九年级数学证明华东师大版知识精讲

用心 爱心 专心 初三数学初三数学证明证明华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 证明 1 证明的认识 2 用推理方法研究三角形包括 1 等腰三角形 2 角平分线 3 线段的垂直 平分线 4 逆命题 逆定理 二 教学过程 知识点回顾 1 用公理 定理作为逻辑推理证明的依据 从而证明新的命题成立 常用公理如下 1 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等 2 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 3 如果两个三角形的两边及其夹角 或两角及其夹边 或三边 分别对应相等 那 么这两个三角形全等 4 全等三角形的对应边 对应角分别相等 2 等腰三角形 1 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简写成 等角对 等边 这是识别三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法 2 重要性质 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 简 写成 等腰三角形的三线合一 3 角平分线 1 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 2 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 4 线段的垂直平分线上 1 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 2 到一条线段的两个端点的距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 典型例题典型例题 例 1 三角形内角和 180 的证明 方法方法 1 A D 1 B C 方法方法 2 用心 爱心 专心 D A E 2 1 B C 方法方法 3 A E 2 1 B C D 方法方法 4 A D E 1 2 4 3 F B C 注 通过作平行线将角转化 证明过程略 例 2 四边形的内角和等于 360 的证明 常用的方法是将四边形转化成三角形 利用三角形的内角和 1 D A B C 2 D A O B C 3 D A B P C 4 D A B C P 用心 爱心 专心 也可以通过平移角的方法证明 5 F D E A 6 B H C 1 2 3 4 5 DE BC FH AB 4 6 B 3 C 5 A A B C ADC 5 4 3 ADC 360 例 3 如图 已知 AB DE 观察 A C D 的关系如何 A B D E C 图 1 A B D E C 图 2 图 1 方法一 方法一 延长 CD 交 AB 于 F A F B 1 D E C AB DE 1 CDE 又 1 A C CDE A C 方法二 方法二 延长 ED 交 AC 于 F A B F C D E AB DE 用心 爱心 专心 CFD A 又 CDE C CFD CDE C A 方法三 方法三 过 C 作 CF AB A B C F D E 1 2 AB DE DE CF 1 D 180 1 2 A 180 D 2 A 图 2 方法一 方法一 AB DE A DEA D C A B D E C 方法二 方法二 延长 BA CD 交于 F F A B D E H C AB DE F EDC BAC F C EDC C 方法三 方法三 A B D E H C F 解略 此题是平移角的训练 关键体会只需移动角的位置 用心 爱心 专心 例 4 已知 AD CD C 15 ABE 30 求 A A C D B E 解 方法一 解 方法一 延长 AB 交 CD 于 F A C F D B E 则 ABE CBF 30 AFD C CBF 15 30 45 ADF 90 A 180 ADF AFD 45 方法二 方法二 过 B 作 BF CD 交 AD 于 F A C D B E F 则 EBF C 15 BFA CDA 90 ABF ABE EBF 45 A 180 ABF AFB 45 例 5 已知 如图 AB CD BE CE 分别是 ABC BCD 的平分线 点 E 在 AD 上 求证 BC AB CD 分析 一般证明线段和差时有截长法 补短法 D A B F C E 方法一 方法一 截长法 因为要证 BC AB CD 在线段 BC 上截取 BF AB 然后证明 CF CD 或在 BC 上截取 CF CD 再证明 BF AB 如上图 在 BC 上截取 BF AB 连结 EF 用心 爱心 专心 在 ABE 和 FBE 中 ABBF ABEFBE BEBE 已作 已知 公共边 ABE FBE SAS A EFB AB CD A D 180 又 BFE EFC 180 EFC D 在 EFC 和 EDC 中 EFCD ECFECD ECEC 已证 已知 公共边 EFC EDC AAS FC CD BC BF FC AB CD 证法 证法 补短法 延长 BE 交 CD 的延长线于 G 如图 再证明 DG AB 从而转证 BC CG 则由 BCE GCE 可得 再证 ABE DGE 可有结论 DG AB G D A B C E AB CG ABE G 又 ABE GBC G GBC 在 GEC 和 BEC 中 已证 已知 公共边 GGBC ECGECB ECEC GEC BEC AAS EG EB CG BC 在 ABE 和 DGE 中 用心 爱心 专心 ABEG BEGE AEBDEG ABE DGE ASA AB DG BC CG CD DG CD AB 例 6 如图 四边形 ABCD 中 AB 8 BC 1 DAB 30 ABC 60 且四边 形 ABCD 的面积为 求 AD 的长 5 3 E D C A B 解 解 将不规则四边形转化成特殊三角形 延长 AD BC 交于 E A 30 B 60 E 180 A B 90 AB 8 BEAB 1 2 4 由勾股定理 AE 844 3 22 BC 1 CE BE BC 3 S ABE 1 2 44 38 3 S SSS ABCD CDEABEABCD 四边形 四边形 5 3 3 3 又 SCEDEDE CDE 1 2 1 2 33 3 DE ADAEDE 2 3 4 32 32 3 例 7 已知 AB AC D 是 BC 上任意一点 DE AB 求证 A 2 EDB A E B D C 用心 爱心 专心 解 方法一 解 方法一 