专题2.6 以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题(原卷版)

文档鉴赏 第六关第六关 以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题 总体点评总体点评 二次函数在全国中考数中常常作为压轴题 同时在省级 国家级数竞赛中也有二次函数 大题 很多生在有限的时间内都不能很好完成 由于在高中和大中很多数知识都与函数知识或函数的思想 有关 生在初中阶段函数知识和函数思维方法得好否 直接关系到未来数的习 二次函数与特殊平行四边 形的综合问题属于初中阶段的主要内容 其主要涉及 二次函数的表达式 二次函数动点问题的讨论 特 殊平行四边形的性质 主要包括线段之间的关系 角度的大小等等 在中考中 往往作为压轴题的形式 出现 也给很多中生造成了很大的压力 解题思路解题思路 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点 其图形复杂 知识覆 盖面广 综合性较强 对生分析问题和解决问题的能力要求高 对这类题 常规解法是先画出平行四边形 再依据 平行四边形的一组对边平行且相等 或 平行四边形的对角线互相平分 来解决 典型例题典型例题 例例 1 如图 二次函数 2 1 2 yxbxc 的图象经过 A 2 0 B 0 6 两点 1 求这个二次函数的解析式及顶点坐标 2 设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C 连接 BA BC 求 ABC 的面积 3 在抛物线的对称轴上是否存在一点 P 使得以 O B C P 四点为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请直接写出 P 点坐标 若不存在 请说明理由 答案 1 4 2 2 6 3 存在 P1 2 6 P2 2 6 顶点 坐标为 4 2 文档鉴赏 2 令 1 2 x2 4x 6 0 x2 8x 12 0 解得 x1 2 x2 6 另一个交点 C 6 0 AC 2 S ABC 1 2 2 6 6 3 存在 分两种情况讨论 显然过 B 作 BP OC 交对称轴于点 P 则四边形 OBPC 是矩形 此时 P 2 6 过 O 作 OP BC 交对称轴于点 P OB PC 四边形 OBCP 是平行四边形 CP OB 6 P 2 6 综上所述 P 2 6 或 P 2 6 名师点睛名师点睛 本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及平行四边形的判定方法 解题的关键是把 已知点的坐标代入函数解析式 得到关于 b c 的方程组 再依据 平行四边形的一组对边平行且相等 或 平行四边形的对角线互相平分 来解决 例例 2 如图 1 注 与图 2 完全相同 二次函数 y 4 3x2 bx c 的图象与 x 轴交于 A 3 0 B 1 0 两点 与 y 轴交于点 C 1 求该二次函数的解析式 2 设该抛物线的顶点为 D 求 ACD 的面积 请在图 1 中探索 3 若点 P Q 同时从 A 点出发 都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB AC 边运动 其中一点到达 端点时 另一点也随之停止运动 当 P Q 运动到 t 秒时 APQ 沿 PQ 所在的直线翻折 点 A 恰好落在 抛物线上 E 点处 请直接判定此时四边形 APEQ 的形状 并求出 E 点坐标 请在图 2 中探索 文档鉴赏 答案 1 y 4 3x2 8 3x 4 2 4 3 四边形 APEQ 为菱形 E 点坐标为 5 8 29 16 理由详见 解析 解析 试题分析 1 将 A B 点坐标代入函数 y 4 3x2 bx c 中 求得 b c 进而可求解析式 2 由解析式 先求得点 D C 坐标 再根据 S ACD S梯形 AOMD S CDM S AOC 列式计算即可 3 注意到 P Q 运动速度 相同 则 APQ 运动时都为等腰三角形 又由 A E 对称 则 AP EP AQ EQ 易得四边形四边都相等 即菱形 利用菱形对边平行且相等的性质可用 t 表示 E 点坐标 又 E 在 E 函数上 所以代入即可求 t 进 而 E 可表示 试题解析 1 二次函数 y 4 3x2 bx c 的图象与 x 轴交于 A 3 0 B 1 0 解得 