2011年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题 理 （广东卷）

用心 爱心 专心 1 20112011 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 广东模拟卷一广东模拟卷一 数学数学 理科理科 本试卷共 4 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座 位号填写在答题卡上 用 2B 铅笔将试卷类型 B 填涂在答题卡相应位置上 将条形码横贴 在答题卡右上角 条形码粘贴处 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改 液 不按以上要求作答的答案无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再作答 漏涂 错 涂 多涂的 答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 1 下列说法中 正确的是 A 命题 若 22 ambm 则ab 的逆命题是真命题 B 命题 xR 0 2 xx 的否定是 xR 0 2 xx C 命题 p或q 为真命题 则命题 p 和命题 q 均为真命题 D 已知Rx 则 1x 是 2x 的充分不必要条件 2 已知各项均不为零的数列 n a 定义向量 1 nnn a a c 1 n n n b nN 下列命题中真命题是 A 若 nN 总有 nn cb成立 则数列 n a是等差数列 B 若 nN 总有 nn cb成立 则数列 n a是等比数列 C 若 nN 总有 nn cb成立 则数列 n a是等差数列 D 若 nN 总有 nn cb成立 则数列 n a是等比数列 3 若 0 32 1 3 1 0 3 log 2 2 abc 则 a b c大小关系为 A abc B acb C bac D cba 4 4 设偶函数 f x在 0 上为增函数 且 2 4 0ff 那么下列四个命题中一定正 确的是 A 3 5 0ff B 函数在点 4 4 f 处的切线斜率 1 0k C 3 5 ff D 函数在点 4 4 f 处的切线斜率 2 0k 5 由数字 0 1 2 3 4 5 组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是 A 72 B 60 C 48 D 12 6 已知 5 6 2 cosaxdx b为二项式 3 3 6 x 的展开式的第二项的系数 则复数zabi 用心 爱心 专心 2 车速O40 50 60 70 80 0 010 0 035 0 030 a 频率 组距 6 4 正 主 视图 2 侧 左 视图 俯视图 2 2 A B C DB C D A 的共轭复数是 A 13 22 i B 13 22 i C 13 22 i D 13 22 i 7 已知椭圆E 1 4 22 y m x 对于任意实数k 下列直线被椭圆E所截弦长与l 1 kxy被椭圆E所截得的弦长不可能相等的是 A 0kxyk B 01 ykx C 20kxy D 0kxyk 8 8 如图 四边形ABCD中 1ABADCD 2BD BDCD 将四边形ABCD沿 对角线BD折成四面体ABCD 使平面 A BD 平面BCD 则下列结论 A CBD CA 与平面A BD 所成的角为30 90BA C 四面体ABCD 的体积为 1 3 其中正确的有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 2 2 填空题 本大题共填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分分 1 必做题 9 13 题 9 某部门计划对某路段进行限速 为调查限速 60 km h 是否合理 对通过该路段的 300 辆 汽车的车速进行检测 将所得数据按 40 50 50 60 60 70 70 80 分组 绘制成 如图所示频率分布直方图 则这 300 辆汽车中车速低于限速的汽车有 辆 10 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 11 阅读下面的程序框图 若使输出的结果 不大于 37 则输入的整数i的最大值为 12 已知双曲线 22 1kxy 的一条渐近线与直线210 xy 垂直 那么双曲线的离心率为 另一条渐近线方程为 13 已知数列 n a的前n项和 2 n Snn 数列 n b满足 1 5b 1 21 nn bb n N 2 1 log 1 n