设输入信号 系统单位脉冲相应为 系统单位脉冲相应为 h n 系统输出为 系统输出为 0 jw n x ne 文档鉴赏 0 0000 jw n jwn mjw njw mjw mm y nh nx nh m eeh m eH ee 上式说明 当输入信号为复指数序列时 输出序列仍是复指数序列 上式说明 当输入信号为复指数序列时 输出序列仍是复指数序列 且频率相同 但幅度和相位决定于网络传输函数 利用该性质解此题 且频率相同 但幅度和相位决定于网络传输函数 利用该性质解此题 00 0000 000000 0 1 cos 2 1 2 1 2 jw njw njj jw njwjw njwjj jw njwjwjw njwjwjj x nAw nA eeee y nA e eH eeeH e A e eH eeeeH ee 上式中上式中是是 w 的偶函数 相位函数是的偶函数 相位函数是 w 的奇函数 的奇函数 jw H e 00000 0 00 1 2 cos jwjw jwjw njwjw njwjj jw H eH eww y nA H ee eeeee A H ew nw 4 设设将将以以 4 为周期进行周期延拓 形成周期序列为周期进行周期延拓 形成周期序列 1 0 1 0 n x n 其它 x n 画出 画出和和的波形 求出的波形 求出的离散傅里叶级数的离散傅里叶级数和傅里和傅里 x n x n x n x n A X k 叶变换 叶变换 解 解 画出画出 x n 和和的波形如的波形如题题 4 解图解图所示 所示 x n 2 31 422 00 4444 1 2cos 4 jknjknjk nn jkjkjkjk X kDFS x nx n eee eeeke 以以 4 为周期 或者为周期 或者 X k 文档鉴赏 111 1 1 222 24 111 0 2444 1 sin 1 2 1 sin 1 4 jkjkjk j k jknjk jkjkjkjk n k eeee X kee k eeee 以以 4 为周期为周期 X k 4 22 44 22 cos 42 jw k k jk k X eFT x nX kwk X kwk k ewk 5 设如图所示的序列设如图所示的序列的的 FT 用用表示 不直接求出表示 不直接求出 完 完 x n jw X e jw X e 成下列运算 成下列运算 1 0 j X e 2 jw X edw 5 2 jw X edw 解 解 1 7 0 3 6 j n X ex n 2 0 24 jw X edwx 5 7 2 2 3 2 28 jw n X edwx n 6 试求如下序列的傅里叶变换试求如下序列的傅里叶变换 2 2 11 1 1 22 x nnnn 3 3 01 n x na u na 文档鉴赏 解 解 2 22 11 1 22 1 1 1 cos 2 jwjwnjwjw n jwjw Xex n eee eew 3 3 0 1 1 jwnjwnnjwn jw nn Xea u n ea e ae 7 设设 1 是实偶函数 是实偶函数 x n 2 是实奇函数 分别分析推导以上两种假设下 是实奇函数 分别分析推导以上两种假设下 的傅里叶的傅里叶 x n x n 变换性质 变换性质 解 解 令令 jwjwn n X ex n e 1 x n 是实 偶函数 是实 偶函数 jwjwn n X ex n e 两边取共轭 得到两边取共轭 得到 jwjwnjw njw nn Xex n ex n eX e 因此因此 jwjw X eXe 上式说明上式说明 x n 是实序列 是实序列 具有共轭对称性质 具有共轭对称性质 jw X e cossin jwjwn nn X ex n ex nwnjwn 由于由于 x n 是偶函数 是偶函数 x n sinwn 是奇函数 那么是奇函数 那么 文档鉴赏 sin0 n x nwn 因此因此 cos jw n X ex nwn 该式说明该式说明是实函数 且是是实函数 且是 w 的偶函数 的偶函数 jw X e 总结以上总结以上 x n 是实 偶函数时 对应的傅里叶变换是实 偶函数时 对应的傅里叶变换是实 偶函是实 偶函 jw X e 数 数 2 x n 是实 奇函数 是实 奇函数 上面已推出 由于上面已推出 由于 x n 是实序列 是实序列 具有共轭对称性质 即具有共轭对称性质 即 jw X e jwjw X eXe cossin jwjwn nn X ex n ex nwnjwn 由于由于 x n 是奇函数 上式中是奇函数 