8 3 4 b c y 4 3x2 8 3x 4 2 过点 D 作 DM y 轴于点 M y 4 3x2 8 3x 4 4 3 x 1 2 16 3 点 D 1 16 3 点 C 0 4 则 S ACD S梯形 AOMD S CDM S AOC 1 2 1 3 16 3 1 2 16 3 4 1 1 2 3 4 4 3 四边形 APEQ 为菱形 E 点坐标为 5 8 29 16 理由如下 如图 2 E 点关于 PQ 与 A 点对称 过点 Q 作 QF AP 于 F 文档鉴赏 AP AQ t AP EP AQ EQ AP AQ QE EP 四边形 AQEP 为菱形 FQ OC AFFQAQ AOOCAC 345 AFFQt AF 3 5t FQ 4 5t Q 3 3 5t 4 5t EQ AP t E 3 3 5t t 4 5t E 在二次函数 y 4 3x2 8 3x 4 上 4 5t 4 3 3 8 5t 2 8 3 3 8 5t 4 t 145 64 或 t 0 与 A 重合 舍去 E 5 8 29 16 考点 二次函数综合题 文档鉴赏 名师点睛名师点睛 本题考查了二次函数性质 求三角形的面积 菱形等知识 总体来说题意复杂但解答内 容都很基础 是一道值得练习的题目 例例 3 如图 已知二次函数 y x2 bx c 其中 b c 为常数 的图象经过点 A 3 1 点 C 0 4 顶点为点 M 过点 A 作 AB x 轴 交 y 轴于点 D 交该二次函数图象于点 B 连结 BC 1 求该二次函数的解析式及点 M 的坐标 2 若将该二次函数图象向下平移 m m 0 个单位 使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 ABC 的内部 不包括 ABC 的边界 求 m 的取值范围 3 沿直线 AC 方向平移该二次函数图象 使得 CM 与平移前的 CB 相等 求平移后点 M 的坐标 4 点 P 是直线 AC 上的动点 过点 P 作直线 AC 的垂线 PQ 记点 M 关于直线 PQ 的对称点为 M 当 以点 P A M M 为顶点的四边形为平行四边形时 直接写出点 P 的坐标 答案 1 y x2 2x 4 1 5 2 2 m 4 3 3 3 或 1 7 4 1 3 或 3 7 解析 试题分析 1 利用待定系数法 求二次函数解析式 2 先求出 AC 直线解析式 平移后顶点 AC 下方 AB 上方 在求出坐标的范围 3 当 y 1 时 x2 2x 4 1 解得 x 1 或 3 利用 MM AC 可得平移 后的 M 的坐标 4 连接 MC MM 交 PQ 于 F 设出各点坐标 则四边形 CMFP 是矩形 当四边形 PAM M是平行四边形时 分别求出P的坐标为 1 3 或 3 7 试题解析 解 1 把点 A 3 1 点 C 0 4 代入二次函数 y x2 bx c 得 931 4 bc c 解得 2 4 b c 文档鉴赏 二次函数解析式为y x2 2x 4 配方得 y x 1 2 5 点 M 的坐标为 1 5 2 设直线 AC 解析式为 y kx b 把点 A 3 1 C 0 4 代入得 31 4 kb b 解得 1 4 k b 直线 AC的解析式为y x 4 如图所示 对称轴直线x 1 与 ABC两边分别交于点E 点 F 把 x 1代入直线AC解析式y x 4 解得 y 3 则点 E 坐标为 1 3 点 F 坐标为 1 1 点 M 向下平移 m 个单位后 坐标为 1 5 m 由题意 1 5 m 3 解得 2 m 4 2 m 4 3 如图 当 y 1 时 x2 2x 4 1 解得 x 1 或 3 文档鉴赏 B 1 1 C 0 4 BC 22 1310 MM AC CM 10 M 1 5 M 的坐标为 3 3 或 1 7 平移后点 M 的坐标 3 3 或 1 7 4 如图 连接 MC MM 交 PQ 于 F 则四边形 CMFP 是矩形 当四边形 PAM M是平行四边形时 PA MM 2MF 2PC 设 P m m 4 则有2 3 m 22m m 1 P 1 3 当 P AMM 是平行四边形时 易知 AP 2CP 2 3 m 2 2 m 解得 m 3 P 3 7 综上所述 满足条件的点P的坐标为 1 3 或 3 7 文档鉴赏 名师点睛名师点睛 1 求二次函数的解析式 1 已知二次函数过三个点 利用一般式 y ax2 bx c 0a 列方程组求二次函数解析式 2 已知二次函数与 x 轴的两个交点 1 0 