《理论力学》静力学典型习题+答案

1 3 试画出图示各结构中构件 AB 的受力图 1 4 试画出两结构中构件 ABCD 的受力图 1 5 试画出图 a 和 b 所示刚体系整体各个构件的受力图 1 5a 1 5b 1 8 在四连杆机构的 ABCD 的铰链 B 和 C 上分别作用有力 F1和 F2 机构在图 示位置平衡 试求二力 F1和 F2之间的关系 解 杆 AB BC CD 为二力杆 受力方向分别沿着各杆端点连线的方向 解法解法 1 解析法解析法 假设各杆受压 分别选取销钉 B 和 C 为研究对象 受力如图所示 由共点力系平衡方程 对 B 点有 0 x F045cos 0 2 BC FF 对 C 点有 0 x F030cos 0 1 FFBC 解以上二个方程可得 221 63 1 3 62 FFF F2 FBC FAB B 45o y x FBC FCD C 60o F1 30o x y 解法解法 2 几何法几何法 分别选取销钉 B 和 C 为研究对象 根据汇交力系平衡条件 作用在 B 和 C 点上的力构成封闭的力多边形 如图所示 对 B 点由几何关系可知 0 2 45cos BC FF 对 C 点由几何关系可知 0 1 30cosFFBC 解以上两式可得 21 63 1 FF 2 32 3 在图示结构中 二曲杆重不计 曲杆在图示结构中 二曲杆重不计 曲杆 ABAB 上作用有主动力偶上作用有主动力偶 M M 试求 试求 A A 和和 C C 点处的约束力 点处的约束力 解 BC 为二力杆 受力如图所示 故曲杆 AB 在 B 点处受到约束力的方向沿 BC 两点连线的方向 曲杆 AB 受到主动力偶 M 的作用 A 点和 B 点处的约束力必须 构成一个力偶才能使曲杆 AB 保持平衡 AB 受力如图所示 由力偶系作用下刚 体的平衡方程有 设力偶逆时针为正 0 M 0 45sin 10 0 MaFA a M FA354 0 其中 对 BC 杆有 3 1 tan a M FFF ABC 354 0 A C 两点约束力的方向如图所示 2 42 4 FBC FCD60o F1 30o F2 FBC FAB 45o 解 机构中 AB 杆为二力杆 点 A B 出的约束力方向即可确定 由力偶系作用下 刚体的平衡条件 点 O C 处的约束力方向也可确定 各杆的受力如图所示 对 BC 杆有 0 M 030sin 2 0 MCBFB 对 AB 杆有 AB FF 对 OA 杆有 0 M 0 1 AOFM A 求解以上三式可得 方向如图所示 mNM 3 1 NFFF COAB 5 2 62 6 求求最后最后简化结果 简化结果 解 2 6a 坐标如图所示 各力可表示为 jFiFF 2 3 2 1 1 iFF 2 jFiFF 2 3 2 1 3 先将力系向 A 点简化得 红色的 jFiFFR 3 kFaM A 2 3 方向如左图所示 由于 可进一步简化为一个不过 A 点的力 绿 AR MF 色的 主矢不变 其作用线距 A 点的距离 位置如左图所示 ad 4 3 2 6b 同理如右图所示 可将该力系简化为一个不过 A 点的力 绿色的 主矢为 iFFR 2 其作用线距 A 点的距离 位置如右图所示 ad 4 3 简化中心的选取不同 是否影响简化中心的选取不同 是否影响最后最后的简化结果 的简化结果 是是 2 132 13 解 整个结构处于平衡状态 选择滑轮为研究对象 受力如图 列平衡方程 坐标一般以水平向右为 x 轴正向 竖直向上为 y 轴正向 力偶以逆时针为正 0 x F0sin Bx FP 0 y F0cos PPFBy 选梁 AB 为研究对象 受力如图 列平衡方程 0 x F0 BxAx FF 0 y F0 ByAy FF 0 A M0 lFM ByA 求解以上五个方程 可得五个未知量分别为 AByBxAyAx MFFFF 与图示方向相反 sinPFF BxAx 与图示方向相同 cos1 PFF ByAy 逆时针方向 lPM A cos1 2 182 18 解 选 AB 杆为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 A M 0coscos 2cos lF l G a ND 0 y F0cos FGND 求解以上两个方程即可求得两个未知量 其中 D N 3 1 2 2 arccos lGF aGF 未知量不一定是力 未知量不一定是力 以下几题可看一看 以下几题可看一看 2 272 27 解 选杆 AB 为研究对象 受力如下图所示 列平衡方程 运用力对轴之矩 运用力对轴之矩 0 y M 