福建专升本高等数学课件内部资料

福建省高校专升本高等数学辅导主讲 张朝阳教授 高等数学主要内容 A三大概念一 函数 极限 连续 二 导数 微分 偏导数 全微分三 积分 专升本 B四大运算一 求Lim1 2 罗必塔法则二 求三 求 四 解微分方程 C 三大应用 一 导数的应用1 函数单调性 极值 曲线凹凸性 拐点 作图 2 应用题 求Max Min 3 利用中值定理证明等式或不等式 二 定积分的应用 1 几何应用2 物理应用三 微分方程的简单应用 D 向量代数与空间解几简介 1 空间直角坐标系2 向量代数初步3 平面4 空间直线5 曲面与空间曲线6 二次曲面 多做练习方可熟能生巧善于归纳才能灵活应变 第一章函数 极限 连续 一 函数 一 函数概念1 函数定义2 函数关系两要素 1 对应关系f 2 定义域D f 例 求 08 下列函数中 定义域为 的函数是 B C D A 模C 二 函数特性 1 单调性2 奇偶性3 周期性4 有界性 例 偶函数 奇函数 周期函数 10 08 是 D A B C 单调增函数 D 奇函数 偶函数 非单调函数 07 均为奇函数 则下列为偶函数的是 A B C D 07 eg 三 反函数 1 反函数定义 特点 2 举例 05 四 复合函数 1 定义2 分解标准 分解到每一步都是基本初等函数的和 差 积 商为止 3 复合函数定义域求法 注意 并非任何两个函数都可以复合 03 07 08 五 基本初等函数常用的有六类14个 六 初等函数 由基本初等函数 经过有限次的和 差 积 商运算 有限次的复合运算 且可用一个公式表示的函数 非初等函数举例 二 极限 一 极限定义 二 性质 单调有界数列必有极限 夹逼定理3 4 四则运算 有极限 有限个 三 求极限 1 两个重要极限 06 03 09 10 2 其他 举例 3 罗必塔法则 三 无穷小 无穷大 1 定义2 性质 例题 性质 3 无穷小阶的比较 教材P27 设 例题 阶比较 05 07 当 时 下列函数中能成为 的等价无穷小的是 D B C D A 09 当时 下列四组函数中为等价无穷小的是 B A B C D 4 等价无穷小代换定理 教材P27 定理 结论 例题 等价无穷小代换 四 连续与间断 一 连续1 2 连续三要素 3 左右连续 二 间断点分类 第一类 都存在的间断点 1 可去间断点 2 可去间断点 3 跳跃间断点第二类 至少一个不存在的间断点 4 无穷间断点 5 振荡间断点 07 模A eg 三 闭区间上连续函数的性质 定理1定理2定理3 介值定理 教材P31 32 定理4 根值定理 模B eg 模C 第二章导数与微分 一 导数的概念1 定义2 几何意义3 左右导数4 可导与连续的关系 10 二 求导数归纳 2 四则运算3 反函数求导例 1 基本导数公式 04 06 4 复合函数求导 10 10 计算题 5 隐函数求导显函数 隐函数 09 对数求导法 1 例 6 参数方程求导 1 2 3 4 6 09 5 08 7 高阶导数 例 例 高阶导数 8 分断函数求导 例题 分断函数求导 讨论在的连续性 讨论在的可导性 求 9 从定义求导 定义 例题 从定义求导 05 10 则 2 模B 三 微分 一 概念1 定义2 几何意义3 微分两个特性4 微分形式的不变性 二 计算1 公式2 四则运算 第三章中值定理 导数应用 一 中值定理 一 RolleTh若 则至少 使 注意 1 条件是充分条件 2 条件不成立 结论未必成立 例 不求的导数 验证必有根 验证 对 的正确性 RolleTh 不求的导数 说明有几个实根 并指出根所在区间 10 二 LagrangeTh 若 则至少 使 推论 若在则在 例题 LagrangeTh 证明 例题 LagrangeTh 验证在对LagrangeTh的正确性 验证在对LagrangeTh的正确性 证明 对 恒有 证明 当恒有 三 CauchyTh 若 则至少 使 二 罗必塔法则 定理 若则 罗必塔法则几种形式 例题 罗必塔法则 注意 1 只有 才可考虑用Th 2 每次用Th后 必须化简不能断定不存在 只能说明Th失效 4 还原例子 例题 罗必塔法则 03 三 单调性 极值 凹凸 拐点 作图 一 单调性Def1Th1 例题 单调性 10 讨论单调性 极值步骤 1 求2 求驻点与不可导点3 由两种点分D f 为若干区间 由Th判别单调性 极值 例题 单调性证明不等式 二 极值 Def2 定义在 在 例题 极值 求极值 求极值 求极值 极值判别法 在 可导 在连续 Th2 极值判别法 