x 2 0 x 利用双根式 y 12 a xxxx 0a 求二次 函数解析式 而且此时对称轴方程过交点的中点 12 2 x x x 3 已知二次函数的顶点坐标 利用顶点式 2 ya xhk 0a 求二次函数解析式 4 已知条件中 a b c 给定了一个值 则需要列两个方程求解 5 已知条件有对称轴 对称轴也可以作为一个方程 如果给定的两个点纵坐标相同 1 y x 2 xy 则可 以得到对称轴方程 12 2 xx x 2 处理直角坐标系下 二次函数与一次函数图像问题 第一步要写出每个点的坐标 不能写出来的 可以 用字母表示 写已知点坐标的过程中 经常要做坐标轴的垂线 第二步 利用特殊图形的性质和函数的 性质 找出不同点间的关系 如果需要得到一次函数的解析式 依然利用待定系数法求解析式 方法归纳方法归纳 这类问题 在题中的四个点中 至少有两个定点 用动点坐标 用字母表示 分别设出余下所有动点的坐标 若有两个动点 显然每个动点应各选用一个参数字母来 用字母表示 出动点坐标 任选一个已知点作 为对角线的起点 列出所有可能的对角线 显然最多有 3 条 此时与之对应的另一条对角线也就确定了 然后运用中点坐标公式 求出每一种情况两条对角线的中点坐标 由平行四边形的判定定理可知 两中点 重合 其坐标对应相等 列出两个方程 求解即可 进一步有 若是否存在这样的动点构成矩形呢 先让动点构成平行四边形 再验证两条对角线相等否 若相等 则所求动点能构成矩形 否则这样的动点不存在 若是否存在这样的动点构成棱形呢 先让动点构成平行四边形 再验证任意一组邻边相等否 若相等 则所求动点能构成棱形 否则这样的动点不存在 若是否存在这样的动点构成正方形呢 先让动点构成平行四边形 再验证任意一组邻边是否相等 和 两条对角线是否相等 若都相等 则所求动点能构成正方形 否则这样的动点不存在 针对练习针对练习 1 如图 对称轴为直线 x 的抛物线经过点 A 6 0 和 B 0 4 文档鉴赏 1 求抛物线解析式及顶点坐标 2 设点 E x y 是抛物线上一动点 且位于第一象限 四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形 求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式 3 当 2 中的平行四边形 OEAF 的面积为 24 时 请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形 2 如图 抛物线 y ax2 2x c a 0 与 x 轴 y 轴分别交于点 A B C 三点 已知点 A 2 0 点 C 0 8 点 D 是抛物线的顶点 1 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标 2 如图 1 抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E 第四象限的抛物线上有一点 P 将 EBP 沿直线 EP 折叠 使点 B 的对应点 B 落在抛物线的对称轴上 求点 P 的坐标 3 如图 2 设 BC 交抛物线的对称轴于点 F 作直线 CD 点 M 是直线 CD 上的动点 点 N 是平面内一 点 当以点 B F M N 为顶点的四边形是菱形时 请直接写出点 M 的坐标 3 如图 已知抛物线 2 yaxbxc 过点 A 3 0 B 2 3 C 0 3 其顶点为 D 1 求抛物线的解析式 2 设点 M 1 m 当 MB MD 的值最小时 求 m 的值 3 若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点 求 APC 的面积的最大值 文档鉴赏 4 若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 N E 为直线 AC 上任意一点 过点 E 作 EF ND 交抛物线于 点 F 以 N D E F 为顶点的四边形能否为平行四边形 若能 求点 E 的坐标 若不能 请说明理由 4 如图 抛物线 2 1 2 yxbxc 与 x 轴交于点 A 和点 B 与 y 轴交于点 C 点 B 坐标为 6 0 点 C 坐标为 0 6 点 D 是抛物线的顶点 过点 D 作 x 轴的垂线 垂足为 E 连接 BD 1 求抛物线的解析式及点 D 的坐标 2 点 F 是抛物线上的动点 当 FBA BDE 时 