0tansincostan 2 1 cFcFcP BCBC NFBC 6 60 0 x M 0sin 2 1 aFcFaP BCB NFB100 由和可求出 平衡方程可用来校核 0 y F 0 z F AzAy FF 0 x M 思考题 思考题 对该刚体独立的平衡方程数目是几个 2 292 29 解 杆 1 2 3 4 5 6 均为二力杆 受力方向沿两端点连线方向 假设各杆 均受压 选板 ABCD 为研究对象 受力如图所示 该力系为空间任意力系 采用 六矩式平衡方程 0 DE M045cos 0 2 F0 2 F 0 AO M045cos45cos45cos 000 6 aFaF 受拉 FF 2 2 6 受压 0 BH M045cos45cos 0 6 0 4 aFaF FF 2 2 4 0 AD M045sin45cos 00 61 aFaFaF 受压 FF 2 21 1 受拉 0 CD M045sin 0 31 aFaFaF FF 2 1 3 0 BC M045cos 0 453 aFaFaF0 5 F 本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程 但求解代数方程组非常麻烦 类似本题的情况采用六矩式方程比较方便 适当的选择六根轴保证一个方程求保证一个方程求 解一个未知量 避免求解联立方程解一个未知量 避免求解联立方程 2 312 31 力偶矩力偶矩cmNM 1500 解 取棒料为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 0 0 O y x M F F 0 2 045sin 045cos 21 1 0 2 2 0 1 M D FF NpF NpF 补充方程 22 11 NfF NfF s s 五个方程 五个未知量 可得方程 s fNFNF 2211 0222 2 MfDpfM SS 解得 当时有 491 4 223 0 21 SS ff491 4 2 S f 0 1 2 1 2 2 2 1 S S f fp N 即棒料左侧脱离 V 型槽 与提议不符 故摩擦系数 223 0 S f 2 332 33 解 当时 取杆 AB 为研究对象 受力如图所示 0 45 列平衡方程 0 0 0 A y x M F F 0sin 2 cossinsincos 0cos 0sin BA pCATCAT pTF TF S N 附加方程 NSS FfF 四个方程 四个未知量 可求得 sSN fTFF 646 0 s f 2 352 35 解 选棱柱体为研究对象 受力如图所示 假设棱柱边长为 a 重为 P 列平衡 方程 0 0 0 x B A F M M 0sin 0 32 sin 2 cos 0 32 sin 2 cos PFF a P a PaF a P a PaF BA NA NB 如果棱柱不滑动 则满足补充方程时处于极限平衡状态 解以 NBsB NAsA FfF FfF 2 1 上五个方程 可求解五个未知量 其中 NBBNAA FFFF 1 32 3 tan 12 21 ss ss ff ff 当物体不翻倒时 则 0 NB F 2 0 60tan 即斜面倾角必须同时满足 1 式和 2 式 棱柱才能保持平衡 3 10 解 假设杆 AB DE 长为 2a 取整体为研究对 象 受力如右图所示 列平衡方程 0 C M02 aFBy0 By F 取杆 DE 为研究对象 受力如图所示 列平 衡方程 0 H M0 aFaFDyFFDy 0 B M02 aFaFDxFFDx2 取杆 AB 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 与假设方向相反 0 y F0 ByDyAy FFFFFAy 与假设方向相反 0 A M02 aFaF BxDx FFBx 与假设方向相反 0 B M02 aFaF DxAx FFAx 3 12 解 取整体为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 C M0 xFbFD F b x FD FCx FCy FBx FBy FCx FCy FD 取杆 AB 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 A M0 xFbFB F b x FB 杆 AB 为二力杆 假设其受压 取杆 AB 和 AD 构成的组合体为研究对象 受 力如图所示 列平衡方程 0 E M 0 2 2 2 b Fx b F b FF ACDB 解得 命题得证 