2010年高三数学高考易错典型习题专练：立体几何3

20102010 年高考数学易错典型习题专练年高考数学易错典型习题专练 立体几何立体几何 四川理 19 本小题满分 12 分 如图 正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平 面互相垂直 ABE是等腰直角三角形 45ABAE FAFEAEF I 求证 EFBCE 平面 II 设线段CD的中点为P 在直线AE上是否存在一点M 使得PMBCEA平面 若 存在 请指出点M的位置 并证明你的结论 若不存在 请说明理由 III 求二面角 FBDA 的大小 解法一 因为平面ABEF 平面ABCD BC 平面ABCD 平面ABEF 平面ABCDAB 所以BC 平面ABEF所以BC EF 因为ABE 为等腰直角三角形 ABAE 所以45AEB 又因为45AEF 所以454590FEB 即EF BEB 所以EF 平面BCE 4 分 存在点M 当M为线段AE的中点时 PM 平面BCE取 BE 的中点 N 连接 AN MN 则 MN 1 2 AB PC 所以 PMNC 为平行四边形 所以 PM CN 因为 CN 在平面 BCE 内 PM 不 在平面 BCE 内 所以 PM 平面 BCE 8 分 由 EA AB 平面 ABEF 平面 ABCD 易知 EA 平面 ABCD 作 FG AB 交 BA 的延长线于 G 则 FG EA 从而 FG 平面 ABCD 作 GH BD 于 G 连结 FH 则由三垂线定理知 BD FH 因此 AEF 为二面角 F BD A 的平面角因为 FA FE AEF 45 所以 AFE 90 FAG 45 又因为平面 ABEF 平面 ABCD AE 平面 ABEF 平面 ABEF 平面 ABCD AB 所以 AE 平面 ABCD 所以 AE AD 因此 AD AB AE 两两垂直 以 A 为坐标原点 建立 如图所示的直角坐标系 A xyz 设 AB 1 则 AE 1 B 0 1 0 D 1 0 0 E 0 0 1 C 1 1 0 因为 FA FE AEF 45 所以 AFE 90 从而 1 1 0 2 2 F 所以 1 1 0 2 2 EF 0 1 1 BE 1 0 0 BC 11 00 22 EFBE 0EFBC 所以 EF BE EF BC 因为 BE 平面 BCE BC BE B 所以 EF 平面 BCE 存在点 M 当 M 为 AE 中点时 PM 平面 BCE M 0 0 1 2 P 1 1 2 0 从而PM 1 1 1 2 2 于是PM EF 1 1 1 2 2 11 0 22 0 所以 PM FE 又 EF 平面 BCE 直线 PM 不在平面 BCE 内 故 PMM 平面 BCE 8 分 设平面 BDF 的一个法向量为 1 n 并设 1 n x y z 110BD uuu v 3 1 0 2 2 BF uu u v1 1 n0 n0 BD BF u v uu u v g u v uu u v g 即 xy0 31 yz0 22 取 y 1 则 x 1 z 3 从而 1 n113 取平面 ABD 的一个法向量为 2 n 0 0 1 12 2 12 n n33 11 cos n n 1111 1 nn 1 uv uu v u u v uu v g uv uu v g 故二面角 F BD A 的大小为 arccos 3 11 11 12 分 山东理 18 本小题满分 12 分 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 为等腰 梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1 F 分别是棱 AD AA1 AB 的中点 1 证明 直线 EE1 平面 FCC1 2 求二面角 B FC1 C 的余弦值 解法一 1 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 取 A1B1的中点 F1 连接 A1D C1F1 CF1 因为 AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CDA1F1 A1F1CD 为平行四边形 所以 CF1 A1D 又因为 E E1分别是棱 AD AA1的中点 所以 EE1 A1D 所以 CF1 EE1 又因为 1 EE 平面 FCC1 1 CF 平面 FCC1 所以直线 EE1 平面 FCC1 2 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 取 CF 的 中点 O 则 OB CF 又因为直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 CC1 平面 ABCD 所以 CC1 BO 所以 OB 平面 CC1F 过 O 在平面 CC1F 内作 OP C1F 垂足为 P 连接 BP 则 OPB 为二面角 B FC1 C 的一个平面角 在 BCF 为正三角形中 3OB 在 Rt CC1F 中 OPF CC1F 11 OPOF CCC F 22 12 2 2 22 OP 在 Rt OPF 中 22 114 3 22 BPOPOB 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP 所以 二面角 B FC1 C 的余弦值为 7 7 解法二 1 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 因 为 ABCD 为 等腰梯形 所以 BAC ABC 60 取 AF 的中点 M 连接 