求点 F 的坐标 3 若点 M 是抛物线上的动点 过点 M 作 MN x 轴与抛物线交于点 N 点 P 在 x 轴上 点 Q 在坐标平 面内 以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ 请写出点 Q 的坐标 5 如图 1 抛物线2 2 bxaxy与x轴交于BA 两点 与y轴交于点C 4 AB 矩形OBDC的边 1 CD 延长DC交抛物线于点E 1 求抛物线的表达式 2 如图 2 点P是直线EO上方抛物线上的一个动点 过点P作y轴的平行线交直线EO于点G 作 EOPH 垂足为H 设PH的长为l 点P的横坐标为m 求l与m的函数关系是 不必写出m的取 值范围 并求出l的最大值 3 如果点N是抛物线对称轴上的一点 抛物线上是否存在点M 使得以NCAM 为顶点的四边形 是平行四边形 若存在 直接写出所有满足条件的M的坐标 若不存在 请说明理由 文档鉴赏 6 如图 在平面直角坐标系中 抛物线1 2 bxaxy交y轴于点A 交x轴正半轴于点 0 4 B 与过 A点的直线相交于另一点 2 5 3 D 过点D作xDC 轴 垂足为C 1 求抛物线的表达式 2 点P在线段OC上 不与点O C重合 过P作xPN 轴 交直线AD于M 交抛物线于点 N 连接CM 求PCM 面积的最大值 3 若P是x轴正半轴上的一动点 设OP的长为 是否存在 使以点NDCM 为顶点的四边形 是平行四边形 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 7 如图 已知抛物线cbxaxy 2 过点 0 1 A 0 3 B 3 0 C 点NM 为抛物线上的动点 过 点M作yMD 轴 交直线BC于点D 交x轴于点E 文档鉴赏 1 求二次函数cbxaxy 2 的表达式 2 过点N作xNF 轴 垂足为点F 若四边形MNFE为正方形 此处限定点M在对称轴的右侧 求该正方形的面积 3 若 0 90 DMN MNMD 求点M的横坐标 8 如图 是将抛物线 2 yx 平移后得到的抛物线 其对称轴为1x 与x轴的一个交点为 1 0 A 另一交点为B 与y轴交点为C 1 求抛物线的函数表达式 2 若点N为抛物线上一点 且BCNC 求点N的坐标 3 点P是抛物线上一点 点Q是一次函数 33 22 yx 的图象上一点 若四边形OAPQ为平行四边形 这样的点PQ 是否存在 若存在 分别求出点PQ 的坐标 若不存在 说明理由 9 如图 抛物线 2 3yaxbx 经过点 2 3A 与x轴负半轴交于点B 与y轴交于点C 且 3OCOB 1 求抛物线的解析式 2 点D在y轴上 且BDOBAC 求点D的坐标 3 点M在抛物线上 点N在抛物线的对称轴上 是否存在以点A B M N为顶点的四边形是 文档鉴赏 平行四边形 若存在 求出所有符合条件的点M的坐标 若不存在 请说明理由 10 已知 如图直线 y x 2 与抛物线 y ax2交于 A B 两点 点 B 的坐标 3 m 直线 AB 交 y 轴于 点 C 1 求 a m 的值 2 点 P 在对称轴右侧的抛物线上 设 P 点横坐标为 t PAB 的面积为 s 求 s 与 t 的函数关系式 3 在 2 的条件下 在 x 轴上有一点 Q 当以 B C P Q 为顶点的四边形是平行四边形时 求点 Q 的坐标 11 如图 在平面直角坐标系中 二次函数的图像与 轴交于 两点 与 轴交于 点 点是抛物线顶点 点 是直线下方的抛物线上一动点 这个二次函数的表达式为 设直线的解析式为 则不等式的解集为 连结 并把沿翻折 得到四边形 那么是否存在点 使四边形为菱 形 若存在 请求出此时点 的坐标 若不存在 请说明理由 当四边形的面积最大时 求出此时 点的坐标和四边形的最大面积 若把条件 点 是直线下方的抛物线上一动点 改为 点 是抛物线上的任一动点 其它条件不变 文档鉴赏 当以 为顶点的四边形为梯形时 直接写出点 的坐标 12 如图 矩形 OABC 的两边在坐标轴上 点 A 的坐标为 10 0 抛物线 y ax2 bx 4 过点 B C 两点 且与 x 轴的一个交点为 D 2 0 点 P 是线段 CB 上的动点 设 CP t 0 t 10 1 请直接写出 B C 两点的坐标及抛物线的解析式 2 过点 P 作 PE BC 交抛物线于点 E 连接 BE 当 t 为何值时 PBE 和 Rt OCD 中的一个角相等 3 点 Q 是 x 轴上的动点 过点 P 作 PM BQ 交 C