高三数学回归课本复习材料：数列

用心 爱心 专心 数列回归课本复习材料数列回归课本复习材料 1 1 一 基本公式 1 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 1 1 1 2 n nn sn a ssn 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaa 2 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前 n 项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 3 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qq nN q 其前 n 项的和公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 4 等比差数列 n a 11 0 nn aqad ab q 的通项公式为 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前 n 项和公式为 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 二 基本概念 1 数列的概念 数列是一个定义域为正整数集 N 或它的有限子集 1 2 3 n 的特殊函数 数 列的通项公式也就是相应函数的解析式 2 等差数列的有关概念 1 等差数列的判断方法 定义法 1 nn aad d 为常数 或 11 2 nnnn aaaan 2 等差中项 若 a A b成等差数列 则 A 叫做a与b的等差中项 且 2 ab A 3 等差数列的性质 1 当公差0d 时 等差数列的通项公式 11 1 n aanddn ad 是关于n的一次函数 且斜率为公差d 前n和 1 1 2 n n n Snad 2 1 22 dd nan 是关于n的二次函数常数项 0 2 若公差0d 则为递增等差数列 若公差0d 则为递减等差数列 若公差0d 则为常数列 用心 爱心 专心 3 当mnpq 时 则有 qpnm aaaa 特别地 当2mnp 时 则有2 mnp aaa 4 若 n a 是等差数列 232 nnnnn SSSSS 也成等差数列 5 在等差数列 n a中 当项数为偶数2n时 SSnd 偶奇 项数为奇数21n 时 SSa 奇偶中 21 21 n Sna 中 这里a中即 n a 1 奇偶 SSkk 6 若等差数列 n a n b的前n和分别为 n A n B 且 n n A f n B 则 21 21 21 21 nnn nnn anaA bnbB 21 fn 7 首正 的递减等差数列中 前n项和的最大值是所有非负项之和 首负 的递增等差数列中 前 n项和的最小值是所有非正项之和 法一 由不等式组 0 0 0 0 11n n n n a a a a 或 确定出前多少项为非负 或 非正 法二 因等差数列前n项是关于n的二次函数 故可转化为求二次函数的最值 但要注意数列的 特殊性 nN 8 如果两等差数列有公共项 那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列 且新等差数列的公 差是原两等差数列公差的最小公倍数 注意 公共项仅是公共的项 其项数不一定相同 即研究 nm ab 4 等比数列的有关概念 1 等比数列的判断方法 定义法 1 n n a q q a 为常数 其中0 0 n qa 或 1 1 nn nn aa aa 2 n 2 等比数列的前n和 特别提醒 等比数列前n项和公式有两种形式 为此在求等比数列前n项和时 首先要判断公比q是否为 1 再由q的情况选择求和公式的形式 当不能判断公比q是否为 1 时 要对q分1q 和1q 两种情形 讨论求解 3 等比中项 若 a A b成等比数列 那么 A 叫做a与b的等比中项 提醒 不是任何两数都有等比中 项 只有同号两数才存在等比中项 且有两个ab 5 等比数列的性质 1 当mnpq 时 则有 mnpq aaaa AA 特别地 当2mnp 时 则有 2 mnp aaa A 2 若 n a是等比数列 且公比1q 则数列 232 nnnnn S SS SS 也是等比数列 当1q 且n为偶数时 数列 232 nnnnn SSSSS 是常数数列 0 它不是等比数列 3 若 1 0 1aq 则 n a为递增数列 若 1 0 1aq 则 n a为递减数列 若 1 0 01aq 则 n a为递减数列 若 1 0 01aq 则 n a为递增数列 若0q 则 n a为摆动数列 若1q 则 n a为常数列 4 当1q 时 baq q a q q a S nn n 11 11 这里0ab 但0 0ab 这是等比数列前n项和公 式特征 据此判断数列 n a是否为等比数列 5 在等比数列 n a中 当项数为偶数2n时 SqS 偶奇 项数为奇数21n 时 1 SaqS 奇偶 7 数列 n a既成等差数列又成等比数列 那么数列 n a是非零常数数列 故常数数列 n a仅是此数列既 用心 爱心 专心 成等差数列又成等比数列的必要非充分条件 6 数列的通项的求法 公式法 等差数列通项公式 等比数列通项公式 已知 n S 即 12 n aaaf n 求 n a 用作差法 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 已知 12 n a aaf n A A A求 n a 用作商法 1 1 2 1 n fn f na n f n 若 1 nn aaf n 求 n a用累加法 11221 nnnnn aaaaaaa 1 a 2 n 已知 1 n n a f n a 求 n a 用累乘法 12 1 121 nn n nn aaa aa aaa 2 n 已知递推关系求 n a 用构造法 构造等差 等比数列 特别地 1 形如 1nn akab 1 n nn akab k b为常数 的递推数列都可以用待定系数法转化为 公比为k的等比数列后 再求 n a 2 形如 1 1 n n n a a kab 的递推数列 都可以用倒数法求通项 注意 1 用 1 nnn SSa求数列的通项公式时 你注意到此等式成立的条件了吗 2n 当 1n 时 11 Sa 2 一般地当已知条件中含有 n a与 n S的混合关系时 常需运用关系式 1 nnn SSa 先将已知条件转 化为只含 n a或 n S的关系式 然后再求解 7 数列求和的常用方法 1 公式法 等差数列求和公式 等比数列求和公式 特别声明 运用等比数列求和公式 务必检 查其公比与 1 的关系 必要时需分类讨论 常用公式 1 123 1 2 nn n 2 分组求和法 在直接运用公式法求和有困难时 常将 和式 中 同类项 先合并在一起 再运用 公式法求和 3 倒序相加法 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联 则常可考 虑选用倒序相加法 发挥其共性的作用求和 这也是等差数列前n和公式的推导方法 4 错位相减法 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成 那么常选 用错位相减法 这也是等比数列前n和公式的推导方法 5 裂项相消法 如果数列的通项可 分裂成两项差 的形式 且相邻项分裂后相关联 那么常选用裂 项相消法求和 常用裂项形式有 111 1 1n