利用等腰三角形的性质 即三线合一 过 A 作 AF BC 于 F A 1 E B F D C 2 AB AC AF平分 BAC 即 1 1 2 BAC B 1 90 DE AB 于 E B BDE 90 BDEBAC1 1 2 方法二 方法二 将 BDE 沿 DE 翻折 得到 DEF A E B D C F AB AC 则 DFB B C BDF 2 BDE BDF 为等腰三角形 且 BDF A A 2 BDE 方法三 方法三 将 BA 延长至 F 使 AF AB 连结 AC 即倍长腰 F E 1 2 B D C A AB AC AF AC 1 1 2 2FBACB 用心 爱心 专心 BF BF 21 12180 1290 即 BCF 90 DE AB BED 90 又 B B BCF BED BDEFBAC 1 2 即 BAC 2 BDE 将此题推广 已知 AB AC D 是 AC 上任意一点 DE AB 如图 A E D B C F 将 ED BC 延长交于 F 则 A 2 F 方法一 方法一 A E D B H C F 方法二 方法二 H A E D B C F 方法三 方法三 用心 爱心 专心 A H E D B C F 例 8 已知 BD CE 是 ABC ACB 的平分线 若 A 60 求证 1 BC BE CD 2 OD OE 证明 证明 此题隐含的结论 1 DOC EOB 60 2 AEOD 四点共圆 3 O 为内心 先证 OD OE 方法方法 1 连结 AO A B C E D O 1 2 BD CE 分别是 ABC ACB 的平分线 12 1 2 1 2 1 2 18060ABCACBA DOC EOB 60 EOD 120 AEO ADO 180 A E O D 四点共圆 O 为 ABC 的内心 AO 平分 EAD OE OD 方法方法 2 O 为 ABC 的内心 A B C E D O F AO 平分 EOD 可以将 AOD 沿 AO 翻折 得到 AFO 则 OD OF ADO AFO 由方法 1 得 AEO ADO 180 用心 爱心 专心 又 AFO EFO 180 AEO EFO OE OF OD OE 证明 BC BE CD 也有两种方法 方法方法 1 在 BC 上截取 BH BE 连结 OH 先得出 BOE BOH OE OH 1 2 60 A B H C E D O 1 2 3 4 3 4 60 再证 COD COH 得到 CH CD BC BH CH BE CD 方法方法 2 将 BOE 沿 BO 翻折得到 BOH 然后再证 COH COD A B H C E D O 证明略 例 9 已知 BAC 90 AD BC BE 平分 ABC EG BC GH AC 求证 DG GH A E H F B D G C 分析 分析 先看一个基本图 由双垂直 AD BC BAC 90 再加角平分线 BE 平分 ABC 必有等线段 AE AF 由角平分线性质得 AE EG 最后能知四边形 AFGE 为菱形 用心 爱心 专心 A E B D G C F 方法方法 1 连结 FG AG A E H F B D G C 1 2 4 5 3 BAC 90 ABC C 90 AD BC ADB 90 1 ABC 90 1 C BE 平分 ABC 2 3 4 1 2 5 3 C 4 5 AF AE 又 EG BC AE EG 且 EG AF AF AE FG 四边形 AFGE 为菱形 AG 平分 FAE GH AC GD AD DG GH 角平分线的性质 方法方法 2 由平行 角平分线及等线段中两个条件成立 必有第三个结论成立 如图 连结 AG A E H F B D G C 1 2 3 BE 平分 ABC BAC 90 EG BC AE EG 1 2 又 AD BC AD EG 用心 爱心 专心 3 2 1 3 DG AD GH AC DG GH 模拟试题模拟试题 1 如图所示 四边形 ABCD 中 B D 90 AE 平分 A CF 平分 C 求证 AE CF 2 已知 如图所示 ABC 中 AB AC AD 平分 BAC EF AD 于 G 交 AB 于 E 交 AC 于 F 交 BC 的延长线于 H 求证 HACBB 1 2 3 如图所示 已知 在 ABC 中 ACB 90 AC BC BD 平分 ABC 交 AC 于 D AE BD 交 BD 的延长线于 E 求证 BD 2AE 4 如图所示 ABC 为等边三角形 AE CD AD BE 相交于点 P BQ AD 于 Q PQ 3 PE 1 求 AD 的长 5 已知等边 ABC 和点 P 设点 P 到 ABC 三边 AB AC BC 的距离分别为 ABC 的高为 h hhh 123 若点 P 在一边 BC 上 如图 1 此时 可得结论 h30 hhhh 123 用心 爱心 专心 1 请直接应用上述信息解决下列问题 当点 P 在 ABC 内 如图 2 点 P 在 ABC 外 如图 3 这两种情况时 上述结论是否还成立 若成立 请给予证明 若不成立 与 h 之间又有怎样的hhh 123 关系 请写出你的猜想 不需证明 2 若不用上述信息 你能用其他方法证明猜想结论吗 6 如图所示 ABC 中 AD 是 A 的平分线 E F 分别为 AB AC 上的点 且 EDF BAF 180 求证 DE DF A E F B D C 7 如图所示 已知 在 ABC 中 B 60 ABC 的角平分线 AD CE 交于 O 求证 AE CD AC A E O B D C 8 如图所示 BC AB BD 平分 ABC 且 AD DC 求证 A C 180 A D B C 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1 证明 90DB 360DCBA 180CA 即 2 180223 9023 又 9013 21 AE CF 2 证明 AD 平分 BAC CADBAD 又 FGAEGAEFAD AG AG AFGAEGAFGAEG HCFHACBHBAEG 2 1 2 2 BACBH BACBH HBHHB HAEGHAFGACB CFHAFG 3 证明 延长 BC AE 交于 F 先证得 EF EA AF 2AE BEABEF 再证得 BD AF CAFCBD 4 解 为等边三角形ABC ACABCBAC 60 7 7 6 2 30 60 BEAD PEPBBE PQPBPQBQ PBQ BACPAEBAPABEBAPBPQ ADBECADABE CADABE CDAE 5 解 1 如图 2 当 P 在内时 结论ABC hhhh 321 仍成立 当 P 在外时 结论ABC hhhh 321 不成立 应是 hhhh 321 用心 爱心