Th3 极值存在的必要条件 Th4 极值点可从驻点与不可导点找1 可导函数的极值点驻点2 不可导点也可能取得极值 举例 驻点取得极值 驻点不取得极值 不可导点不取得极值 不可导点取得极值 三 最大值 最小值 1 一般情况只有一个极大 小 值而无极小 大 值则 例题 最大值 最小值 例题 最大值 最小值 无盖圆柱形水池 体积定值V 底造价是侧面造价的2倍 问 半径r 高度h 用费最省 四 凹凸 拐点 1 凹凸定义2 凹凸判别3 拐点判别4 两种特殊情况 讨论曲线凹凸与拐点步骤 1 求2 求使与不存在的点3 由两种点分D f 为若干区间 由Th判别曲线凹凸与拐点 10 eg eg 五 渐近线 作图 1 水平渐近线2 垂直渐近线3 作图步骤 1 求D f Z f 2 奇偶性 周期性 3 单调性 极值 4 凹凸性 拐点 例 3 作图步骤 5 渐近线 6 特殊点 7 描图 第四章不定积分 4 1概念 性质 4 2换元积分法 4 3分部积分法 4 4几种特殊类型函数的积分 4 1概念 性质一 原函数Def1若 说明 1 2 则称 二 不定积分 不定积分的几何意义 Def2 三 基本积分公式 P88 四 不定积分的性质 1 2 3 4 例题 4 2换元积分法 换元积分法 特点 Th 一 凑微分举例 1 形如 凑微分举例 2 凑微分举例 3 凑微分举例 4 凑微分举例 5 凑微分举例 6 二 特殊三角函数积分举例 换元积分法 Th 特点 类型 1 三角置换 类型 2 含 类型 3 类型3 续 4 3分部积分法 设 类型 一 二 三 分部2次 要移项 例题 分部积分法 例题 分部积分法 4 4几种特殊类型函数的积分 一 有理函数积分1 有理真分式的分解 2 待定系数 1 比较法 2 代入法 例 3 有理真分式的积分 例 二 三角函数有理式的积分 1 万能置换 则 例题 万能置换 2 凑微分 三 简单无理函数的积分 第五章定积分 5 1定积分的概念 5 2定积分的性质 5 3微积分的基本公式 5 4定积分的换元积分法 5 5定积分的分部积分法 5 6广义积分 5 1定积分的概念一 引例1 曲边梯形面积2 变速直线运动的路程二 定积分的Def注 1 2个有关 2 3个无关 3 注 4 充分条件 三 几何意义 5 2定积分的性质 5 2定积分的性质 例题 概念 性质 1 比较大小 2 估值 5 3微积分的基本公式 一 变上限积分二 牛顿 莱布尼兹公式 5 4定积分的换元积分法 注意 1换元法实质 换元同时换限2遇到被积函数含有偶次根式 注意取算术根 结论 5 5定积分的分部积分法 5 6广义积分 一 积分区间为无穷的广义积分二 被积函数含无穷间断点的广义积分 第五章定积分 5 7定积分的元素法 5 8平面图形的面积 5 9体积 5 10平面曲线的弧长 5 11定积分的物理应用 定积分的几何应用 5 7 5 8 5 9 5 10 一 一个量Q可用定积分计算的条件 1 Q是 a b 上的定量 2 Q对 a b 具有可加性 3 x x dx 上部分量可近似表为 简记为 二 元素法步骤 1 建立坐标系 确定积分变量 2 求上部分量的近似值 3 定限积分求总量 定积分的几何应用 一 平面图形的面积二 体积三 平面曲线的弧长 模A 29 求由曲线与直线所围成的平面图形的面积 且求上述平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积 eg 求由曲线与它的过原点的一条切线及轴所围成的平面图形的面积 且求上述平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积 03 1 求曲线在点的切线方程 2 由曲线 切线及轴所围成的平面图形的面积 3 求上述平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积 eg 求正劈锥的体积 定积分的物理应用 5 11 一 变力作功 二 液体静压力 第七章 向量代数与空间解几 7 1空间直角坐标系 一 空间直角坐标系 1 Def 八个挂限 点的坐标符号1 2 3 4 5 6 7 8 2 空间中点的坐标 二 空间两点间的距离 设点则 7 2向量代数 一 向量概念与同方向的单位向量 二 向量加法 平行四边形法则 三角形法则 三 数乘向量 7 2向量代数 四 向量在坐标轴上的投影1 两向量夹角2 向量在轴上的投影 7 2向量代数 五 向量分解 向量坐标 向量的模 方向余弦 点向径坐标表达式分量表达式 7 2向量代数 五 向量分解 