FFAC 注意 销钉注意 销钉 A 和和 C 联接三个物体 联接三个物体 3 14 解 取整体为研究对象 由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零 因此有 0 A M0 MMFM BA 即必过 A 点 同理可得必过 B 点 也就是和是大小相等 方向相 B F A F A F B F 反且共线的一对力 如图所示 FA FB 取板 AC 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 C M045cos45sin 00 MbFaF AA 解得 方向如图所示 ba M FA 2 3 20 解 支撑杆 1 2 3 为二力杆 假设各杆均受压 选梁 BC 为研究对象 受力 如图所示 其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力 大小为 2qa 作 用在 BC 杆中点 列平衡方程 受压 0 B M0245sin 0 3 MaqaaF 2 2 3 qa a M F 选支撑杆销钉 D 为研究对象 受力如右图所示 列平衡方程 受压 0 x F045cos 0 31 FF qa a M F2 1 受拉 0 y F045sin 0 32 FF 2 2 qa a M F 选梁 AB 和 BC 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 与假设方向相反 0 x F045cos 0 3 FFAx 2 qa a M FAx 0 y F0445sin 0 32 qaPFFFAyqaPFAy4 0 A M0345sin242 0 32 MaFaqaaPaFM A D F3 F2 F1x y 逆时针 MPaqaM A 24 2 3 21 解 选整体为研究对象 受力如右图所示 列平衡方程 0 A M022 aFaFByFFBy 0 B M022 aFaFAyFFAy 1 0 x F0 FFF BxAx 由题可知杆 DG 为二力杆 选 GE 为研究对象 作用于其上的力汇交于点 G 受力如图所示 画出力的三角形 由几何关系可得 FFE 2 2 取 CEB 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 C M045sin 0 aFaFaF EByBx 2 F FBx 代入公式 1 可得 2 F FAx 3 24 解 取杆 AB 为研究对象 设杆重为 P 受力如图所示 列平衡方程 FAx FAy FBx FBy 0 A M 060cos 2 3 3 0 1 r PrN 93 6 1 NN 0 x F060sin 0 1 NFAx 6 NFAx 0 y F060cos 0 1 PNFAy 5 12NFAy 取圆柱 C 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 x F030cos30cos 00 1 TN 93 6NT 注意 由于绳子也拴在销钉上 因此以整体为研究对象求得的注意 由于绳子也拴在销钉上 因此以整体为研究对象求得的 A 处的约束力不处的约束力不 是杆是杆 AB 对销钉的作用力 对销钉的作用力 3 27 解 取整体为研究对象 设杆长为 L 重为 P 受力如图所示 列平衡方程 1 0 A M 0cos 2 2sin2 L PLFN tan2 P FN 取杆 BC 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 2 0 B M 0coscos 2 sin LF L PLF sN PFS 补充方程 Nss FfF 将 1 式和 2 式代入有 即 2 tan s f 0 10 3 29 证明 1 不计圆柱重量 法 1 取圆柱为研究对象 圆柱在 C 点和 D 点分别受到法向约束力和摩擦力的作用 分别以全约束力来表示 如图所示 如圆柱不被挤出而处于平衡状态 RDRC FF FAx FAy FN Fs P P 则等值 反向 共线 由几何关系可知 与接触点 C D 处法 RDRC FF RDRC FF 线方向的夹角都是 因此只要接触面的摩擦角大于 不论 F 多大 圆柱不 2 2 会挤出 而处于自锁状态 法 2 解析法 首先取整体为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 A M0 lFaFND F a l FND 再取杆 AB 