黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三数学10月第二次调研考试试题 文（含解析）

1 黑龙江省哈尔滨市第六中学黑龙江省哈尔滨市第六中学 20202020 届高三数学届高三数学 1010 月第二次调研考试试月第二次调研考试试 题题 文 含解析 文 含解析 一 选择题 一 选择题 1 已知集合 则 2 28023ax xxbxx ab a b c d 2 3 2 3 4 2 4 3 答案 b 解析 分析 求解一元二次不等式的解集 化简集合的表示 最后运用集合交集的定义 结合数轴求出 a ab 详解 因为 2 28024ax xxax xx 或 所以 故本题选 b 23 2 3 bxa 点睛 本题考查了一元二次不等式的解法 考查了集合交集的运算 正确求解一元二次不 等式的解集 运用数轴是解题的关键 2 若 则复数的实部与虚部之和为 12zii z a 1 b 1c 2d 4 答案 d 解析 分析 利用复数相乘化简得 得到复数的实部与虚部之和为 3zi z4 详解 所以复数实部为 虚部为 所 2 12223ziiiiii z3 1 以和为 4 故选 d 点睛 本题考查复数的乘法运算 复数实部和虚部的概念 考查基本运算求解能力 2 3 下列函数中 与函数的奇偶性相同 且在上单调性也相同的是 1 3 x y 0 a b c d 2 1yx 1 y x 3 1yx 2 logyx 答案 a 解析 分析 先从解析式得到函数为偶函数 且在上单调递增 与函数奇偶性 1 3 x y 0 2 1yx 与单调性均相同 详解 因为函数为偶函数 排除 b c 1 3 x y 当时 所以函数在上单调递增 与函数在单 0 x 1 3 3 x x y 0 2 1yx 0 调性相同 故选 a 点睛 本题考查函数奇偶性与单调性的性质 考查数形结合思想的应用 特别注意偶函数 在轴两边的对称性相反 y 4 已知是等差数列 且 则 1 1 n a 1 1 4 a 4 1a 11 a a 12 b 11 c 6 d 5 答案 c 解析 分析 根据等差数列的第一项和第四项求得公差 再求出数列的第 1 1 n a 1 10 d 1 1 n a 项 进而求出 11 11 6a 3 详解 因为数列是等差数列 所以公差 1 1 n a 41 1 11 4 1 25 4 13 1 10 1 d aa 所以 解得 故选 c 111 11411 1010 115105 d aa 11 6a 点睛 本题考查等差数列通项公式 考查基本量法 求解过程中要注意整体思想的应用 5 已知菱形的边长为 2 点是上靠近的三等分点 则 abcd60bad ebdd ae ab a b c 1 d 2 8 3 4 3 答案 a 解析 分析 取为基底 再把转化成基底运算 ab ad 12 33 aeabad ae ab 详解 如图 作 因为是上靠近的三等分点 neab emadebdd 所以也都是三等分点 m n 所以 12 33 aeamanabad ae ab 2 2 121218 22 2 333323 abad ab 故选 a 点睛 本题考查平面向量基本定理的运用 考查数形结合思想 求解过程中要注意基底选 择的合理性 即一般是选择模和夹角已知的两个向量作为基底 4 6 在中 角的对边分别是 若 且三边 abc abc abc sin3 cos0baab 成等比数列 则的值为 abc 2 ac b a b c 1d 2 2 4 2 2 答案 c 解析 分析 先利用正弦定理边角互化思想得出 再利余弦定理以及条件得出 3 b 1 cos 2 b 2 bac 可得出是等边三角形 于此可得出的值 ac abc 2 ac b 详解 由正弦定理边角互化的思想得 sin3 cos0baab q sinsin3 sincos0abab 则 sin0a sin3cos0bb tan3b 3 b 成等比数列 则 由余弦定理得 a bc 2 bac 22222 1 cos 222 acbacac b acac 化简得 则是等边三角形 故选 c 22 20aacc ac abc 1 2 ac b 点睛 本题考查正弦定理边角互化思想的应用 考查余弦定理的应用 解题时应根据等式 结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解 考查计算能力 属于中等题 7 关于函数 下列叙述有误的是 2sin 31 4 yx a 其图象关于直线对称 4 x 5 b 其图象关于点对称 1 4 c 其值域是 1 3 d 其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的 3 倍得到 2sin1 4 yx 