DM 则 DM AB 所以 DM CD 以 DM 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴建立空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 3 1 0 F 3 1 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 3 2 1 2 0 E1 3 1 1 所以 1 31 1 22 EE 3 1 0 CF 1 0 0 2 CC 1 3 1 2 FC 设平面 CC1F 的法向 量为 nx y z 则 1 0 0 n CF n CC 所以 30 0 xy z 取 1 3 0 n 则 1 31 131 00 22 n EE 所以 1 nEE 所以直线 EE1 平面 FCC1 2 0 2 0 FB 设平面 BFC1的法向量为 1111 nx y z 则 1 11 0 0 n FB n FC 所以 1 111 0 320 y xyz 取 1 2 0 3 n 则 1 2 130032n n 2 1 3 2n 22 1 20 3 7n 所以 1 1 1 27 cos 7 27 n n n n n n 由图可知二面角 B FC1 C 为锐角 所以二面角 B FC1 C 的余弦值为 7 7 命题立意 本题主要考查直棱柱的概念 线面位置关系的判定和二面角的计算 考查空间 想象能力和推理运算能力 以及应用向量知识解答问题的能力 广东理18 本小题满分14分 如图6 已知正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为2 点 是 正方形 11 BCC B的中心 点F G分别是棱 111 C D AA的中点 设点 11 E G分别是点E G在平面 11 DCC D内的正投影 1 求以E为顶点 以四边形FGAE在平面 11 DCC D内的正投影为底面边界的棱锥的体 积 2 证明 直线 11 FGFEE 平面 3 求异面直线 11 E GEA与所成角的正弦值 1 EE 面 11 DCC D 1 FG 面 11 DCC D 从而 11 EEFG 111 EEFEE 1 FG 面 1 FEE 11 EGCD ABCD 11 EGAB EAB 为异面直线 11 E GEA与所成角 或其补角 在ABE 中 2 2 6ABBEAE 所以 23 sin 36 BE EAB AE 异面直线 11 E GEA与所成角的正弦值为 3 3 江西理 20 本小题满分 12 分 在四棱锥P ABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 4PAAD 2AB 以AC的中点O为球心 AC为直径的球面交PD于点M 交PC于点N 1 求证 平面ABM 平面PCD 2 求直线CD与平面ACM所成的角的大小 3 求点N到平面ACM的距离 20 解 方法一 1 依题设知 AC 是所作球面的直径 则 AM MC 又因为 P A 平面 ABCD 则 PA CD 又 CD AD 所以 CD 平面 则 CD AM 所以 A M 平面 PCD 所以平面 ABM 平面 PCD 2 由 1 知 AM PD 又PA AD 则M是PD的中点可得 2 2AM 22 2 3MCMDCD 则 1 2 6 2 ACM SAM MC 设 D 到平面 ACM 的距离为h 由 D ACMMACD VV 即2 6 8h 可求得 2 6 3 h 设所求角为 则 6 sin 3 h CD 6 arcsin 3 可求得 PC 6 因为 AN NC 由 PNPA PAPC 得 PN 8 3 所以 5 9NC PC 故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 5 9 又因为 M 是 PD 的中点 则 P D 到平面 ACM 的距离相等 由 2 可知所求距离为 510 6 927 h 方法二 1 同方法一 2 如图所示 建立空间直角坐标系 则 0 0 0 A 0 0 4 P 2 0 0 B 2 4 0 C 0 4 0 D 0 2 2 M 设平面ACM的一个法向量 nx y z 由 nAC nAM 可得 240 220 xy yz 令 1z 则 2 1 1 n 设所求角为 则 6 sin 3 CD n CD n 所以所求角的大小为 6 arcsin 3 3 由条件可得 AN NC 在Rt PAC 中 2 PAPN PC 所以 8 3 PN 则 10 3 NCPCPN 5 9 NC PC 所以所求距离等于点P到平面 CA M 距离的 5 9 设点 P到平面CA M距离为h则 2 6 3 AP n h n 所以所求距离为 510 6 h 927 浙江 理 20 本题满分 15 分 如图 平面PAC 平面ABC ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形 E F O分别为PA PB AC的中点 16AC 10PAPC I 设G是OC的中点 证明 FG平面BOE II 证明 在ABO 内存在一点M 使FM 平面BOE 并求点M到OA OB的距离 证明 I 如图 连结 OP 以 O 为坐标原点 分别以 OB OC OP 所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 Oxyz 则 0 0 0 0 8 0 8 0 0 0 8 0 OABC 0 0 6 0 4 3 PE 4 0 3F 由题意得 0 4 0 G因 8 0 0 0 4 3 OBOE 因此平面 BOE 的法向量为 0 3 4 n 4 4 3FG 得0n FG