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 A M0 lFaFNC NDNC FF a l F 取圆柱为研究对象 受力如图所示 假设圆柱半径为 R 列平衡方程 0 O M0 RFRF SDSCSDSC FF 0 x F0cossin SDSCNC FFF FND FSD o FAx FAy NDNCSDSC FFFF cos1 sin cos1 sin 由补充方程 可得如果 NDSDSDNCSCSC FfFFfF 2 tan 2 tan cos1 sin SDSC ff 则不论 F 多大 圆柱都不被挤出 而处于自锁状态 证明 2 圆柱重量 P 时 取圆柱为研究对象 此时作用在圆柱上的力有重力 P C 点和 D 点处的全约束 力 如果圆柱保持平衡 则三力必汇交于 D 点 如图所示 全约束力 RDRC FF 与 C 点处法线方向的夹角仍为 因此如果圆柱自锁在 C 点必须满足 RC F 2 1 2 tan cos1 sin SC f 该结果与不计圆柱重量时相同 只满足只满足 1 式时式时 C 点无相对滑动 但在点无相对滑动 但在 D 点有点有 可能滑动可能滑动 圆柱作纯滚动圆柱作纯滚动 再选杆 AB 为研究对象 对 A 点取矩可得 F a l FNC 由几何关系可得 2 F a l FSC 2 tan 2 cos a Fl FRC 法 1 几何法 圆柱保持平衡 则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形 如图所示 由几 P FRD FRC 2 何关系可知 sin 2 180 180sin 00 RC FP 将 2 式代入可得 cos1 sin tan FlPa Fl 因此如果圆柱自锁在 D 点必须满足 3 cos1 sin tan FlPa Fl fSD 即当同时满足 1 式和 3 式时 圆柱自锁 命题得证 法 2 解析法 取圆柱为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 x F0cossin SDSCNC FFF 0 y F0cossin NCSCND FFPF 解得 F a l FF SDSC 2 tan 2 tansin cos a Fl PFND 代入补充方程 NDSDSD FfF 可得如果圆柱自锁在 D 点必须满足 3 cos1 sin tan FlPa Fl fSD 即当同时满足 1 式和 3 式时 圆柱自锁 命题得证 3 30 解 取整体为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 0 y x F F 02 0 PFFF FF NEND SESD 由题可知 杆 AC 为二力杆 作用在杆 BC 上的力有主动力 以及 B 和 C 处F 的约束力和 由三力平衡汇交 可确定约束力和的方向如图所示 B F AC F B F AC F 其中 杆 AC 受压 3 1 tan 取轮 A 为研究对象 受力如图所示 设的作用线与水平面交于 F 点 列平 AC F 衡方程 0 A M0 DSD MRF 0 F M0 DND MRPF 取轮 B 为研究对象 受力如图所示 设的作用线与水平面交于 G 点 列平 B F 衡方程 0 B M0 RFM SEE 0 G M0tan RFPM NEE 解以上六个方程 可得 FPFND 4 1 FPFNE 4 3 FFF SESD 4 1 FRMM ED 4 1 若结构保持平衡 则必须同时满足 NDD FM NEE FM NDsSD FfF NEsSE FfF 即 P Rf Pf f Pf P R P R F s s s s 4 31 4 1 4 3 4 4 min 因此平衡时的最大值 此时 F36 0 max F 091 0 NFF SESD 91 0cmNMM ED 3 35 解 由图可见杆桁架结构中杆 CF FG EH 为零力杆 用剖面 SS 将该结构分 为两部分 取上面部分为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 受拉 0 C M0346cos 1 GH FFF 58 14 1 kNF 受拉 0 x F0sin 31 H FFF 3 31 3 F 受压 0 y F0cos 12 G FFF 3 18 2 F 3 38 解 假设各杆均受压 取三角形 BCG 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 受压 0 x F0 CD FFFFCD 取节点 C 