高三数学复习：立体几何的平行与垂直证明(教师)

1 高三数学复习高三数学复习 立体几何中的平行与垂直的证明立体几何中的平行与垂直的证明 一 平面的基本性质一 平面的基本性质 公理公理 1 1 公理公理 2 2 推论推论 1 1 推论推论 2 2 推论推论 3 3 公理公理 3 3 二 空间中直线与直线的位置关系二 空间中直线与直线的位置关系 平行 平行 相交 相交 异面 异面 三 平行问题三 平行问题 1 1 直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质 定义定义判定定理判定定理性质性质性质定理性质定理 图形图形 条件条件 a a 结论结论 a a b b a a a a b b 2 2 面面平行的判定与性质面面平行的判定与性质 判定判定 定义定义定理定理 性质性质 图形图形 条件条件 a a 结论结论 a a b ba a 2 平行问题的转化关系 平行问题的转化关系 四 垂直问题四 垂直问题 一 一 直线与平面垂直 直线与平面垂直 1 1 直线和平面垂直的定义 直线 直线和平面垂直的定义 直线l l与平面与平面 内的内的 都垂直 就说直线都垂直 就说直线l l 与平面与平面 互相垂直 互相垂直 2 2 直线与平面垂直的判定定理及推论 直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言 判定定理判定定理 一条直线与一个平面一条直线与一个平面 内的内的两条相交直线两条相交直线都都 垂直 则该直线与此垂直 则该直线与此 平面垂直平面垂直 推论推论 如果在两条平行直线如果在两条平行直线 中 有一条垂直于平中 有一条垂直于平 面 那么另一条直线面 那么另一条直线 也也垂直垂直这个平面这个平面 3 3 直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的性质定理 文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言 性质定理性质定理 垂直于同一个平面的两垂直于同一个平面的两 条直线条直线平行平行 4 4 直线和平面垂直的常用性质直线和平面垂直的常用性质 直线垂直于平面 则垂直于平面内直线垂直于平面 则垂直于平面内任意任意直线 直线 垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线平行 平行 垂直于同一条直线的两平面垂直于同一条直线的两平面平行 平行 二 二 平面与平面垂直 平面与平面垂直 1 1 平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的判定定理 文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言 判定定理判定定理 一个平面过另一个平面一个平面过另一个平面 的的垂线垂线 则这两个平面 则这两个平面 垂直垂直 3 2 2 平面与平面垂直的性质定理 平面与平面垂直的性质定理 文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言 性质定理性质定理 两个平面垂直 则一个两个平面垂直 则一个 平面内垂直于平面内垂直于交线交线的直的直 线垂直于另一个平面线垂直于另一个平面 类型一 平行与垂直类型一 平行与垂直 例 1 如图 已知三棱锥ABPC 中 APPC ACBC M为AB中点 D为PB中 点 且 PMB为正三角形 求证 DM 平面APC 求证 平面ABC 平面APC 若BC4 20AB 求三棱锥DBCM 的体积 例 2 如图 已知三棱柱中 底面 111 ABCABC 1 AA ABC 分别是棱 中点 2ACBC 1 4AA 2 2AB MN 1 CCAB 求证 平面 CN 11 ABB A 求证 平面 CN 1 AMB 求三棱锥的体积 1 BAMN AB C A1 B1 C1 M N M D A P B C 4 F D E C1 B1 A1 C B A 变式 1 如图 三棱柱中 侧棱平面 为等 111 CBAABC 1 AA ABCABC 腰直角三角形 且 分别是的中点 90 BAC 1 AAAB FED BCCCAB 11 1 求证 平面 DEABC 2 求证 平面 FB1AEF 3 设 求三棱锥的体积 ABa DAEF 二 线面平行与垂直的性质二 线面平行与垂直的性质 例3 如图4 在四棱锥P ABCD 中 平面PAD 平面ABCD AB DC PAD 是等边三角形 已知 24BDAD 22 5ABDC 1 求证 BD 平面PAD 2 求三棱锥A PCD 