上式中是奇函数 那么是奇函数 那么 cosx nwn cos0 n x nwn 因此因此 sin jw n X ejx nwn 这说明这说明是纯虚数 且是是纯虚数 且是 w 的奇函数 的奇函数 jw X e 10 若序列若序列是实因果序列 其傅里叶变换的实部如下式是实因果序列 其傅里叶变换的实部如下式 h n 1 cos jw R Hew 求序列求序列及其傅里叶变换及其傅里叶变换 h n jw H e 解 解 文档鉴赏 2 11 1 cos1 22 1 1 2 1 0 1 1 2 0 01 0 01 1 2 00 12cos 2 jwjwjwjwn Ree n e e e jwjwnjwjw n HeweeFT h nh n e n h nn n nn h nh n nn h n n w H eh n eee 其它n 12 设系统的单位取样响应设系统的单位取样响应 输入序列为 输入序列为 01 n h na u na 完成下面各题 完成下面各题 2 2 x nnn 1 求出系统输出序列 求出系统输出序列 y n 2 分别求出 分别求出 和和的傅里叶变换 的傅里叶变换 x n h n y n 解 解 1 2 2 2 2 2 n nn y nh nx na u nnn a u nau n 2 2 0 2 2 2 12 1 1 12 1 jwjwnj w n jwnjwnnjwn jw nn j w jwjwjw jw X ennee H ea u n ea e ae e Y eH eX e ae A 13 已知已知 式中 式中 以采样频率 以采样频率对对 0 2cos 2 a x tf t 0 100fHz 400 s fHz 进行采样 得到采样信号进行采样 得到采样信号和时域离散信号和时域离散信号 试完成下面 试完成下面 a x t ax t x n 文档鉴赏 各题 各题 1 写出 写出的傅里叶变换表示式的傅里叶变换表示式 a x t a Xj 2 写出 写出和和的表达式 的表达式 ax t x n 3 分别求出 分别求出的傅里叶变换和的傅里叶变换和序列的傅里叶变换 序列的傅里叶变换 ax t x n 解 解 1 00 0 2cos j tj t aa jtjtj t Xjx t edtt edt eeedt 上式中指数函数的傅里叶变换不存在 引入奇异函数上式中指数函数的傅里叶变换不存在 引入奇异函数 函数 它的傅函数 它的傅 里叶变换可以里叶变换可以 表示成 表示成 00 2 a Xj 2 0 2cos aa nn x tx ttnTnTtnT 0 2cos x nnTn 00 1 2200 2 5 s frad Tms f 3 00 1 2 aas k ss k XjXjjk T kk T 式中式中2800 ss frad s 文档鉴赏 00 00 00 2cos 2cos 2 2 2 jwjwnjwnjwn nnn jw njw njwn nk X ex n enT ew n e eeewwkwwk 式中式中 00 0 5wTrad 上式推导过程中 指数序列的傅里叶变换仍然不存在 只有引入奇异上式推导过程中 指数序列的傅里叶变换仍然不存在 只有引入奇异 函数函数 才能写出它的傅里叶变换表达式 函数函数 才能写出它的傅里叶变换表达式 14 求以下序列的求以下序列的 Z 变换及收敛域 变换及收敛域 2 2 1 nu n 3 2 nu n 6 2 10 n u nu n 解 解 2 11 0 11 2 2 2 1 22 nnnnn nn ZTu nu n zzz z 3 11 11 2 1 2 1 22 211 1 21 22 nnnnnnn nnn ZTununzzz z z zz 6 9 0 1010 11 2 10 2 1 2 0 1 2 nnn n ZTu nu nz z z z 16 已知已知 1 1 32 1 1 2 1 2 X z z z 文档鉴赏 求出对应求出对应的各种可能的序列的表达式 的各种可能的序列的表达式 X z 解 解 有两个极点 因为收敛域总是以极点为界 因此收敛域有以下三种情有两个极点 因为收敛域总是以极点为界 因此收敛域有以下三种情 况 况 三种收敛域对应三种不同的原序列 三种收敛域对应三种不同的原序列 1 当收敛域 当收敛域时 时 0 5z 1 1 2 n c x nX Z zdz j A 令令 1 11 11 5757 1 0 5 1 2 0 5 2 nnn zz F zX z zzz zzzz 因为 因为 c 内无极点 内无极点 x n 0 0n