为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 0 y x F F 0sin45sin 0cos45cos 0 0 CGBC CGCDBC FF FFF 其中 解以上两个方程可得 受压 22 21 tan FFBC586 0 3 40 解 取整体为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 0 A M0322 aFaFaFBFFB5 2 用截面 S S 将桁架结构分为两部分 假设各杆件受拉 取右边部分为研究对象 受力如图所示 列平衡方程 受拉 0 C M03 2 aFaFaFB FF 6 7 2 受拉 0 X F02 21 FFF FF 6 5 1 AB C 3 4 5 FAy FAx FB C S S 4 1 解 1 选定由杆 OA O1C DE 组成的系统为研究对象 该系统具有理想约束 作用 在系统上的主动力为 M FF 2 该系统的位置可通过杆 OA 与水平方向的夹角 完全确定 有一个自由度 选参数 为广义坐标 3 在图示位置 不破坏约束的前提下 假定杆 OA 有一个微小的转角 相 应的各点的虚位移如下 AOrA BOrB COr C1 DOrD 1CB rr ED rr 代入可得 EA rr 30 4 由虚位移原理有 0 i FW 0 30 EMEMA rFFrFrF 对任意有 物体所受的挤压力的方向竖直向下 0 E r FFM30 4 4 解 4a 1 选杆 AB 为研究对象 该系统具有理想约束 设杆重为 P 作用在杆上的主动 力为重力 2 该系统的位置可通过杆 AB 与 z 轴的夹角 完全确定 有一个自由度 选参 数 为广义坐标 由几何关系可知 tan a h 杆的质心坐标可表示为 cos 2tan la zC 3 在平衡位置 不破坏约束的前提下 假定杆 AB 逆时针旋转一个微小的角度 则质心 C 的虚位移 sin 2sin 2 la zC 4 由虚位移原理有 0 i FW 0 sin 2sin 2 la PzP C 对任意有 0 0sin 2sin 2 la 即杆 AB 平衡时 3 1 2 arcsin l a 解 4b 1 选杆 AB 为研究对象 该系统具有理想约束 设杆重为 P 作用在杆上的主动 力为重力 2 该系统的位置可通过杆 AB 与 z 轴的夹角 完全确定 有一个自由度 选参 数 为广义坐标 由几何关系可知 sin R zA 杆的质心坐标可表示为 cos 2sin lR zC 3 在平衡位置 不破坏约束的前提下 假定杆 AB 顺时针旋转一个微小的角度 则质心 C 的虚位移 sin 2 cos sin 2 lR zC 4 由虚位移原理有 0 i FW 0 sin 2 cos sin 2 lR PzP C 对任意有 0 0sin 2 cos sin 2 lR 即平衡时角满足 0sincos2 3 lR 4 5 解 1 选整个系统为研究对象 此系统包含弹簧 设弹簧力 且 21 F F 21 FF 将弹簧力视为主动力 此时作用在系统上的主动力有 以及重力 21 F FP 2 该系统只有一个自由度 选定为广义坐标 由几何关系可知 sin azz BA 3 在平衡位置 不破坏约束的前提下 假定有一个微小的虚位移 则质心 的虚位移为 cosazzz BAC 弹簧的长度 在微小虚位移 下 2 sin2 al 2 cosal 4 由虚位移原理有 0 i FW 0 2 coscos 22 aFPalFzP C 其中 代入上式整理可得 22 sin2 2 a akF 0 2 2 cossin2 cos2 a kaP 由于 对任意可得平衡时弹簧刚度系数为 0 a0 2 cossin2 cos2 a P k 4 6 解 解除 A 端的约束 代之以 并将其视为主动力 此外系统 AAyAx MFF 还受到主动力的作用 系统有三个自由度 选定 A 点的位移MFFF 321 和梁 AC 的转角为广义坐标 AA yx 1 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0 0 0 AA yx 如图所示 由虚位移原理有 0 i FW 0 AAx xF 对任意可得 0 A x 0 Ax F 2 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0 0 0 AA yx 如下图所示 由虚位移原理有 0 i FW 1 0 332211 MyFyFyFyF AAy 由几何关系可得各点的虚位移如下 AC yyyy 31 