的体积 例 4 如图 四棱锥 P ABCD 中 平面 ABCD 底面为正方形 BC PD 2 E PDABCD 5 为 PC 的中点 3 1 CBCG I 求证 PCBC II 求三棱锥 C DEG 的体积 III AD 边上是否存在一点 M 使得平面 MEG 若存在 求 AM 的长 否则 说明 PA 理由 变式 2 直棱柱ABCD A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形 BAD ADC 90 AB 2AD 2CD 2 求证 AC平面BB1C1C A1B1上是否存一点P 使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行 证明你的结论 6 三 三视图与折叠问题 例 5 如图是一几何体的直观图 正视图 侧视图 俯视图 若为的中点 求证 面 FPDAF PCD 1 证明 面 BDPEC 2 求三棱锥的体积 EPBC 例 6 已知四边形是等腰梯形 如图ABCDABDEBADDCAB 45 1 3 1 现将沿折起 使得 如图 2 连结 ADE DEEBAE ABAC I 求证 平面平面 ADEACD II 试在棱上确定一点 使截面把几何体分成两部分的体积比ABMEMC 1 2 MECBADCME VV III 在点满足 II 的情况下 判断直线是否平行于平面 并说明理由 MADEMC A B E P D C 4 4 2 2 4 4 4 正视图侧视图 俯视图 M E DC B A E DC BA 图 1 图 2 7 变式 3 一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示 E 为 PD 中点 科网 I 求证 PB 平面 AEC II 求四棱锥CPAB 的体积 若 F 为侧棱 PA 上一点 且 FA PF 则 为何值时 PA平面 BDF 变式 4 如图 1 所示 正ABC 的边长为 2a CD 是 AB 边上的高 E F 分别是 AC BC 的中点 现将ABC 沿 CD 翻折 使翻折后平面 ACD 平面 BCD 如图 2 1 试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系 并说明理由 2 求三棱锥 C DEF 的体积 E C A D B P 图 图 2图 图 图 1图 F E F E A B C A B DC D 8 四 立体几何中的最值问题 例 7 图 4 A1A 是圆柱的母线 AB 是圆柱底面圆的直径 C 是底面圆周上异于 A B 的任 意一点 A1A AB 2 1 求证 BC 平面 A1AC 2 求三棱锥 A1 ABC 的体积的最大值 例 8 如图 在 交 2 2 ABCBABBCPAB 中 为边上一动点 PD BC AC 于 点 D 现将 PDA PDAPDPDAPBCD 沿翻折至使平面平面 1 当棱锥的体积最大时 求 PA 的长 APBCD 2 若点 P 为 AB 的中点 E 为 ACBDE 的中点 求证 A 图4 AB C A1 9 变式 5 如图 3 已知在中 平面 ABC ABC C90PA 于 E 于 F 当变化AE PB AF PC APAB 2 AEF 时 求三棱锥体积的最大值 PAEF 高三文科数学专题复习 立体几何平行 垂直问题 答案 典例探究 例 1 解 MAB为中点 D 为PB中点 MD AP 又 MDAPC 平面 DM APC平面 PMB为正三角形 且D为PB中点 MDPB 又由 1 知 MDAP APPB 又已知APPC APPBC 平面 APBC 又 ACBC M D A P B C 10 BCAPC 平面 平面ABC 平面PAC 20AB 10MB 10PB 又4BC 100 16842 21PC 111 4 2 212 21 244 BDCPBC SSPCBC 22 11 20105 3 22 MDAP 又 11 2 21 5 310 7 33 D BCMMBCDBDC VVSDM 例 2 证明 因为三棱柱中 底面 111 ABCABC 1 AA ABC 又因为平面 所以 1 分CN ABC 1 AACN 因为 是中点 2ACBC NAB 所以 2 分CNAB 因为 3 分 1 AAABA I 所以平面 4 分CN 11 ABB A 证明 取的中点 连结 1 ABGMGNG 因为 分别是棱 中点 NGAB 1 AB 所以 1 NGBB 1 1 2 NGBB 又因为 1 CMBB 1 1 2 CMBB 所以 CMNGCMNG 所以四边形是平行四边形 6 分CNGM 所以 7 分 CNMG 因为平面 平面 8 分CN 1 AMBGM 1 