答案 d 解析 分析 将代入 取得最值 为的对称中心 4 x sin 3 4 yx y 0 2sin 3 4 yx 再向上平移 1 个单位 由 得原函数的值域 22sin 32 4 x 详解 对 a 当时 所以为函 4 x 3 sinsin1 442 yx 4 x 数的对称轴 对 b 为的对称中心 函数向上平移 1 个单位 0 2sin 3 4 yx 2sin 3 4 yx 后得 所以为的对称中心 2sin 31 4 yx 1 4 2sin 31 4 yx 对 c 由 所以 所以值域为 22sin 32 4 x 12sin 313 4 x 1 3 对 d 函数图象上所有点的横坐标变为原来的 3 倍和到的解析式为 2sin1 4 yx 而不是 故选 d 2sin1 34 x y 2sin 31 4 yx 点睛 本题考查函数的图象与性质 在三角变换过程中 注 sin 0 yaxb 意横坐标的伸缩变换只与自变量有关 x 8 在 九章算术 中 将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑 在鳖臑中 abcd 6 平面 且 为ad的中点 则异面直线 ab bcdbccd 4abbccd m 与夹角的余弦值为 bmcd a b c d 2 3 3 4 3 3 2 4 答案 c 解析 分析 作出异面直线所成的角 利用余弦定理计算出这个角的余弦值 详解 设是中点 连接 由于分别是中点 是三角形 fac mf bf m f ad ac mf 的中位线 故 所以是两条异面直线所成的角 根据鳖臑的几何性 acd fmcdfmb 质可知 故 在三角形中 由 4 2 4 3acad 2 2 2 3 2bfbmfm bmf 余弦定理得 故选 c 12483 cos 32 2 32 fmb 点睛 本小题主要考查异面直线所成的角的余弦值的求法 考查空间想象能力 考查中国 7 古典数学文化 属于基础题 9 已知三棱锥中 平面 则此三棱 pabc 6 2 3 6 paabacbc pa abc 锥的外接球的表面积为 pabc a b c d 48 84 192 228 答案 b 解析 分析 作出三棱锥的直观图 添加适当的辅助线 确定外接球球心的位置 根据数量关系 求出底 面外接圆的半径 再列出球半径的方程 求出代入表面积公式 2 3r rr 详解 设的外心为 过作平面 取的中点 作 abc 1 o 1 o 1 oo abcpamom 与相交于点 则为外接球的球心为 pa 1 oo oo 因为 所以 222 12 12361 cos 222 2 3 2 3 abacbc a ab ac 0a 2 3 a 因为 所以 6 22 3 sin3 2 bc rr a 22 321roar 所以 故选 b 2 484sr 点睛 本题以三棱锥内接于球为背景 求球的表面积 考查空间想象能力和运算求解能力 根据几何体的特点确定球心的位置是解题的关键 o 8 10 在正方体中 为棱上一点 且 为棱的中 1111 abcdabc d ecd2cede f 1 aa 点 且平面与交于点 则与平面所成角的正切值为 bef 1 dd g1 bg abcd a b c d 2 12 2 6 5 2 12 5 2 6 答案 c 解析 分析 根据平面平面 可知所求角为 假设正方体棱长为 求解出 abcd 1111 dcba 11 d bg 6 和 从而得到结果 1 dg 11 b d 详解 因为平面平面 abcd 1111 dcba 所以与平面所成角即为与平面所成角 1 bg abcd1 bg 1111 dcba 可知与平面所成角为 1 bg 11 d bg 设 则 6ab 3af 2de 平面面且面 可知 bef 11 cddcge bf 11 cddc bfge 则 即 afdg abde 3 62 dg 1dg 1 5dg 在中 11 rt b dg 1 11 11 55 2 tan 126 2 dg d bg b d 故与平面所成角的正切值为 1 bg abcd 5 2 12 9 本题正确选项 c 点睛 本题考查立体几何中的直线与平面所成角问题 关键是能够通过位置关系确定所成 角 再利用直角三角形求得结果 11 设数列的前项和为 且 则数列 n a nn s 1 1a 2 1 n n s annn n 的前 10 项的和是 1 3 n sn a 290b c d 9 20 5 11 10 11 答案 c 解析 分析 由得为等差数列 求得 得 2 1 n n s annn n n a 43 n annn 利用裂项相消求解即可 111 11 32 1 21 n snn nnn 详解 由得 2 1 n n s annn n 2 1 nn snan n 当时 整理得 2n 11 