nn c ab 设数列 n c的前n项 和为 n T 则 n T与 1 2 的大小关系为 2 选做题 14 15 题 考生只能从中选做一题 14 几何证明选讲选做题 几何证明选讲选做题 如图 半径为 2 的 O 中 90AOB D为OB的中点 A B O D E 开始 0 0Sn ni 21 n SS 是 否 1nn S输出 结束 i输入 用心 爱心 专心 3 3 6 o 1 x 1 y AD的延长线交 O 于点E 则线段DE的长为 15 坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题 曲线 C 的极坐标方程2cos 直角坐标系中的点 M 的 坐标为 0 2 P 为曲线 C 上任意一点 则MP的最小值是 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 满分小题 满分 80 分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 l4 分 函数 sin f xAx 0 0 2 A 部分图象如图所 示 求 f x的最小正周期及解析式 设 cos2g xf xx 记ABC 的内角CBA 的对边长分别为abc 若 173g Aab 求c的值 17 本小题满分 12 分 某班将要举行篮球投篮比赛 比赛规则是 每位选手可以选择在 A 区投篮 2 次或选择在 B 区 投篮 3 次 在 A 区每进一球得 2 分 不进球得 0 分 在 B 区每进一球得 3 分 不进球得 0 分 得分高的选手胜出 已知参赛选手甲在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率分别为 9 10 和 1 3 如果选手甲以在 A B 区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准 问选手甲应该选 择哪个区投篮 求选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率 用心 爱心 专心 4 18 本小题满分 14 分 如图 棱柱 ABCD 1111 ABC D的所有棱长都为 2 ACBDO 侧棱 1 AA与底面 ABCD 的 所成角为 60 1 AO 平面 ABCD F为 1 DC的中点 证明 BD 1 AA 证明 OF平面 11 BCC B 求二面角 D 1 AA C 的余弦值 19 本小题满分 12 分 已知函数 lnf xxx 求函数 f x在 1 3 上的最小值 若存在 1 e e x e为自然对数的底数 且e 2 71828 使 不等式 2 2 3f xxax 成立 求实数a的取值范围 20 本小题满分 14 分 已知点 1 My在抛物线 2 2C ypx 0 p 上 M点到抛物线C的焦点 F 的距离为 2 AB C 1 B 1 C 1 A D F 1 D O 用心 爱心 专心 5 直线 l 1 2 yxb 与抛物线交于 A B两点 求抛物线C的方程 若以 AB 为直径的圆与x轴相切 求该圆的方程 若直线l与y轴负半轴相交 求AOB 面积的最大值 21 本小题满分 14 分 已知集合 21n aaaA 中的元素都是正整数 且 n aaa 21 对任意的 Ayx 且xy 有 25 xy yx 求证 25 111 1 n aa n 求证 9 n 对于9 n 试给出一个满足条件的集合A 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 广东模拟卷一 用心 爱心 专心 6 数学 理科 参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 分 1 1 B B 解析解析 由0m 知A不正确 C中p与q可以一真一假 1 5x 否定D 故选B 2 2 A A 解析解析 由 nn cb得 1 1 nn nana 即 1 1 nn aa nn 于是 1n ana 故选A 3 3 C C 解析解析 由指数与对数函数性质知01 1 0abc 故选 C C 4 4 D D 解析解析 由题设知 0 x 时 0fx 0 x 时 0fx 2 0 4 5 fff 3 3 5 5 ffff 而 3 f与 0 的大小不能确定 故A不能选 C错误 故 选D 5 5 B B 解析解析 将这六个数奇偶数字相间的排列共有 3 2 3 2 72A 其中 0 排在首位的有 32 32 12A A 故符合题设的有72 1260 选B 6 6 A A 解析解析 5 5 6 6 2 2 1 2 cossin axdxx 由 13 236 