C 内有极点内有极点 0 但 但 z 0 是一个是一个 n 阶极点 改为求圆外极点留数 阶极点 改为求圆外极点留数 1n 圆外极点有圆外极点有 那么 那么 12 0 5 2zz 0 52 Re 0 5 Re 2 57 57 0 5 2 0 5 2 0 5 2 1 3 2 2 1 2 nn zz nn x ns F zs F z zzzz zz zzzz un AA 2 当收敛域 当收敛域时 时 0 52z 57 0 5 2 n zz F z zz C 内有极点内有极点 0 5 0n 1 Re 0 5 3 2 n x ns F z A C 内有极点内有极点 0 5 0 但 但 0 是一个是一个 n 阶极点 改成求阶极点 改成求 c 外极点留外极点留0n 数 数 c 外极点只有一个 即外极点只有一个 即 2 文档鉴赏 Re 2 2 2 1 n x ns F zun A 最后得到最后得到 1 3 2 2 1 2 nn x nu nun AA 3 当收敛域 当收敛域时 时 2z 57 0 5 2 n zz F z zz C 内有极点内有极点 0 5 2 0n 1 Re 0 5 Re 2 3 2 2 2 nn x ns F zs F z AA n 0 由收敛域判断 这是一个因果序列 因此 由收敛域判断 这是一个因果序列 因此 x n 0 或者这样分析 或者这样分析 C 内有极点内有极点 0 5 2 0 但 但 0 是一个是一个 n 阶极点 改成阶极点 改成 求求 c 外极点留数 外极点留数 c 外无极点 所以外无极点 所以 x n 0 最后得到最后得到 1 3 2 2 2 nn x nu n AA 17 已知已知 分别求 分别求 01 n x na u na 1 的的 Z 变换 变换 x n 2 的的 Z 变换 变换 nx n 3 的的 z 变换 变换 n a un 解 解 1 1 1 1 nnn n X zZT a u na u n zza az 2 1 1 2 1 daz ZT nx nzX zza dzaz 3 1 00 1 1 nnnnn nn ZT a unaza zza az 文档鉴赏 18 已知已知 分别求 分别求 1 12 3 252 z X z zz 1 收敛域 收敛域对应的原序列对应的原序列 0 52z x n 2 收敛域 收敛域对应的原序列对应的原序列 2z x n 解 解 1 1 2 n c x nX z zdz j A 1 11 12 33 2522 0 5 2 n nn zz F zX z zz zzzz 1 当收敛域 当收敛域时 时 内有极点内有极点 0 5 0 52z 0n c Re 0 5 0 52 nn x ns F z 0 n c 内有极点内有极点 0 5 0 但但 0 是一个是一个 n 阶极点阶极点 改求改求 c 外极点留数外极点留数 c 外极点只外极点只 有有 2 Re 2 2nx ns F z 最后得到最后得到 2 2 1 2 nnn x nu nun 2 当收敛域 当收敛域时 时 2z c 内有极点内有极点 0 5 2 0 n Re 0 5 Re 2 x ns F zs F z 3 0 5 2 22 0 5 2 0 52 n n nn z z zzz c 内有极点内有极点 0 5 2 0 但极点但极点 0 是一个是一个 n 阶极点阶极点 改成求改成求 c 外极点留数外极点留数 可可0 n 是是 c 外没有极点外没有极点 因此因此 最后得到最后得到 0 x n 文档鉴赏 0 52 nn x nu n 25 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为已知网络的输入和单位脉冲响应分别为 01 01 nn x na u n h nb u nab 试 试 1 用卷积法求网络输出 用卷积法求网络输出 y n 2 用 用 ZT 法求网络输出法求网络输出 y n 解 解 1 用卷积法求 用卷积法求 y n mn m m y nh nx nb u m au nm 0n 1111 1 00 1 1 nnnn nn n mmnmmn mm abab y nabaaba a bab 0n 0y n 最后得到最后得到 11 nn ab y nu n ab 2 用 用 ZT 法求法求 y n 11 11 11 X zH z azbz 11 1 11 Y zX z H z azbz 1 1 2 n c y nY z zdz j A 令令 11 1 11 11 nn n zz F zY z z za zbazbz c 