数学模型期末考试试题及答案

1 4 山东轻工业学院 08 09学年 II 学期 数学模型 期末考试A试卷 本试卷共4页 说明 说明 本次考 试为开卷考试 参加考试的同学可以携带任何资料 可以使用计算器 但上述 物品严禁相互借用 一 简答题 本题满分16分 每小题8分 1 在 2 2录像机计数器的用途中 仔细推算一下 1 式 写出与 2 式的差别 并解释这个差别 2 试说明在 3 1中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用 在什么条件下可 以不考虑它 二 简答题 本题满分16分 每小题8分 1 对于 5 1传染病的SIR模型 叙述当时的变化情况 1 0 s ti 并加以证明 2 在 6 1捕鱼业的持续收获的效益模型中 若单位捕捞强度的费用为捕捞强度的减函数 E 即 请问如何达到最大经济效益 0 0 babEac 三 简答题 本题满分16分 每小题8分 1 在 9 3 随机存储策略中 请用图解法说明为什么是方程s 的最小正根 0 SIcxI 2 请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力 四 本题满分20分 某中学有三个年级共1000名学生 一年级有219人 二年级有 316人 三年级有465人 现要选20名校级优秀学生 请用下列办 法分配各年级的优秀学生名额 1 按比例加惯例的方法 2 Q 值法 另外如果校级优秀学 生名额增加到21个 重新进行分配 并按照席位分配的理想 化准则分析分配结果 五 本题满分16分 大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型 影响就 业的因素考虑了收入情况 发展空间 社会声誉三个方面 有三个 就业岗位可供选择 层次结构图如图 已知准则层对目标层的成对比较矩阵 方案层对准则层的成对比较矩阵分别为 12 15 1 213 1 531 A 127 2 114 7 14 11 1 B 题 号 一二三四五六总分 得 分 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人 选择就业岗位 收入发展声誉 岗位1岗位2岗位3 2 4 JhYEQB29bj 13 17 1 313 1 731 2 B 12 16 1 214 1 641 3 B 请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位 六 本题满分16分 某保险公司欲开发一种人寿保险 投保人需要每年缴纳一定数的 额保险费 如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止 退保 保险公司需要对投保人的健康 疾病 死亡和退保的情况作出评估 从而制定 合适的投保金额和理赔金额 各种状态间相互转移的情况和概率如图 试建立马氏链模 型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下 平均需要经过多少年投保人就会出现 退保或死亡的情况 以及出现每种情况的概率各是多少 5Y944Acbad 山东轻工业学院 08 09学年 II 学期 数学模型 期末考试A试卷解答 一 简答题 本题满分16分 每小题8分 1 答 由 1 得 4分vt mm mr 2 1 22 将代入得 6分knm 2 2 2 r v kn n v k t 因为所以 则得 2 8分 rrr22 2 答 假设每件产品的生产费用为 则平均每天的生产费用为 每天的平均费用是 3 crc3 4分rc rTc T c TC 3 12 1 1 11 2 下面求使最小 发现 所以 1 T 11 TC dT TdC dT TdC 1 11 与生产费用无关 所以不考虑 rc c TT 2 1 1 2 8分 二 简答题 本题满分16分 每小题8分 1 答 由 14 若 1 si dt di 1 0 s 当时 增加 4分 0 1 ss 0ti dt di 当时 达到最大值 1 s 0ti dt di m i 当时 减少且由1 知 1 s 0ti dt di 0 i 8分 2 答 则 2分EbEaS EbEapExSTR 得分 阅卷人 退保 健康 死亡 疾病 0 15 0 05 0 1 0 07 0 03 0 6 3 4 将代入 得 1 0 r E Nx 5分 2 E r pN bEapNER 令得 8分0 R pNrb pNar ER 2 三 简答题 本题满分16分 每小题8分 1 由于方程 4 左边随着的增加单调递增 因此有唯一驻点且为最小值点 从而S uJxSu 是下凸的 而由和的表达式的相似性知也是下凸的 而且在处达最小值 uJ uJ xI xISx 4分5Y944Acbad SI 记 0 SIcxIxA 则集合与的分界点即为订货点 此即方程的最小 0 SIcxIxB ABs 0 SIcxI 正根 8分5Y944Acbad 2 答 回答要点 培养想象力和洞察力 8分5Y944Acbad 四 本题满分20分 解 20个席位 1 因此比例加惯例38 4 20 1000 219 32 6 20 1000 316 30 9 20 1000 465 分配结果为5 6 9个 2 三方先分得4 6 9个 2398 05 2377 525 54 2192 1 Q 76 3162 2 Q Y944Acbad 2402 5 最大 按值法分配结果为4 6 10个 109 4652 3 Q 3 QQ 8分 21个席位 1 因此比例加惯例分配599 4 21 1000 219 636 6 21 1000 316 765 9 21 1000 465 结果为4 7 10个 2 三方先分得4 6 10个 195 68 最大 按值法分配结果为5 6 10个 1110 4652 3 Q 1 QQ 16分5Y944Acbad 显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1 而值法分配结果恰好也满足准则2Q 因此值法分配结果是同时符合准则1和准则2 Q 20分5Y944Acbad 五 本题满分16分 解 用 和法 近似计算得 矩阵对应的权向量为 最大特征根为3 A T 12 0 23 0 65 0 0018 0 CI0031 0 CR 矩阵对应的权向量为 最大特征根为3 1 B T 60 0 32 0 08 0 001 0 CI0017 0 CR 矩阵对应的权向量为 最大特征根为3 00703 2 B T 09 0 24 0 67 0 0035 0 CI006 0 CR 矩阵对应的权向量为 最大特征根为3 00922 3 B T 11 0 19 0 70 0 0046 0 CI008 0 CR 4 4 12分 组合权向量为 T 423664 0 283708 0 292628 0 因此最佳的岗位为岗位3 16分5Y944Acbad 六 本题满分16分 解 由题意 转移概率矩阵为 从而知状态 退保 和 死亡 为两个吸 3 06 007 0 03 0 01 7 005 0 15 0 0010 0001 收状态 此为吸收链 6分5Y944Acbad 1 1 7 06 0 1 03 0 QIM 24 3 2 3 2 4 因此在投保时健康或疾病状态下 平均需要经过或6年投保人就会出现退保Mey T 6 3 1 5 3 1 5 或死亡的情况 12分5Y944A