TCx 知 3 2 b 故选A 7 7 C C 解析解析 由数形结合可知 当l过点 1 0 时 不能选A 当l过点 1 0 时 不能选 D 当0k 时 不能选B 故选C 8 8 D D 解析解析 由题设知 BA D 为等腰Rt CD 平面A BD 得 BA 平面A CD 于是 正确 若 成立可得 BDA D 产生矛盾 由 CA 与平面A BD 所 成的角为 0 45CA D 知 不正确 1 6ABCDC A BD VV 不正确 故 选D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 30 分 分 9 9 180 解析解析 不低于限速的频率为10 0 0300 010 0 4 低于限速的有 300 1 0 4 180 1010 36 解析解析 由题设知 该几何体是以侧 左 视图为底面 高为 6 的直四棱柱 底面是以 2 和 4 为两底 2 为高的梯形 1 2 2 4 2 636V 1111 5 解析解析 直接计算知 2 5 10 19 36 66 1 2 3 4 5 6 Sn 故i的最大值为 5 1212 5 20 2 xy 解析解析 由题设知 0 k 渐近线为0ykx 于是 2 1k 用心 爱心 专心 7 双曲线为 2 2 1 4 x y 得 5 0 22 x ey 1313 1 2 n T 解析解析 由题设知 1 2 1 2 1 n n nn Sn a SSnn 即2 n an 1 12 1 nn bb 得 1 12n n b 11 11 2 1 21 n c n nnn 得 1 2 n T 1414 3 5 5 解析解析 延长BO交OA与点C 由题设知 1 3 5BDDCAD 又由相交 弦定理知 ADDEBDDC 得 3 5 5 DE 1515 51 解析解析 由题设知 曲线 C 的直角坐标方程是 22 2xyx 即是以 1 0 C为圆 心 1为半径的圆 min 151MPMC 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 1616 解析解析 由图可得1A 2 2362 T 所以T 所以2 3 分 当 6 x 时 1f x 可得 sin 2 1 6 因为 2 所以 6 5 分 所以 f x的解析式为 sin 2 6 f xx 6 分 由 I 可知 cos2sin 2 cos2 6 g xf xxxx 31 sin2 coscos2 sincos2sin2cos2 6622 xxxxx sin 2 6 x sin 2 1 6 g AA 9 分 A0 6 11 6 2 6 A 10 分 3 26 2 AA 11 分 Abccbacos2 222 12 分 把73ab 代入 得到 2 320cc 13 分 1 c或2 c 14 分 1717 解析解析 I 方法一 设选手甲在 A 区投篮的进球数为X 则 10 9 2 BX 故 5 9 10 9 2 XE 2 分 则选手甲在 A 区投篮得分的期望为6 3 5 9 2 3 分 设选手甲在 B 区投篮的进球数为Y 则 3 1 3 BY 故1 3 1 3 YE 5 分 用心 爱心 专心 8 则选手甲在 B 区投篮得分的期望为313 6 分 36 3 选手甲应该选择 A 区投篮 7 分 方法二 I 设选手甲在 A 区投篮的得分为 则 的可能取值为 0 2 4 212 2 919918981 0 1 2 1 4 10100101010010100 PPCP 所以 的分布列为 024 p 1 100 18 100 81 100 2 分 6 3 E 3 分 同理 设选手甲在 B 区投篮的得分为 则 的可能取值为 0 3 6 9 312 3 223 3 18114 0 1 3 1 327339 11211 6 1 9 339327 PPC PCP 所以 的分布列为 0369 p 8 27 4 9 2 9 1 27 5 分 3E 6 分 EE 选手甲应该选择 A 区投篮 7 分 设选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分为事件C 8 分 由方法二知 818418849 430 20 1002791002775 P CPPP 且或且 故选手甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率为 49 75 12 分 1818 解析解析 I 棱柱 ABCD 1111 ABC D的所有棱长都为 2 四边形 ABCD 为菱形 ACBD 1 分 又 1 AO 平面 ABCD BD 平面 ABCD 1 AOBD 2 分 又 1 ACAOO 1 AC