内有极点内有极点0n a b 文档鉴赏 1111 Re Re nnnn abab y ns F z as F z b abbaab 因为系统是因果系统 因为系统是因果系统 最后得到 最后得到0n 0y n 11 nn ab y nu n ab 28 若序列若序列是因果序列 其傅里叶变换的实部如下式 是因果序列 其傅里叶变换的实部如下式 h n 2 1cos 1 12 cos jw R aw Hea aaw 求序列求序列及其傅里叶变换及其傅里叶变换 h n jw H e 解 解 22 1cos1 0 5 12 cos1 jwjw jw R jwjw awa ee He aawaa ee 1 211 1 0 5 1 0 5 1 1 1 jwjw R a zza ee Hz aa zzazaz 求上式求上式 IZT 得到序列 得到序列的共轭对称序列的共轭对称序列 h n e h n 1 1 2 n eR c h nHz zdz j A 2 11 1 0 50 5 nn R azza F zHz zz a za za 因为因为是因果序列 是因果序列 必定是双边序列 收敛域取 必定是双边序列 收敛域取 h n e h n 1 aza 时 时 c 内有极点内有极点 1n a 2 1 1 0 50 51 Re 2 nn e azza h ns F z azzaa zaa za za n 0 时 时 c 内有极点内有极点 0 a 2 11 1 0 50 5 n R azza F zHz zz a za za 文档鉴赏 所以所以 Re Re 0 1 e h ns F z as F z 又因为又因为 ee h nhn 所以所以 1 0 0 5 0 0 5 0 n e n n h nan an 1 0 0 2 0 0 0 00 0 e nn e nh n n h nh n nana u n nn 0 1 1 jwnjwn jw n H ea e ae 3 23 2 教材第三章习题解答教材第三章习题解答 1 计算以下诸序列的计算以下诸序列的 N 点点 DFT 在变换区间在变换区间内内 序列定义为序列定义为01nN 2 x nn 4 0 m x nRnmN 6 2 cos 0 x nnmmN N 8 0 sin N x nw nRn 10 N x nnRn 解 解 文档鉴赏 2 1 1 0 1 1 0 1 0 NknWnkX N n N n kn N 4 1 1 0 sin sin 1 1 1 1 0 Nk m N mk N e W W WkX mk N j k N km N N n kn N 10 0 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 0 2 1 0 2 Nk mNkmk mNkmk N e e e e ee km N j Nkm N j km N j Nkm N j N n nkm N j N n nkm N j 或 且 6 kn N jmn N j N n mn N j N n kn N eeeWmn N kX 22 1 0 2 1 0 2 12 cos 8 解法 解法 1 直接计算直接计算 2 1 sin 00 08 nRee j nRnwnx N njwnjw N 1 0 2 1 0 8 00 2 1 N n kn N j njwnjw N n kn N eee j WnxkX 2 2 1 0 22 0 0 0 0 00 1 1 1 1 2 1 2 1 k N wj Njw k N wj Njw N n n N wjn N wj e e e e j ee j 解法解法 2 由由 DFT 的共轭对称性求解的共轭对称性求解 因为因为 sin cos 007 0 nRnwjnwnRenx NN njw Im sin 708 nxnRnwnx N 文档鉴赏 所以所以 Im 7078 kXnxjDFTnjxDFT 即即 2 1 77708 kNXkXjkjXkX 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 k N wj Njw k N wj Njw kN N wj Njw k N wj Njw e e e e j e e e e j 结果与解法结果与解法 1 所得结果相同 此题验证了共轭对称性 所得结果相同 此题验证了共轭对称性 10 解法 解法 1 1 1 0 1 0 NknWkX N n kn N 上式直接计算较难 可根据循环移位性质来求解上式直接计算较难 可根据循环移位性质来求解 