1 4 1 nnnnn assnanan 1 4 nn aa 所以是公差为 4 的等差数列 又 n a 1 1a 所以 从而 43 n annn 21 33222 1 2 n n n aa snnnnn n 所以 111 11 32 1 21 n snn nnn 数列的前 10 项的和 1 3 n sn 115 1 21111 s 故选 c 10 点睛 本题考查递推关系求通项公式 等差数列的通项及求和公式 裂项相消求和 熟记 公式 准确得是等差数列是本题关键 是中档题 n a 12 已知函数 若对任意 总存在 2 2 sin2 0 2 2 0 x axx f xg xar xa x 1 1 x 使 则实数的取值范围是 2 xr 12 f xg x a a b 1 2 13 2 42 c d 1 1 2 2 37 12 24 答案 b 解析 分析 求出两个函数的值域 结合对任意 总存在 使 等价为 1 1 x 2 xr 12 f xg x 的值域是值域的子集 分别研究两个函数的值域即可 f x g x 详解 对任意 则 即函数的值域为 1 x 21 1 22 2 x f x f x 1 2 若对任意的 总存在 使 1 1 x 2 xr 12 f xg x 设函数的值域为 则满足 即可 g x a 1 2 a 当时 函数为减函数 则此时 0 x 2 2g xxa 2g xa 当时 0 x sin2 2 2 g xaxaa 1 当 即时 满足条件成立 1 2 2 a 1 4 a 1 2 a 2 当时 此时 要使成立 则此时当时 1 4 a 1 2 2 a 1 2 a 0 x 11 所以解得 sin2 2 2 g xaxaa 1 2 2 22 a aa 3 2 2 a 综上所述 或 故选 b 1 4 a 3 2 2 a 点睛 本题主要考查函数与方程的应用 求出函数的值域 转化为的值域是值 f x g x 域的子集 若懂得借助函数图象进行分析 则更容易看出问题的本质 二 填空题 二 填空题 13 已知 则在方向上的投影为 1 1 2 3 ab b a 答案 2 2 解析 分析 根据投影的定义求解即可 详解 由数量积定义可知在方向上的投影为 则 cos a ba ba b b a cos ba b 1 2 1 3 cos 2 2 2 a ba b ba bb aa b 故答案为 2 2 点睛 本题主要考查了投影和数量积公式 掌握在方向上的投影为是解 b a cos ba b 题的关键 属于基础题 14 若正四棱锥的底面边长为 侧棱长为 则该正四棱锥的体积为 2 37 答案 4 解析 分析 设正四棱锥的高为po 连结ao 在直角三角形poa中 求得高 利用体积公式 即可 1po 12 求解 详解 由题意 如图所示 正四棱锥p abcd中 ab pa 2 37 设正四棱锥的高为po 连结ao 则ao 11 26 22 acab 在直角三角形poa中 22 176popaao 11 12 14 33 p abcdabcd vspo 点睛 本题主要考查了正棱锥体积的计算 其中解答中熟记正棱锥的性质 以及棱锥的体 积公式 准确计算是解答的关键 着重考查了推理与运算能力 15 化简 31 sin80cos80 答案 4 解析 分析 对式子进行通分 利用倍角公式得 利用辅助角公式得 1 sin80cos80sin160 2 再利用诱导公式化简得值为 3cos80sin802sin 6080 4 详解 原式 13 313cos80sin802sin 6080 2sin20 4 11 sin80cos80sin80cos80 2 sin80cos80sin20 22 故填 4 点睛 本题考查三角恒等变换公式的综合运用 考查运算求解能力 特别注意变换过程中 符号不能弄错 16 已知数列是首项为 6 公差为 1 的等差数列 数列满足 n b n a 且 则数列的最大值为 1 2n nn aann 19 ab n n b a 答案 1 256 解析 分析 先求等差数列 利用累加法求出 令 由式子得的最大 7 n bn 2n n a 7 2 n n n n bn c a n c 值在中取得 利用数列的单调性得为的最大值 8n 89 1 256 cc n n b a 详解 由已知易得 因为 所以 6 1 17 n bnn 1 2n nn aa 1 21 2 32 1 1 2 2 2 n nn aa aa aa 累加得 又 1 1 1 2 1 2 2 21 1 2 n n n aa 19 2ab 所以 所以 显然前 7 项的值小于等于 0 从第 8 项起大于 0 2n n a 7 2 n n n n bn c a 所以当时 所以 9n 1 1 789 0 222 nn nnn nnn cc 891011 cccc 