向量坐标 向量的模 方向余弦 点向量坐标表达式分量表达式 向量的模 7 2向量代数 五 向量分解 向量坐标 向量的模 方向余弦 向量的方向余弦 7 2向量代数 六 两向量的数量积1 Def性质 7 2向量代数 六 两向量的数量积2 公式 7 2向量代数 六 两向量的数量积3 两向量的夹角 例题 数量积 1 例题 数量积 05 单位向量满足则 3 04 7 2向量代数 六 两向量的向量积1 Def 性质 六 两向量的向量积 性质 3 基本单位向量性质 4 7 2向量代数 六 两向量的向量积2 公式 7 2向量代数 六 两向量的向量积3 结论 例题 向量积 1 求与垂直的单位向量 2 例题 向量积 3 07 满足则 答案 6 7 3曲面与方程 一 曲面与方程1 Def若 1 纯粹性 2 完备性则称为曲面S的方程 曲面S是方程的图形 7 3曲面与方程 2 建立轨迹方程步骤 1 设M x y z 为轨迹上的任一点 依轨迹条件建立等式 2 以M点坐标代入等式得方程 3 化简方程 4 证明 略 7 3曲面与方程 3 曲面研究两个问题 1 已知曲面作为点的几何轨迹 求其方程 2 已知曲面方程 研究曲面性质 7 3曲面与方程 二 柱面Def动直线平行轴动直线沿定曲线平行移动 母线 准线 说明 三元方程少一个字母 则表示柱面 柱面准线母线母线 Z轴母线 X轴母线 Y轴 柱面 例题 1 圆柱面 2 抛物柱面 3 椭圆柱面 4 双曲柱面 7 3曲面与方程 三 旋转曲面 旋转曲面 例题 1 2 7 4平面与方程 一 点法式 7 4平面与方程 二 一般式讨论 7 4平面与方程 三 截距式四 两平面夹角 7 4平面与方程 五 点到平面的距离 平面与方程 例题 1 说明平面特点 2 3 4 平面与方程 例题 5 求两平面 夹角 6 求P到距离 平面与方程 例题 7 求过的平面 8 过三点 求 7 5空间曲线 一般方程 注 空间曲线方程不唯一 7 5空间曲线 例题 1 2 3 与 7 6空间直线 一 一般式方程 7 6空间直线 二 点向式 对称式 7 6空间直线 三 参数式 7 6空间直线 四 两直线夹角 7 6空间直线 两直线的关系 7 6空间直线 五 直线与平面的夹角 7 6空间直线 五 直线与平面的夹角 7 6空间直线 直线与平面的关系 例题 空间直线 1 求过且过点的平面方程 2 求过的直线 3 求过点且垂直所在平面的直线方程 例题 空间直线 4 直线化为点向式 5 求两直线夹角 例题 空间直线 6 求过点与都平行的直线 7 7二次曲面 一 椭球面 截痕法 7 7二次曲面 二 双曲面1 单叶双曲面2 双叶双曲面 7 7二次曲面 三 抛物面1 椭圆抛物面2 双曲抛物面 例题 二次曲面 1 指出图形名称 例题 二次曲面 2 指出截痕表示什么曲线 第六章 微分方程 6 1微分方程的概念引例 曲线上任一点的切线斜率为且曲线过点 求曲线方程 基本概念 常微分方程偏微分方程微分方程的通解微分方程的特解微分方程的初始条件微分方程的阶 6 1微分方程的概念 举例 例题 微分方程的概念 1 验证函数是否为微分方程的解 若是 则指出是通解或特解 例题 微分方程的概念 2 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比 试以微分方程描述这物理现象 设空气温度为 线性微分方程的含义 6 2可分离变量的微分方程 形式 方法 分离变量法 例题 分离变量法 6 3齐次微分方程 形式 方法 1 例题 齐次微分方程 1 2 6 4一阶线性微分方程 一 方法 分离变量法通解 6 4一阶线性微分方程 二 方法 常数变易法通解 例题 一阶线性微分方程 1 2 3 例题 一阶线性微分方程 4 5 6 7 07 下列方程为一阶线性非齐次微分方程的是 6 5特殊高阶微分方程 一 例 方法 降阶法 6 5特殊高阶微分方程 二 6 5特殊高阶微分方程 三 例题 特殊高阶微分方程 1 2 3 4 6 6二阶线性常系数齐次微分方程 形式方法 特征根法 6 6二阶线性常系数齐次微分方程 Th1Th2 6 6二阶线性常系数齐次微分方程 特征方程 微分方程通解 例题 6 7二阶线性常系数非齐次微分方程 形式Th 6 7二阶线性常系数非齐次微分方程 特解形式一 6 7二阶线性常系数非齐次微分方程 特解形式二 6 7二阶线性常系数非齐次微分方程 特解形式三 例题 例题 例题 总归纳补缺漏 总归纳 补缺漏 1 2 3 总归纳 补缺漏 4 5 03 6 曲线y f x 在 a b 单调减 且凹 则 总归纳 补缺