X k 因为因为 nnRnx N 所以所以 1 nRnNnRnxnx NNN 等式两边进行等式两边进行 DFT 得到得到 kNNWkXkX k N 故故 1 2 1 1 1 Nk W kN kX k N 当当时 可直接计算得出时 可直接计算得出 X 0 0 k 2 1 0 1 0 1 0 0 NN nWnX N n N n N 这样 这样 X k 可写成如下形式 可写成如下形式 文档鉴赏 1 2 1 1 0 2 1 Nk W N k NN kX k N 解法解法 2 时 时 0 k 2 1 1 0 NN nkX N n 时 时 0 k NNWNWkXWkX NWNWWWkXW WNWWWkX N n kn N N n kn N kn N kN N k N k N k N kn N kN N k N k N k N 1 0 1 1 1 432 1 32 1 1 1 1 2 320 1 320 所以 所以 0 1 k W N kX k N 即即 1 2 1 1 0 2 1 Nk W N k NN kX k N 2 已知下列已知下列 求 求 X k x nIDFT X k 1 2 2 0 j j N ekm N X kekNm k 其它 文档鉴赏 2 2 2 0 j j N jekm N X kjekNm k 其它 解 解 1 1 1 0 2 cos 2 1 22 11 2 2 22 1 0 Nnmn N ee ee N ee N N W N kXIDFTnx mn N jmn N j nmN N j j mn N j j N n kn N 2 nmN N jmn N j We N Wje N N nx 22 1 1 1 0 2 sin 2 1 2 2 Nnmn N ee j mn N jmn N j 3 长度为长度为 N 10 的两个有限长序列的两个有限长序列 1 1 04 0 59 n x n n 2 1 04 1 59 n x n n 作图表示作图表示 和和 1 x n 2 x n 12 y nx nx n 解 解 和和分别如题分别如题 3 解图 解图 a b c 所示 所示 1 x n 2 x n 12 y nx nx n 14 两个有限长序列两个有限长序列和和的零值区间为的零值区间为 x n y n 文档鉴赏 0 0 8 0 0 20 x nnn y nnn 对每个序列作对每个序列作 20 点点 DFT 即即 0 1 19 0 1 19 X kDFT x nk Y kDFT y nk 如果如果 0 1 19 0 1 19 F kX kY k k f nIDFT F kk 试问在哪些点上试问在哪些点上 为什么 为什么 f nx ny n 解 解 如前所示 记如前所示 记 而 而 f nx ny n nynxkFIDFTnf nfl 长度为长度为 27 长度为长度为 20 已推出二者的关系为 已推出二者的关系为 nf m l nRmnfnf 20 20 只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上 才满足只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上 才满足所以所以 nfnf l 197 nnynxnfnf l 15 用微处理机对实数序列作谱分析用微处理机对实数序列作谱分析 要求谱分辨率要求谱分辨率 信号最 信号最50FHz 高频率为高频率为 1kHZ 试确定以下各参数 试确定以下各参数 1 最小记录时间 最小记录时间 minp T 2 最大取样间隔 最大取样间隔 max T 3 最少采样点数 最少采样点数 min N 4 在频带宽度不变的情况下 将频率分辨率提高一倍的 在频带宽度不变的情况下 将频率分辨率提高一倍的 N 值 值 文档鉴赏 解 解 1 已知 已知HZF50 s F Tp02 0 50 11 min 2 ms ff T5 0 102 1 2 11 3 maxmin max 3 40 105 0 02 0 3 min s T T N p 4 频带宽度不变就意味着采样间隔 频带宽度不变就意味着采样间隔 T 不变 应该使记录时间扩大不变 应该使记录时间扩大 一倍为一倍为 0 04s 实现频率分辨率提高一倍 实现频率分辨率提高一倍 F 变为原来的变为原来的 1 2 80 5 0 04 0 min ms s N 18 我们希望利用我们希望利用长度为长度为 N 50 的的 FIR 滤波器对一段很长的数据滤波器对一段很长的数据 h n 序列进行滤波处理 