14 所以 故填 max89 1 256 n ccc 1 256 点睛 本题考查等差数列 等比数列前项和 数列的单调性等知识 考查累加法的应用 n 数列的最大项要树立函数单调性的思想意识 三 解答题 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知函数 2 2sin3cos2 4 f xxx 1 求的最小正周期 f x 2 设的内角的对边分别为 且 若 abc a b c a b c 3 1 2 c cf 求的值 sin2sinba a b 答案 1 2 t 1 2ab 解析 分析 1 由降幂公式 诱导公式得 辅助角公式化简 代入周期公式 12sin 2 3 f xx 2 t 2 根据得到 再由斜弦定理和正弦定理得到关于的方程 再求得 1 2 c f 3 c a b 的值 a b 详解 1 1 cos 2 2 23cos21 sin23cos212sin 2 23 x f xxxxx 所以 2 2 t 2 因为 因为 所以 12sin1sin0 233 c fcc 0c 15 3 c 因为 22222 2cos3cababcabab 因为 所以 联立方程 得 sinsin ab ab sin2sinba 2ba 1 2ab 点睛 本题考查三角恒等变换中的降幂公式 诱导公式 辅助角公式 解三角形中的正 余弦定理的综合运用 考查运算求解能力 注意由方程得到 要加 sin0 3 c 3 c 上这一条件 0c 18 如图 在几何体中 平面平面 abcde cdaea 90eac eacd abc 为的中点 2 1 2 2 3cdeaabacbc fbd 1 证明 平面 efabc 2 求直线与平面所成角的正弦值 abbde 答案 1 解析见证明 2 3 4 解析 分析 1 取的中点 连 证明四边形为平行四边形 再由线面平行判 bcm fm am amfe 定定理证明线面平行 2 找到并证明两两互相垂直 建立空间直角坐标系 写出相关点坐标 设 ma mb mf 16 平面的法向量 最后代入公式进行求值 bde sin cos ab n ab n ab n 详解 1 取的中点 连 在中 bcm fm am bcd 1 2 mfcd mfcd 又 四边形为平行四边形 cdae 1 2 aecd aemf aemf amfe 又平面 平面 平面 efamef abcam abc efabc 2 平面平面 平面平面 平面 eacd abc eacd abcac ae eacd 平面 又 平面 aeac ae abc aemf mf abc 为中点 2acbc mbc ambc 以为原点 以所在直线分别为轴 建立空间直角坐标系 则 m ma mb mf x y z 0 3 0 0 3 2 1 0 1 1 0 0bdea 1 3 0 1 3 1 0 2 3 2abbebd 设为平面的一个法向量 则 nx y z bde 30 0 0 2 320 xyzn be n bd yz 取 设直线与平面所成角为 0 1 3xyz 0 1 3n abbde 3 sin cos 4 ab n ab n ab n 点睛 本题考查线面平行判定定理 面面垂直性质定理的运用 用空间向量求线面角等知 识 考查空间相象能力和运算求解能力 在建系时如果三条两两互相垂直的直线不明显 必 需要给出证明 17 19 已知数列的前项和为 且 n a nn s 2 nn san nn 1 证明数列是等比数列 并求数列的通项公式 1 n a n a 2 记 求数列的前项和 21 nn bna n b n n s 答案 1 2 21 n n a 12 6 23 2n n snn 解析 分析 1 利用临差法 多递推一项再相减得 再利用构造法得 1 21 nn aa 得到 从而证明是等比数列 利用通项公式得 1 2 1 1 nn aa 1 1 2 1 n n a a 1 n a 21 n n a 2 由 1 得 利用错位相减法和等差数列前 121 21 2122 n n n bnnn 项和公式 分别求得数列 前项和 再相加 n 21 2 n n nc 21 n dn n 详解 1 因为 两式相减得 2 nn san 11 2 1 nn san 111 1 21 22121 nnnnnnn aaaaaaa 所以 当时 1 1 2 1 n n a a 1n 1 1a 所以是以公比 为首项的等比数列 1 n a 22 所以 1 1 1 1 221 nn nn aaa 2 121 21 2122 n n n bnnn 令 其前项和为 21 2 n n nc n n t 所以 123 1 23 25 2221 n n tn 两边同乘以得 2 2341 21 23 25 2221 n n