AO 平面 11ACC A BD平面 11ACC A 3 分 1 AA 平面 11ACC A BD 1 AA 4 分 连结 1 BC 四边形 ABCD 为菱形 ACBDO AB C 1 B 1 C 1 A D F 1 D O 用心 爱心 专心 9 O 是BD的中点 5 分 又 点 F 为 1 DC的中点 在 1 DBC 中 1 BCOF 6 分 OF 平面 11 BCC B 1 BC平面 11 BCC B OF平面 11 BCC B 8 分 III 以O为坐标系的原点 分别以 1 OAOBOA所在直线为 x y z轴建立空间直角坐标系 侧棱 1 AA与底面 ABCD 的所成角为 60 1 AO 平面 ABCD 60 1 AOA 在AOARt 1 中 可得 1 1 3 AOAO 在Rt AOB 中 22 4 13OBABAO 得 1 1 0 0 0 0 3 0 3 0 0 3 0 AADB 10 分 设平面DAA1的法向量为 1111 zyxn 0 0 1 11 ADn AAn 0 3 1 3 0 1 1 ADAA 11 11 30 30 xz xy 可设 1 1 3 1 n 11 分 又 BD 平面 11ACC A 所以 平面 11 A ACC的法向量为 2 0 3 0 nOB 12 分 5 5 35 3 cos 21 21 21 nn nn nn 二面角 D 1 AA C 为锐角 故二面角 D 1 AA C 的余弦值是 5 5 14 分 1919 解析解析 由 lnf xxx 可得 ln1fxx 2 分 当 1 0 e x 时 0 fxf x 单调递减 当 1 e x 时 0 fxf x 单调递增 所以函数 xf在 1 3 上单调递增 4 分 又 1 ln10f 所以函数 f x在 1 3 上的最小值为0 5 分 由题意知 2 2 ln3 xxxax 则 3 2lnaxx x 设 3 2lnh xxx x 若存在 1 e e x 使不等式 2 2 3f xxax 成立 则 max ah x 7 分 用心 爱心 专心 10 由 22 3123 1 xx h x xxx 知 当 1 1 x e 时 0 h xh x 单调 递减 当 1 e x 时 0 h xh x 单调递增 9 分 由 11 23e ee h 3 e 2e e h 12 e 2e40 ee hh 可得 1 e e hh 11 分 所以 当 1 e e x 时 xh的最大值为 11 23e ee h 故 1 23e e a 12 分 2020 解析解析 抛物线 2 2ypx 0 p 的准线为 2 p x 1 分 由抛物线定义和已知条件可知 1 12 22 pp MF 解得2p 故所求抛物线方程为 2 4yx 3 分 联立 2 1 2 4 yxb yx 消 x并化简整理得 2 880yyb 依题意应有64320b 解得2b 4 分 设 1122 A x yB xy 则 1212 8 8yyy yb 5 分 设圆心 00 Q xy 则应有 1212 00 4 22 xxyy xy 因为以 AB 为直径的圆与x轴相切 得到圆半径为 0 4ry 6 分 又 2222 1212121212 14 5 4 5 6432 ABxxyyyyyyy yb 所以 25 6432 8ABrb 7 分 解得 8 5 b 8 分 所以 1212 48 2222416 5 xxbybyb 所以圆心为 24 4 5 故所求圆的方程为 22 24 4 16 5 xy 9 分 方法二 联立 2 1 2 4 yxb yx 消掉 y 并化简整理得 22 416 40 xbxb 依题意应有 22 16 4 160bb 解得2b 4 分 设 1122 A x yB xy 则 2 1212 416 4xxbx xb 5 分 设圆心 00 Q xy 则应有 1212 00 4 22 xxyy xy 因为以 AB 为直径的圆与x轴相切 得到圆半径为 0 4ry 6 分 又 2222 1212121212 15 1 4 5 6432 44 ABxxyyxxxxx xb 又 28ABr 所以有5 6432 8b 7 分 用心 爱心 专心 11 解得 8 5 b 8 分 所以 12 48 5 xx 所以圆心为 24 4 5 故所求圆的方程为 22 24 4 16 5 xy 9 分 因为直线l与y轴负半轴相交 所以0b 又l与抛物线交于两点 由 知2b 所以20b 10 分 直线l 1 2 yxb 整理得220 xyb 点O到直线l的距离 2 2 55 bb d 11 分 所以 32 1 42 24 22 2 AOB SAB dbbbb 12 分 令 32 2g bbb 20b 2 4 343 3 g