AMB 所以平面 9 分 CN 1 AMB 由 知平面 10 分GM 1 AB N 所以 13 分 11 MNMN 1124 42 3223 BAAB VV 变式 1 1 根据中点寻找平行线即可 2 易证 在根据勾股定理的逆定理 1 AFB F 证明 3 由于点是线段的中点 故点到平面的距离是点 1 B FEF D 1 ABDAEF AB C A1 B1 C1 M N G 11 O P D C B A 到平面距离的 求出高按照三棱锥的体积公式计算即可 1 BAEF 1 2 解析 1 取中点 连接ABODOCO 平行四边形 2 1 11 CEDOCEDOAADOAADO DOCE 平面 平面 平面 DECODE ABC COABC DE ABC 4 分 2 等腰直角三角形中为斜边的中点 ABC FBCAF 又直三棱柱 面面 111 CBAABC ABCCCBB 11 面 AFBC1FBAF 1 设 EFFBEBEFFBEBEFFBAAAB 1 2 1 22 1111 2 3 2 3 2 6 1 又面 8 分 FEFAF FB1AEF 3 由于点是线段的中点 故点到平面的距离是点到平面距离的D 1 ABDAEF 1 BAEF 所以三棱锥的高为 在中 1 2 2 2 1 26 22 B Faaa DAEF 6 4 aRt AEF 所以三棱锥的底面面积为 故三棱锥 32 22 EFa AFa DAEF 2 6 8 a 的体积为 12 分 DAEF 23 1661 38416 aaa 二 线面平行与垂直的性质 例3 1 证明 在 ABD 中 由于 2AD 4BD 2 5AB 222 ADBDAB 2分 AD BD 又平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD BD 平面ABCD BD 平面PAD 4分 2 解 过P作PO AD 交于O AD 又平面PAD 平面ABCD PO 平面ABCD 6分 PAD 是边长为2的等边三角形 3PO 由 1 知 AD BD 在Rt ABD 中 斜边AB边上的高为 4 5 5 ADBD h AB 8分 AB DC 114 5 52 225 ACD SCDh 10分 12 112 3 23 333 A PCDP ACDACD VVSPO 14分 例 4 I 证明 平面 ABCD PD BCPD 又 ABCD 是正方形 BC CD PDICE D BC 平面 PCD 又 PC面 PBC PC BC II 解 BC 平面 PCD GC 是三棱锥 G DEC 的高 E 是 PC 的中点 1 22 2 1 2 1 2 1 2 1 PDCEDCEDC SSS 9 2 1 3 2 3 1 3 1 DECDECGDEGC SGCVV III 连结 AC 取 A C 中点 O 连结 EO GO 延长 GO 交 AD 于点 M 则 PA 平面 MEG 下面证明之 E 为 PC 的中点 O 是 AC 的中点 EO 平面 PA 又 PA 平面 MEGMEGPAMEGEO平面平面 在正方形 ABCD 中 O 是 AC 中点 OCG OAM 所求 AM 的长为 3 2 CGAM 3 2 变式 2 证明 直棱柱ABCD A1B1C1D1中 BB1 平面ABCD BB1 AC 又 BAD ADC 90 AB 2AD 2CD 2 AC CAB 45 BC BC AC 22 又BB1 BC B BB1 BC平面BB1C1C AC 平面BB1C1C 存在点P P为A1B1的中点 证明 由P为A1B1的中点 有PB1 AB 且PB1 AB 2 1 又 DC AB DC AB DC PB1 且DC PB1 2 1 DCB1P为平行四边形 从而CB1 DP 又CB1 ACB1 DP面ACB1 DP 面ACB1 同理 DP 面BCB1 例 5 A B E P D C 4 4 2 2 4 4 4 正视图侧视图 俯视图 13 1 由几何体的三视图可知 底面是边长为 4 的正方形 面 ABCDPA ABCD PAEB24 PAEB 为中点 PAAD FPD PDAF 又面 CDDA CDPA CDAF AF PCD 2 取的中点 与的交点为 PCMACBDN 1 2 MNPA MNPA 故为平行四边形 MNEB MNEBBEMN 面 EM BNBD PEC 3 1 116 3 23 E PBCC PBE VVBE AB BC AAAA 例 6 答案略 变式 3 解 由三视图得 四棱锥底面 ABCD 为菱形 棱锥的高为 3 设ACBDO 则PO即是棱锥 的高 底面边长是 2 连接OE E O 分别 是 DP DB的中点 OE BP OEAEC BPAEC 面面PB AEC面 2 1111 