tn 两式相减得 231 22 222 21 2 nn n tn 整理得 1 6 23 2n n tn 18 令 其前项和为 21 n dn n n t 则 2 121 2 n nn tn 所以 12 6 23 2n nnn sttnn 点睛 本题考查等比数列的证明 等比数列通项公式 等差数列前项和 错位相减法求 n 和等知识 考查逻辑推理和运算求解能力 由于计算比较繁琐 所以最后可能通过检验与 1 s 是否相等 验证答案的准确性 1 b 20 如图 在直三棱柱中 111 abcabc 1 2 2 aba aacbc 1 若为中点 证明 平面 mab 1 ab 1 b mc 2 设与平面所成的角为 求此三棱柱的体积 1 ab 11 a acc 4 答案 1 证明见解析 2 6 解析 分析 1 证明垂直平面 的两条相交直线 再利用线面垂直判定定理进行证 1 ab 1 b mc 1 cm b m 明 2 作出与平面所成的角 并给出证明 再设 利用求 1 ab 11 a acc acx 1 2bnab 得的值 再代入柱体体积公式进行计算 x 详解 1 设 11 mbabo 平面平面 平面平面 平面 11 abb a abc 11 abb a abcab cm abc 19 平面 又平面 cm ab cm 11 abb a 1 ab 11 abb a 1 abcm 1 11 1 22 tan tan 22 a abm abamb b abbb 11 abamb b 又 即 又 111 2 abaabb 1 2 bob 11 abmb 11 mbabo 平面 1 ab 1 b mc 2 过作于 连 bbnac m 1 an 平面平面 平面平面 平面 11 acc a abc 11 acc a abcac bn abc 平面 bnac bn 11 acc a 为与平面所成的角 故 1 ban 1 ab 11 a acc 1 4 ban 设 则 acx 2 1ncx 11 22 ac bnab nc 2 11 21 22 x bnx 2 21x bn x 1 6ab 2 1 21 2262 x bnabx x 2 1 13 226 22 abc vsaa 点睛 本题考查线面垂直判定定理 平面几何中的垂直关系 线面角的概念及体积公式计 算 考查空间想象能力和运算求解能力 求解过程中要有方程思想的意识 20 21 已知函数 1ln0 f xaxax a 1 当 时 设 讨论的导函数的单调性 1 2 a 1g xf xx g x gx 2 当时 求的取值范围 1x 1f xx a 答案 1 上单调递减 上单调递增 2 0 1 1 1 2 a 解析 分析 1 当时 对导函数再次求导 转化成解一次不等式 从 1 2 a 11 ln1 2 g xx x 而得到的单调区间 g x 2 由第 1 步的思路 构造函数 对函数进行求 1ln1g xaxaxx 0 a 导后 再次求导得到 对分成和两种 22 1 1 aaaxa gx xxx 0a a 1 2 a 1 2 a 情况进行讨论 先研究的单调性与函数值的正负 再研究的单调性与函数值的正 g x g x 负 详解 1 当时 1 2 a 11 1ln10 22 g xf xxxxxx 111111 ln1ln1ln1 2222 xx g xxxx xxx 当 当 22 1 111 22 x gx xxx 01gxx 001gxx 所以在上单调递减 在上单调递增 g x 0 1 1 2 当时 令 1x 1f xx 1ln1g xaxaxx 0 a 11 ln1ln1 axaa gxaxaxa xx 22 1 1 aaaxa gx xxx 0a 21 当 1 0 a gxx a 当时 在恒成立 11 1 2 a a a 0gx 1x 所以在上单调递增 且 g x 1 1 0g 所以在恒成立 0g x 1x 所以在上单调递增 且 g x 1 1 0g 所以在恒成立 0 g x 1x 所以当时 不等式成立 1 2 a 当时 11 1 2 a a a 当 当 1 0 a gxx a 1 01 a gxx a 所以在上单调递减 且 g x 1 1 a a 1 0g 所以在上恒成立 0g x 1 1 a x a 所以在上单调递减 且 g x 1 1 a a 1 0g 所以在上恒成立 这与相矛盾 0 g x 1 1 a x a 0 g x 所以不成立 1 2 a 综上所述 1 2 a 点睛 本题考查导数在函数中的应用 求函数的单调区间 参数的取值范围 考查分类讨 论思想 函数与方程思想 转化与化归思想 数形结合思想 求解过程中要时刻注意脑中有 22 图 同时注意题设中的两个条件 0 1ax 22 在直角坐标系中 直线 的参数方程为 为参数 以原点为极点 xoy l 1 1