要求采用重叠保留法通过序列进行滤波处理 要求采用重叠保留法通过 DFT 来实现 所谓重来实现 所谓重 叠保留法 就是对输入序列进行分段 本题设每段长度为叠保留法 就是对输入序列进行分段 本题设每段长度为 M 100 个个 采样点 采样点 但相邻两段必须重叠 但相邻两段必须重叠 V 个点 然后计算各段与个点 然后计算各段与的的 L 点点 h n 本题取 本题取 L 128 循环卷积 得到输出序列 循环卷积 得到输出序列 m 表示第表示第 m 段计段计 m yn 算输出 最后 从算输出 最后 从中取出 个 使每段取出的 个采样点连接得中取出 个 使每段取出的 个采样点连接得 m yn 到滤波输出到滤波输出 y n 1 求 求 V 2 求 求 B 3 确定取出的 确定取出的 B 个采样应为个采样应为中的哪些采样点 中的哪些采样点 m yn 解 解 为了便于叙述 规定循环卷积的输出序列为了便于叙述 规定循环卷积的输出序列的序列标号为的序列标号为 m yn 文档鉴赏 0 1 2 127 先以先以与各段输入的线性卷积与各段输入的线性卷积考虑 考虑 中 第中 第 0 点到点到 h n nylm nylm 48 点 共点 共 49 个点 不正确 不能作为滤波输出 第个点 不正确 不能作为滤波输出 第 49 点到第点到第 99 点点 共 共 51 个点 为正确的滤波输出序列个点 为正确的滤波输出序列的一段 即的一段 即 B 51 所以 所以 ny 为了去除前面为了去除前面 49 个不正确点 取出个不正确点 取出 51 个正确的点连续得到不间断又个正确的点连续得到不间断又 无多余点的无多余点的 必须重叠 必须重叠 100 51 49 个点 即个点 即 V 49 ny 下面说明 对下面说明 对 128 点的循环卷积点的循环卷积 上述结果也是正确的 我 上述结果也是正确的 我 m yn 们知道们知道 r lmm nRrnyny 128 128 因为因为长度为长度为 nylm N M 1 50 100 1 149 所以从所以从 n 20 到到 127 区域 区域 当然 第 当然 第 49 点到第点到第 99 点点 nyny lmm 二者亦相等 所以 所取出的第二者亦相等 所以 所取出的第 51 点为从第点为从第 49 到到 99 点的点的 m yn 综上所述 总结所得结论综上所述 总结所得结论 V 49 B 51 选取选取中第中第 49 99 点作为滤波输出 点作为滤波输出 m yn 5 25 2 教材第五章习题解答教材第五章习题解答 1 1 设系统用下面的差分方程描述 设系统用下面的差分方程描述 311 1 2 1 483 y ny ny nx nx n 文档鉴赏 试画出系统的直接型 级联型和并联型结构 试画出系统的直接型 级联型和并联型结构 解 解 311 1 2 1 483 y ny ny nx nx n 将上式进行将上式进行 Z 变换变换 121 311 483 Y zY z zY z zX zX z z 1 12 1 1 3 31 1 48 z H z zz 1 按照系统函数 按照系统函数 根据 根据 Masson 公式 画出直接型结构如公式 画出直接型结构如题题 1 H z 解图 一 解图 一 所示 所示 2 将 将的分母进行因式分解的分母进行因式分解 H z 1 12 1 1 3 31 1 48 z H z zz 1 11 1 1 3 11 1 1 24 z zz 按照上式可以有两种级联型结构 按照上式可以有两种级联型结构 a 1 11 1 1 1 3 11 1 1 24 z H z zz 画出级联型结构如画出级联型结构如题题 1 解图 二 解图 二 a 所示所示 b 1 11 1 1 1 3 11 1 1 24 z H z zz 画出级联型结构如画出级联型结构如题题 1 解图 二 解图 二 b 所示所示 文档鉴赏 3 将 将进行部分分式展开进行部分分式展开 H z 1 11 1 1 3 11 1 1 24 z H z zz 1 3 1111 2424 z H zAB z zzzz 1 110 3 1 11 23 2 24 z Az z zz 1 17 3 1 11 43 4 24 z Bz z zz 107 33 11 24 H z z zz 11 107107 3333 1111 11 2424 zz H z zzzz 根据上式画出并联型结构如根据上式画出并联型结构如题题 1 解图 三 解图 三 所示 所示 2 设数字滤波器的差分方程为设数字滤波器的差分方程为 1 2 2 1 y nab