2 2 3 33 2232 VVV 三棱锥C PAB三棱锥P ABC四棱锥P ABC D 3 过O作 3 3 3 2 3 2 OFPAPOAPOAOPAAF A在R t中 10 分 3 PF FAOFPA POBD ACBD POACOBDPAC 时即 3时 面 12 分 BDPAOFPABDOFOPABDF 由且面 14 分 变式 4 解 1 判断 AB 平面 DEF 2 分 14 证明 因在ABC 中 E F 分别是 AC BC 的中点 有 EF AB 5 分 又因 AB 平面 DEF EF 平面 DEF 6 分 所以 AB 平面 DEF 7 分 2 过点 E 作 EM DC 于点 M 面 ACD 面 BCD 面 ACD 面 BCD CD 而 EM 面 ACD 故 EM 平面 BCD 于是 EM 是三棱锥 E CDF 的高 9 分 又 CDF 的面积为 222 11 113 2 22 244 CDFBCD SSCD BDaaaa EM 11 22 ADa 11 分 故三棱锥 C DEF 的体积为 23 11313 14 334224 C DEFE CDFCDF VVSEMaaa 分 四 立体几何中的最值问题 例 7 证明 C 是底面圆周上异于 A B 的任意一点 AB 是圆柱底面圆的直径 BC AC 2 分 AA1 平面 ABC BC 平面 ABC AA1 BC 4 分 AA1 AC A AA1 平面 AA1 C AC 平面 AA1 C BC 平面 AA1C 6 分 2 解法 1 设 AC x 在 Rt ABC 中 0 x 2 7 分 222 BC ABAC4x 故 0 x 2 1 2 A ABCABC11 11 11 V SAAAC BC AAx 4x 33 23 A 9 分 即 11 分 1 22222 A ABC 111 V x 4xx 4x x2 4 333 0 x 2 0 x2 4 当 x2 2 即时 x 2 图 图 2图 图 图 1图 F E F E A B C A B DC D M 图4 AB C A1 15 三棱锥 A1 ABC 的体积的最大值为 14 分 2 3 解法 2 在 Rt ABC 中 AC2 BC2 AB2 4 7 分 9 分 1 A ABCABC11 11 1 V SAAAC BC AA 33 2 A 11 分 222 11 ACBC1 AB2 AC BC 332323 当且仅当 AC BC 时等号成立 此时 AC BC 2 例 8 解 1 设 则xPA 2 3 1 3 1 2 x x xSPAV PDCBPBCDA 底底 令 0 63 2 2 2 3 1 32 x xxx xxf 则 23 2 2 x xf x 3 32 0 3 32 3 32 x f 0 xf 单调递增极大值单调递减 由上表易知 当时 有取最大值 3 32 xPA PBCDA V 证明 2 作得中点 F 连接 EF FPB A 由已知得 FPEDPDBCEF 2 1 为等腰直角三角形 PB A PFBA 所以 DEBA 变式 6 解 因为平面 ABCPA 平面 ABC BC 所以PA BC 又因为 BC AC PAACA 所以平面 PAC BC 又平面 PAC AF 16 所以 BC AF 又 AF PC PCBCC 所以平面 PBC 即 AF AF EF EF 是 AE 在平面 PBC 上的射影 因为 AE PB 所以 EF PB 即平面 AEF PE 在三棱锥中 PAEF APABAE PB 2 所以 PEAE 22 AFEF VSPE PAEFAEF 22 1 3 1 3 1 2 222 sin cos sincos 2 6 2sin 因为 0 2 所以02021 sin 因此 当时 取得最大值为 4 VP AEF 2 6 课后练习 1 广东卷 8 设l为直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 A 若 l l 则 B 若l l 则 C 若l l 则 D 若 l 则l 2 湖南卷 7 已知正方体的棱长为 1 其俯视图是一个面积为 1 的正方形 侧视图是一 17 个面积为2的矩形 则该正方体的正视图的面积等于 A 3 2 B 1 C 21 2 D 2 3 辽宁卷 10 已知三棱柱 111 6 34ABCABCOABAC 的个顶点都在球的球面上若 ABAC 1 12AAO 则球的半径为 A 3 17 2 B 2 10 C 13 2 D 3 10 4 浙江卷 4 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 A 若 m n 则 m n B 若 m m 则 C 若 m n m 则 n D 若