AC yyy 3 1 3 1 2 AC yy 3 1 3 1 代入 1 式 0 3 1 3 1 321 AAy yMFFFF 对任意可得 方向如图所示 0 A x 4 kNFAy 3 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0 0 0 AA yx 如上图所示 由虚位移原理有 0 i FW 2 0 332211 MyFyFyFM A 有几何关系可得各点的虚位移如下 2 1 y 3 3 C yy 2 y 代入 2 式 0 32 321 MFFFM A 对任意可得 逆时针方向 0 7mkNM A 4 7 解 将均布载荷简化为作用在 CD 中点的集中载荷 大小为 3 Fq6 1 求支座 B 处的约束力 解除 B 点处的约束 代之以力 并将其视为主动力 系统还受到主动力 B F 的作用 如图所示 在不破坏约束的前提下 杆 AC 不动 梁MFFF 321 CDB 只能绕 C 点转动 系统有一个自由度 选转角为广义坐标 给定虚位移 由虚位移原理有 0 i FW 1 0150cos45cos 33 0 22 0 yFyFMrF BB 各点的虚位移如下 26 B r 9 2 y 3 3 y 代入 1 式整理可得 0 3 2 39 6 32 FFMFB 对任意可得 方向如图所示 0 6 18kNFB 2 求固定端 A 处的约束力 解除 A 端的约束 代之以 并将其视为主动力 系统还受 AAyAx MFF 到主动力的作用 系统有三个自由度 选定 A 点的位移MFFF 321 和梁 AC 的转角为广义坐标 AA yx 2a 求 Ax F 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0 0 0 AA yx 此时整个结构平移 如上图所示 由虚位移原理有 0 i FW 2 0120cos 0 2211 xFxFxF AAx 各点的虚位移如下 A xxx 21 代入 2 式整理可得 0 5 0 21 AAx xFFF 对任意可得 方向如图所示 0 A x 2 kNFAx 2b 求 Ay F 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0 0 0 AA yx 此时梁 AC 向上平移 梁 CDB 绕 D 点转动 如上图所示 由虚位移原理 有 0 i FW 3 030cos 0 2233 MyFyFyF AAy 各点的虚位移如下 AC yyyy 2 1 2 1 32 A yy 6 1 3 1 2 代入 3 式整理可得 0 6 1 4 3 2 1 23 AAy yMFFF 对任意可得 方向如图所示 0 A y 8 3kNFAy 2c 求 A M 在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 0 0 0 AA yx 此时梁 AC 绕 A 点转动 梁 CDB 平移 如上图所示 由虚位移原理 有 0 i FW 4 0120cos 0 2211 xFxFM A 各点的虚位移如下 3 1 x 6 2 C xx 代入 4 式整理可得 0 33 21 FFM A 对任意可得 顺时针方向 0 24mkNM A 4 8 解 假设各杆受拉 杆长均为 a 1 求杆 1 受力 去掉杆 1 代之以力 系统有一个自由度 选 AK 与水平方向的夹角 1 P 为广义坐标 如上图所示 在不破坏约束的条件下给定一组虚位移 此时三 角形 ADK 形状不变 绕 A 点转动 因此有 且 KArDAr KD arar KD 3 滑动支座 B 处只允许水平方向的位移 而杆 BK 上 K 点虚位移沿铅垂方向 故 B 点不动 三角形 BEK 绕 B 点旋转 且 EBrE arr DE 对刚性杆 CD 和杆 CE 由于 因此 由虚位ECrDCr ED 0 C r 移原理有 0 i FW 060cos60cos 0 1 0 11 ED rPrPF 代入各点的虚位移整理可得 0 2 11 aPF 对任意可得 受压 0 2 1 1 F P 2 求杆 2 受力 去掉杆 2 代之以力 系统有一个自由度 选 BK 与水平方向的夹角 2 P 为广义坐标 如上图所示 在不破坏约束的条件下给定一组虚位移 杆 AK 绕 A 点转动 因此有 且 KArK arK3 同理可知 B 点不动 三角形 BEK 绕 B 点旋转 且 EBrE arE arr DE 杆 AD 绕 A 点转动 由刚性杆 DE 上点 E 的虚位移可确定 D 点位DArD 移方向如图所示 且 arr ED 同理可知 由虚位移