y naby nx nab x nabx n 试画出该滤波器的直接型 级联型和并联型结构 试画出该滤波器的直接型 级联型和并联型结构 解 解 将差分方程进行将差分方程进行 Z 变换 得到变换 得到 1221 Y zab Y z zabY z zX z zab X z zabX z 12 12 1 Y zabab zz H z X zab zabz 文档鉴赏 1 按照 按照 Massion 公式直接画出直接型结构如公式直接画出直接型结构如题题 2 解图 一 解图 一 所示 所示 2 将 将的分子和分母进行因式分解 的分子和分母进行因式分解 H z 11 12 11 1 1 azbz H zH z Hz azbz 按照上式可以有两种级联型结构 按照上式可以有两种级联型结构 a 1 1 1 1 za H z az 1 2 1 1 zb Hz bz 画出级联型结构如画出级联型结构如题题 2 解图 二 解图 二 a 所示 所示 b 1 1 1 1 za H z bz 1 2 1 1 zb Hz az 画出级联型结构如画出级联型结构如题题 2 解图 二 解图 二 b 所示所示 3 设系统的系统函数为设系统的系统函数为 112 112 4 1 1 1 414 1 0 5 1 0 90 18 zzz H z zzz 试画出各种可能的级联型结构 试画出各种可能的级联型结构 解 解 由于系统函数的分子和分母各有两个因式 可以有两种级联型结构 由于系统函数的分子和分母各有两个因式 可以有两种级联型结构 12 H zH z Hz 1 1 1 1 4 1 1 0 5 z H z z 文档鉴赏 12 2 12 1 1 414 1 0 90 81 zz Hz zz 画出级联型结构如画出级联型结构如题题 3 解图 解图 a 所示所示 2 12 1 1 1 1 414 1 0 5 zz H z z 1 2 12 4 1 1 0 90 81 z Hz zz 画出级联型结构如画出级联型结构如题题 3 解图 解图 b 所示 所示 4 图中画出了四个系统 试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总图中画出了四个系统 试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总 系统的单位脉冲响应 并求其总系统函数 系统的单位脉冲响应 并求其总系统函数 图图 d 解 解 d 12345 h nh nh nh nh nh n 121345 h nh nh nh nh nh n 121345 H zH z HzH z Hz HzHz 5 写出图中流图的系统函数及差分方程 写出图中流图的系统函数及差分方程 图图 d 解 解 d 1 11222222 sin 1coscossincos rz H z rzrzrzrz 1 122 sin 1 2 cos rz rzr z 2 2 cos 1 2 sin 1 y nry nr y nrx n 6 写出图中流图的系统函数 写出图中流图的系统函数 图图 f 解 解 文档鉴赏 f 11 1212 11 222 42 1313 11 4848 zz H z zzzz 8 已知 已知 FIR 滤波器的单位脉冲响应为滤波器的单位脉冲响应为 试 试 1 4 h nnnn 用频率采样结构实现该滤波器 设采样点数用频率采样结构实现该滤波器 设采样点数 N 5 要求画出频率采样 要求画出频率采样 网络结构 写出滤波器参数的计算公式 网络结构 写出滤波器参数的计算公式 解 解 已知频率采样结构的公式为已知频率采样结构的公式为 1 1 0 1 1 1 N N k k N H k H zz NWz 式中 式中 N 5 14 00 1 4 N knkn NN nn H kDFT h nh n WnnnW 28 55 1 0 1 2 3 4 jkjk eek 它的频率采样结构如它的频率采样结构如题题 8 解图解图所示 所示 6 26 2 教材第六章习题解答教材第六章习题解答 1 设计一个巴特沃斯低通滤波器 要求通带截止频率设计一个巴特沃斯低通滤波器 要求通带截止频率 通带 通带6 p fkHz 最大衰减最大衰减 阻带截止频率 阻带截止频率 阻带最小衰减 阻带最小衰减 3 p adB 12 s fkHz 3 s adB 求出滤波器归一化传输函数求出滤波器归一化传输函数以及实际的以及实际的 a Hp a Hs 解 解 1 求阶数 求阶数 N 文档鉴赏 lg lg sp sp k N 0 1 0 3 0 1